Номер 624, страница 136, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

624 Переведи с математического языка на русский и проверь истинность утверждений. Сравни данные утверждения. Что ты замечаешь?

a) $\exists x, y \in N: x^2 = y^3;$

б) $\exists n \in N: n = x^2 \text{ и } n = y^3, \text{ где } x, y \in N.$

а)

Перевод утверждения $∃ x, y ∈ N: x^2 = y^3$ на русский язык: «Существуют такие натуральные числа $x$ и $y$, что квадрат числа $x$ равен кубу числа $y$».

Для проверки истинности этого утверждения необходимо найти хотя бы одну пару натуральных чисел $(x, y)$, удовлетворяющую данному равенству.

Рассмотрим пару $x=8$ и $y=4$. Оба числа натуральные. Проверим, выполняется ли для них равенство:
$x^2 = 8^2 = 64$
$y^3 = 4^3 = 64$
Поскольку $8^2 = 4^3$, равенство выполняется. Простейшим примером также является пара $x=1, y=1$, для которой $1^2=1^3$. Так как мы нашли примеры, подтверждающие утверждение, оно является истинным.

Ответ: утверждение истинно.

б)

Перевод утверждения $∃ n ∈ N: n = x^2 \text{ и } n = y^3, \text{ где } x, y ∈ N$ на русский язык: «Существует такое натуральное число $n$, которое является одновременно квадратом некоторого натурального числа $x$ и кубом некоторого натурального числа $y$».

Для проверки истинности нужно найти хотя бы одно натуральное число $n$, которое является одновременно точным квадратом и точным кубом.

Рассмотрим число $n=64$.
Число 64 является квадратом натурального числа $x=8$, так как $64 = 8^2$.
Число 64 также является кубом натурального числа $y=4$, так как $64 = 4^3$.
Простейшим примером является $n=1$, так как $1 = 1^2$ и $1 = 1^3$. Поскольку мы нашли такие числа $n$, утверждение является истинным.

Ответ: утверждение истинно.

Сравнение утверждений

При сравнении данных утверждений можно заметить, что они равносильны, то есть являются двумя разными формулировками одного и того же математического факта. Оба утверждения истинны.

Утверждение (а) говорит о существовании пары чисел $(x, y)$, связанных равенством $x^2 = y^3$.

Утверждение (б) говорит о существовании числа $n$, которое является и квадратом, и кубом.

Эти утверждения логически связаны:
1. Если утверждение (а) истинно, то есть существуют $x, y \in N$ такие, что $x^2 = y^3$, то можно обозначить это общее значение $n = x^2 = y^3$. Это число $n$ и будет тем самым числом из утверждения (б).
2. Если утверждение (б) истинно, то есть существует $n \in N$ такое, что $n=x^2$ и $n=y^3$ для некоторых $x, y \in N$, то из этого сразу следует равенство $x^2=y^3$, что доказывает истинность утверждения (а).

Таким образом, мы замечаем, что это два эквивалентных способа заявить о существовании натуральных чисел, являющихся одновременно полными квадратами и полными кубами. Такие числа являются полными шестыми степенями (например, $1^6=1$, $2^6=64$, $3^6=729$ и т.д.).