Номер 642, страница 139, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

642 Реши уравнения:

1) $\frac{1}{4x} + \frac{1}{x} = \frac{3}{8}$;

2) $\frac{1}{x} + \frac{1}{\frac{3}{4}x} = \frac{7}{12}$;

3) $\frac{1}{2x} + \frac{7}{5x} = 6\frac{1}{3}$.

1)

Исходное уравнение: $\frac{1}{4x} + \frac{1}{x} = \frac{3}{8}$.
Область допустимых значений: $x \neq 0$.
Чтобы решить уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Общий знаменатель для $4x$ и $x$ это $4x$. Для этого домножим вторую дробь на 4:

$\frac{1}{4x} + \frac{1 \cdot 4}{x \cdot 4} = \frac{3}{8}$
$\frac{1}{4x} + \frac{4}{4x} = \frac{3}{8}$
Теперь сложим дроби в левой части:

$\frac{1+4}{4x} = \frac{3}{8}$
$\frac{5}{4x} = \frac{3}{8}$
Теперь воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$5 \cdot 8 = 3 \cdot 4x$
$40 = 12x$
Найдем $x$:

$x = \frac{40}{12}$
Сократим дробь на 4:

$x = \frac{10}{3}$
Представим результат в виде смешанного числа:

$x = 3\frac{1}{3}$

Ответ: $3\frac{1}{3}$.

2)

Исходное уравнение: $\frac{1}{x} + \frac{1}{\frac{3}{4}x} = \frac{7}{12}$.
Область допустимых значений: $x \neq 0$.
Сначала упростим второе слагаемое. Деление на дробь $\frac{3}{4}x$ (которую можно записать как $\frac{3x}{4}$) эквивалентно умножению на обратную дробь:

$\frac{1}{\frac{3x}{4}} = 1 \cdot \frac{4}{3x} = \frac{4}{3x}$
Теперь уравнение выглядит так:

$\frac{1}{x} + \frac{4}{3x} = \frac{7}{12}$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $3x$:

$\frac{1 \cdot 3}{x \cdot 3} + \frac{4}{3x} = \frac{7}{12}$
$\frac{3}{3x} + \frac{4}{3x} = \frac{7}{12}$
$\frac{3+4}{3x} = \frac{7}{12}$
$\frac{7}{3x} = \frac{7}{12}$
Поскольку числители дробей равны и не равны нулю, их знаменатели также должны быть равны:

$3x = 12$
$x = \frac{12}{3}$
$x = 4$

Ответ: $4$.

3)

Исходное уравнение: $\frac{1}{2x} + \frac{7}{5x} = 6\frac{1}{3}$.
Область допустимых значений: $x \neq 0$.
Переведем смешанное число в правой части в неправильную дробь:

$6\frac{1}{3} = \frac{6 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{19}{3}$
Уравнение принимает вид:

$\frac{1}{2x} + \frac{7}{5x} = \frac{19}{3}$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $2x$ и $5x$ это $10x$. Домножим первую дробь на 5, а вторую на 2:

$\frac{1 \cdot 5}{2x \cdot 5} + \frac{7 \cdot 2}{5x \cdot 2} = \frac{19}{3}$
$\frac{5}{10x} + \frac{14}{10x} = \frac{19}{3}$
$\frac{5+14}{10x} = \frac{19}{3}$
$\frac{19}{10x} = \frac{19}{3}$
Поскольку числители дробей равны и не равны нулю, их знаменатели также должны быть равны:

$10x = 3$
$x = \frac{3}{10}$

Ответ: $\frac{3}{10}$.