Номер 631, страница 137, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

631 Приведи к наименьшему общему знаменателю дроби:

1) $\frac{p}{2 \cdot 5^3}$ и $\frac{q}{2^3 \cdot 5^2}$;

2) $\frac{p}{2 \cdot 3 \cdot 5^2}$ и $\frac{q}{2^2 \cdot 5}$;

3) $\frac{p}{11^3}$ и $\frac{q}{3^2 \cdot 7 \cdot 11^2}$.

1)

Даны дроби $\frac{p}{2 \cdot 5^3}$ и $\frac{q}{2^3 \cdot 5^2}$.

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ), необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей. Знаменатели уже представлены в виде произведения простых множителей: $2 \cdot 5^3$ и $2^3 \cdot 5^2$.

Для нахождения НОК, берем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях знаменателей. В наших знаменателях есть простые множители 2 и 5.

Наибольшая степень множителя 2 - это $2^3$.

Наибольшая степень множителя 5 - это $5^3$.

Таким образом, наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $2^3 \cdot 5^3$.

Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби, разделив НОЗ на знаменатель каждой дроби.

Для первой дроби $\frac{p}{2 \cdot 5^3}$ дополнительный множитель равен $\frac{2^3 \cdot 5^3}{2 \cdot 5^3} = 2^{3-1} = 2^2 = 4$. Умножим числитель и знаменатель этой дроби на 4:

$\frac{p \cdot 2^2}{(2 \cdot 5^3) \cdot 2^2} = \frac{4p}{2^3 \cdot 5^3}$.

Для второй дроби $\frac{q}{2^3 \cdot 5^2}$ дополнительный множитель равен $\frac{2^3 \cdot 5^3}{2^3 \cdot 5^2} = 5^{3-2} = 5^1 = 5$. Умножим числитель и знаменатель этой дроби на 5:

$\frac{q \cdot 5}{(2^3 \cdot 5^2) \cdot 5} = \frac{5q}{2^3 \cdot 5^3}$.

Ответ: $\frac{4p}{2^3 \cdot 5^3}$ и $\frac{5q}{2^3 \cdot 5^3}$.

2)

Даны дроби $\frac{p}{2 \cdot 3 \cdot 5^2}$ и $\frac{q}{2^2 \cdot 5}$.

Знаменатели дробей: $2 \cdot 3 \cdot 5^2$ и $2^2 \cdot 5$. Простые множители в знаменателях: 2, 3 и 5.

Находим НОК знаменателей, беря каждый простой множитель в наибольшей степени.

Наибольшая степень множителя 2 - это $2^2$.

Наибольшая степень множителя 3 - это $3^1$ (или просто 3).

Наибольшая степень множителя 5 - это $5^2$.

Следовательно, НОЗ = $2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$.

Найдем дополнительные множители.

Для первой дроби $\frac{p}{2 \cdot 3 \cdot 5^2}$ дополнительный множитель: $\frac{2^2 \cdot 3 \cdot 5^2}{2 \cdot 3 \cdot 5^2} = 2$. Приводим дробь к новому знаменателю:

$\frac{p \cdot 2}{(2 \cdot 3 \cdot 5^2) \cdot 2} = \frac{2p}{2^2 \cdot 3 \cdot 5^2}$.

Для второй дроби $\frac{q}{2^2 \cdot 5}$ дополнительный множитель: $\frac{2^2 \cdot 3 \cdot 5^2}{2^2 \cdot 5} = 3 \cdot 5^{2-1} = 3 \cdot 5 = 15$. Приводим дробь к новому знаменателю:

$\frac{q \cdot 15}{(2^2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 5)} = \frac{15q}{2^2 \cdot 3 \cdot 5^2}$.

Ответ: $\frac{2p}{2^2 \cdot 3 \cdot 5^2}$ и $\frac{15q}{2^2 \cdot 3 \cdot 5^2}$.

3)

Даны дроби $\frac{p}{11^3}$ и $\frac{q}{3^2 \cdot 7 \cdot 11^2}$.

Знаменатели дробей: $11^3$ и $3^2 \cdot 7 \cdot 11^2$. Простые множители в знаменателях: 3, 7 и 11.

Находим НОК знаменателей, беря каждый простой множитель в наибольшей степени.

Наибольшая степень множителя 3 - это $3^2$.

Наибольшая степень множителя 7 - это $7^1$ (или просто 7).

Наибольшая степень множителя 11 - это $11^3$.

Следовательно, НОЗ = $3^2 \cdot 7 \cdot 11^3$.

Найдем дополнительные множители.

Для первой дроби $\frac{p}{11^3}$ дополнительный множитель: $\frac{3^2 \cdot 7 \cdot 11^3}{11^3} = 3^2 \cdot 7 = 9 \cdot 7 = 63$. Приводим дробь к новому знаменателю:

$\frac{p \cdot (3^2 \cdot 7)}{11^3 \cdot (3^2 \cdot 7)} = \frac{63p}{3^2 \cdot 7 \cdot 11^3}$.

Для второй дроби $\frac{q}{3^2 \cdot 7 \cdot 11^2}$ дополнительный множитель: $\frac{3^2 \cdot 7 \cdot 11^3}{3^2 \cdot 7 \cdot 11^2} = 11^{3-2} = 11$. Приводим дробь к новому знаменателю:

$\frac{q \cdot 11}{(3^2 \cdot 7 \cdot 11^2) \cdot 11} = \frac{11q}{3^2 \cdot 7 \cdot 11^3}$.

Ответ: $\frac{63p}{3^2 \cdot 7 \cdot 11^3}$ и $\frac{11q}{3^2 \cdot 7 \cdot 11^3}$.