Номер 644, страница 139, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

644 Приведи к наименьшему общему знаменателю дроби:

1) $\frac{1}{10^2}$ и $\frac{1}{10^4}$;

2) $\frac{1}{2 \cdot 3^2 \cdot 5^2}$ и $\frac{1}{2^4 \cdot 3^2}$;

3) $\frac{1}{2^3 \cdot 5 \cdot 7^2}$ и $\frac{1}{3^2 \cdot 5^2 \cdot 7}$.

1)

Даны дроби $\frac{1}{10^2}$ и $\frac{1}{10^4}$. Чтобы привести их к наименьшему общему знаменателю, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей, то есть $10^2$ и $10^4$.

Поскольку основания степеней ($10$) одинаковы, НОК будет равно степени с тем же основанием и наибольшим показателем. В данном случае, наибольший показатель равен 4.

Следовательно, наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $10^4$.

Теперь приведем дроби к этому знаменателю.

Для первой дроби $\frac{1}{10^2}$ найдем дополнительный множитель. Он равен отношению нового знаменателя к старому: $\frac{10^4}{10^2} = 10^{4-2} = 10^2$.

Умножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель:

$\frac{1}{10^2} = \frac{1 \cdot 10^2}{10^2 \cdot 10^2} = \frac{10^2}{10^4}$.

Вторая дробь $\frac{1}{10^4}$ уже имеет нужный знаменатель, поэтому она не изменяется.

Ответ: $\frac{10^2}{10^4}$ и $\frac{1}{10^4}$.

2)

Даны дроби $\frac{1}{2 \cdot 3^2 \cdot 5^2}$ и $\frac{1}{2^4 \cdot 3^2}$. Их знаменатели уже разложены на простые множители: $2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^2$ и $2^4 \cdot 3^2$.

Чтобы найти НОЗ, нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях знаменателей.

• Для множителя 2 наибольшая степень – 4 (из второго знаменателя).
• Для множителя 3 наибольшая степень – 2 (присутствует в обоих знаменателях).
• Для множителя 5 наибольшая степень – 2 (из первого знаменателя).

Таким образом, НОЗ = $2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2$.

Найдем дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2}{2 \cdot 3^2 \cdot 5^2} = 2^{4-1} = 2^3$.

Приводим первую дробь к новому знаменателю: $\frac{1}{2 \cdot 3^2 \cdot 5^2} = \frac{1 \cdot 2^3}{(2 \cdot 3^2 \cdot 5^2) \cdot 2^3} = \frac{2^3}{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2}$.

Найдем дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2}{2^4 \cdot 3^2} = 5^2$.

Приводим вторую дробь к новому знаменателю: $\frac{1}{2^4 \cdot 3^2} = \frac{1 \cdot 5^2}{(2^4 \cdot 3^2) \cdot 5^2} = \frac{5^2}{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2}$.

Ответ: $\frac{2^3}{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2}$ и $\frac{5^2}{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2}$.

3)

Даны дроби $\frac{1}{2^3 \cdot 5 \cdot 7^2}$ и $\frac{1}{3^2 \cdot 5^2 \cdot 7}$. Их знаменатели разложены на простые множители: $2^3 \cdot 5^1 \cdot 7^2$ и $3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^1$.

Для нахождения НОЗ возьмем каждый простой множитель в наибольшей степени из обоих разложений.

• Для множителя 2 наибольшая степень – 3 (из первого знаменателя).
• Для множителя 3 наибольшая степень – 2 (из второго знаменателя).
• Для множителя 5 наибольшая степень – 2 (из второго знаменателя).
• Для множителя 7 наибольшая степень – 2 (из первого знаменателя).

Следовательно, НОЗ = $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2$.

Найдем дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2}{2^3 \cdot 5^1 \cdot 7^2} = 3^2 \cdot 5^{2-1} = 3^2 \cdot 5$.

Приводим первую дробь к новому знаменателю: $\frac{1}{2^3 \cdot 5 \cdot 7^2} = \frac{1 \cdot (3^2 \cdot 5)}{(2^3 \cdot 5 \cdot 7^2) \cdot (3^2 \cdot 5)} = \frac{3^2 \cdot 5}{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2}$.

Найдем дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2}{3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^1} = 2^3 \cdot 7^{2-1} = 2^3 \cdot 7$.

Приводим вторую дробь к новому знаменателю: $\frac{1}{3^2 \cdot 5^2 \cdot 7} = \frac{1 \cdot (2^3 \cdot 7)}{(3^2 \cdot 5^2 \cdot 7) \cdot (2^3 \cdot 7)} = \frac{2^3 \cdot 7}{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2}$.

Ответ: $\frac{3^2 \cdot 5}{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2}$ и $\frac{2^3 \cdot 7}{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2}$.