Номер 636, страница 137, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

636 1) Параллельные прямые $a$ и $b$ пересечены прямой $c$. Среди образовавшихся углов найди:

а) вертикальные углы;

б) смежные углы.

2) Как ты думаешь, почему $\angle 3$ и $\angle 6$ называют внутренними накрест лежащими? Почему $\angle 1$ и $\angle 8$ называют внешними накрест лежащими? Есть ли ещё внутренние и внешние накрест лежащие углы на этом чертеже?

3) Почему $\angle 3$ и $\angle 5$ называют внутренними односторонними? Почему $\angle 1$ и $\angle 7$ называют внешними односторонними? Есть ли ещё внутренние и внешние односторонние углы на этом чертеже?

4) $\angle 1 = 135^\circ$. Найди величины углов 2, 3 и 4.

5) $\angle 7 = 45^\circ$. Найди величины углов 5, 6 и 8.

6) Понаблюдай, как связаны между собой величины накрест лежащих углов (внутренних и внешних). Как связаны между собой величины односторонних углов (внутренних и внешних)? Сформулируй гипотезу и проверь её для каких-нибудь двух других параллельных прямых $a$ и $b$ и секущей $c$. Можно ли установленную закономерность распространить на общий случай? Почему?

137

1)

а) Вертикальные углы — это пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых и расположены друг напротив друга. Их стороны являются продолжениями друг друга. Вертикальные углы всегда равны.
На чертеже это следующие пары углов:

• $\angle 1$ и $\angle 4$
• $\angle 2$ и $\angle 3$
• $\angle 5$ и $\angle 8$
• $\angle 6$ и $\angle 7$

б) Смежные углы — это пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга (лежат на одной прямой). Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.
На чертеже это следующие пары углов:

• $\angle 1$ и $\angle 2$
• $\angle 2$ и $\angle 4$
• $\angle 4$ и $\angle 3$
• $\angle 3$ и $\angle 1$
• $\angle 5$ и $\angle 6$
• $\angle 6$ и $\angle 8$
• $\angle 8$ и $\angle 7$
• $\angle 7$ и $\angle 5$

Ответ: а) Пары вертикальных углов: ($\angle 1$, $\angle 4$), ($\angle 2$, $\angle 3$), ($\angle 5$, $\angle 8$), ($\angle 6$, $\angle 7$). б) Пары смежных углов: ($\angle 1$, $\angle 2$), ($\angle 2$, $\angle 4$), ($\angle 4$, $\angle 3$), ($\angle 3$, $\angle 1$), ($\angle 5$, $\angle 6$), ($\angle 6$, $\angle 8$), ($\angle 8$, $\angle 7$), ($\angle 7$, $\angle 5$).

2)

Углы $\angle 3$ и $\angle 6$ называют внутренними накрест лежащими по двум причинам:
1. Они внутренние, так как лежат в пространстве между двумя параллельными прямыми $a$ и $b$.
2. Они накрест лежащие, так как находятся по разные стороны от секущей прямой $c$.

Углы $\angle 1$ и $\angle 8$ называют внешними накрест лежащими по двум причинам:
1. Они внешние, так как лежат вне пространства между параллельными прямыми $a$ и $b$.
2. Они накрест лежащие, так как находятся по разные стороны от секущей прямой $c$.

Да, на этом чертеже есть и другие пары таких углов:
- Еще одна пара внутренних накрест лежащих углов: $\angle 4$ и $\angle 5$.
- Еще одна пара внешних накрест лежащих углов: $\angle 2$ и $\angle 7$.

Ответ: Углы называются "внутренними" или "внешними" в зависимости от их расположения относительно параллельных прямых, а "накрест лежащими" — в зависимости от их расположения относительно секущей. Другие пары: внутренние накрест лежащие $\angle 4$ и $\angle 5$; внешние накрест лежащие $\angle 2$ и $\angle 7$.

3)

Углы $\angle 3$ и $\angle 5$ называют внутренними односторонними по двум причинам:
1. Они внутренние, так как лежат между прямыми $a$ и $b$.
2. Они односторонние, так как лежат по одну и ту же сторону от секущей $c$.

Углы $\angle 1$ и $\angle 7$ называют внешними односторонними по двум причинам:
1. Они внешние, так как лежат вне пространства между прямыми $a$ и $b$.
2. Они односторонние, так как лежат по одну и ту же сторону от секущей $c$.

Да, на чертеже есть и другие пары таких углов:
- Еще одна пара внутренних односторонних углов: $\angle 4$ и $\angle 6$.
- Еще одна пара внешних односторонних углов: $\angle 2$ и $\angle 8$.

