Номер 639, страница 138, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

639 Пусть А – множество правильных несократимых дробей со знаменателем 10, а В – множество правильных сократимых дробей с числителем 7. Есть ли в этих множествах равные дроби?

Для решения задачи проанализируем множества A и B по отдельности.

Множество A — это множество правильных несократимых дробей со знаменателем 10. Дробь из этого множества имеет вид $m/10$, где $m$ — натуральное число, удовлетворяющее двум условиям:

1. Дробь правильная, значит числитель меньше знаменателя: $m < 10$.

2. Дробь несократимая, значит Наибольший Общий Делитель числителя и знаменателя равен 1: $НОД(m, 10) = 1$.

Поскольку $10 = 2 \cdot 5$, то для несократимости дроби числитель $m$ не должен делиться ни на 2, ни на 5. Выберем все такие натуральные числа $m$, которые меньше 10: это 1, 3, 7, 9.

Таким образом, множество A состоит из следующих дробей: $A = \{1/10, 3/10, 7/10, 9/10\}$.

Множество B — это множество правильных сократимых дробей с числителем 7. Дробь из этого множества имеет вид $7/n$, где $n$ — натуральное число, удовлетворяющее двум условиям:

1. Дробь правильная, значит знаменатель больше числителя: $n > 7$.

2. Дробь сократимая, значит $НОД(7, n) > 1$.

Так как число 7 простое, его делителями являются только 1 и 7. Условие $НОД(7, n) > 1$ может выполняться только если $НОД(7, n) = 7$. Это означает, что знаменатель $n$ должен быть кратен 7. Таким образом, дроби из множества B имеют вид $7/n$, где $n$ — число, кратное 7, и $n > 7$. То есть $n$ может принимать значения $14, 21, 28, 35$ и так далее. Эти дроби можно записать в виде $7/(7k)$ для любого целого $k > 1$.

Теперь необходимо выяснить, есть ли в множествах A и B равные дроби. Для этого приравняем общую форму дроби из множества A к общей форме дроби из множества B:

$m/10 = 7/n$

где $m \in \{1, 3, 7, 9\}$, а $n$ — кратное 7 число, большее 7 ($n=7k, k>1$).

Подставим $n=7k$ в уравнение:

$m/10 = 7/(7k)$

Сократив правую часть, получим:

$m/10 = 1/k$

Из этого равенства по свойству пропорции следует, что $m \cdot k = 10$.

Теперь нужно проверить, для какого из значений $m \in \{1, 3, 7, 9\}$ существует такое целое число $k > 1$, чтобы их произведение было равно 10.

1. Если $m=1$: $1 \cdot k = 10 \implies k=10$. Условие $k>1$ выполняется.

2. Если $m=3$: $3 \cdot k = 10 \implies k=10/3$. Это не целое число, решения нет.

3. Если $m=7$: $7 \cdot k = 10 \implies k=10/7$. Это не целое число, решения нет.

4. Если $m=9$: $9 \cdot k = 10 \implies k=10/9$. Это не целое число, решения нет.

Единственное возможное решение — это пара $m=1$ и $k=10$. Найдем соответствующие дроби:

Для множества A: при $m=1$ получаем дробь $1/10$. Она входит в множество A.

Для множества B: при $k=10$ получаем знаменатель $n = 7k = 7 \cdot 10 = 70$. Дробь равна $7/70$. Эта дробь является правильной ($7 < 70$) и сократимой ($НОД(7, 70) = 7$), значит, она входит в множество B.

Сравним найденные дроби: $1/10$ и $7/70$. Так как $7/70 = (7 \div 7) / (70 \div 7) = 1/10$, эти дроби равны.

Ответ: Да, в этих множествах есть равные дроби. Например, дробь $1/10$ из множества A равна дроби $7/70$ из множества B.