Ответ: Углы называются "внутренними" или "внешними" в зависимости от их расположения относительно параллельных прямых, а "односторонними" — так как они лежат по одну сторону от секущей. Другие пары: внутренние односторонние $\angle 4$ и $\angle 6$; внешние односторонние $\angle 2$ и $\angle 8$.

4)

Дано: $\angle 1 = 135^\circ$. Найдем величины углов 2, 3 и 4.
- $\angle 1$ и $\angle 2$ — смежные углы, их сумма равна $180^\circ$.
$\angle 2 = 180^\circ - \angle 1 = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.
- $\angle 2$ и $\angle 3$ — вертикальные углы. Вертикальные углы равны.
$\angle 3 = \angle 2 = 45^\circ$.
- $\angle 1$ и $\angle 4$ — вертикальные углы. Вертикальные углы равны.
$\angle 4 = \angle 1 = 135^\circ$.

Ответ: $\angle 2 = 45^\circ$, $\angle 3 = 45^\circ$, $\angle 4 = 135^\circ$.

5)

Дано: $\angle 7 = 45^\circ$. Найдем величины углов 5, 6 и 8.
- $\angle 7$ и $\angle 6$ — вертикальные углы. Вертикальные углы равны.
$\angle 6 = \angle 7 = 45^\circ$.
- $\angle 7$ и $\angle 8$ — смежные углы, их сумма равна $180^\circ$.
$\angle 8 = 180^\circ - \angle 7 = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.
- $\angle 5$ и $\angle 8$ — вертикальные углы. Вертикальные углы равны.
$\angle 5 = \angle 8 = 135^\circ$.

Ответ: $\angle 5 = 135^\circ$, $\angle 6 = 45^\circ$, $\angle 8 = 135^\circ$.

6)

Используя результаты из пунктов 4 и 5, мы имеем полный набор углов при условии, что прямые $a$ и $b$ параллельны.

При $\angle 1 = 135^\circ$ мы получили: $\angle 2 = 45^\circ$, $\angle 3 = 45^\circ$, $\angle 4 = 135^\circ$.

При $\angle 7 = 45^\circ$ мы получили: $\angle 5 = 135^\circ$, $\angle 6 = 45^\circ$, $\angle 8 = 135^\circ$.

Теперь сравним величины разных типов углов:

• Накрест лежащие углы:
  Внутренние: $\angle 3 = 45^\circ$ и $\angle 6 = 45^\circ$. Они равны. $\angle 4 = 135^\circ$ и $\angle 5 = 135^\circ$. Они равны.
  Внешние: $\angle 1 = 135^\circ$ и $\angle 8 = 135^\circ$. Они равны. $\angle 2 = 45^\circ$ и $\angle 7 = 45^\circ$. Они равны.
• Односторонние углы:
  Внутренние: $\angle 3 = 45^\circ$ и $\angle 5 = 135^\circ$. Их сумма $45^\circ + 135^\circ = 180^\circ$.
  Внешние: $\angle 1 = 135^\circ$ и $\angle 7 = 45^\circ$. Их сумма $135^\circ + 45^\circ = 180^\circ$.

Гипотеза:
1. При пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы (как внутренние, так и внешние) равны между собой.
2. При пересечении двух параллельных прямых секущей сумма односторонних углов (как внутренних, так и внешних) равна $180^\circ$.

Проверка на других параллельных прямых и секущей даст тот же результат. Это не случайное совпадение.

Установленную закономерность можно распространить на общий случай. Это является фундаментальным свойством параллельных прямых в евклидовой геометрии.
Почему? Потому что эти утверждения являются теоремами, которые строго доказываются на основе аксиом геометрии, в частности, аксиомы о параллельных прямых. Например, если принять за основу, что при пересечении параллельных прямых секущей соответственные углы равны (например, $\angle 1 = \angle 5$), то все остальные равенства и свойства можно логически вывести из этого. Например, так как $\angle 1 = \angle 4$ (вертикальные), а $\angle 1 = \angle 5$ (соответственные), то $\angle 4 = \angle 5$ (внутренние накрест лежащие). Это доказывает, что закономерность действует всегда для любых параллельных прямых.

Ответ: Накрест лежащие углы равны. Сумма односторонних углов равна $180^\circ$. Гипотеза: при пересечении параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны, а сумма односторонних углов равна $180^\circ$. Эту закономерность можно распространить на общий случай, так как это доказанные теоремы геометрии, вытекающие из аксиомы о параллельных прямых.