Номер 648, страница 140, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

648 Проведи две параллельные прямые и секущую. Измерь транспортиром один из образовавшихся углов. Исходя из результатов исследования данной фигуры, проведённого в № 636 (с. 137), сделай предположения относительно величин остальных углов и проверь их с помощью измерений. Полученные результаты занеси в таблицу.

$\angle 1 = \text{\_\_\_\_}$

Величины углов

Гипотеза: $\angle 2$ ____ $\angle 3$ ____ $\angle 4$ ____ $\angle 5$ ____ $\angle 6$ ____ $\angle 7$ ____ $\angle 8$ ____

Измерения: $\angle 2$ ____ $\angle 3$ ____ $\angle 4$ ____ $\angle 5$ ____ $\angle 6$ ____ $\angle 7$ ____ $\angle 8$ ____

Какие из твоих предположений подтвердились измерениями? Какие предположения ты можешь доказать?

Для решения этой задачи необходимо выполнить следующие шаги: начертить две параллельные прямые и секущую, а затем пронумеровать образовавшиеся углы от 1 до 8 (в стандартном порядке: 1-4 у первого пересечения, 5-8 у второго).

1. Построение и измерение. Начертим прямые и измерим один из углов. Пусть в результате измерения мы получили, что $∠1 = 60°$.

$∠1 = 60°$

2. Выдвижение гипотез. Исходя из свойств углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, сделаем предположения (гипотезы) о величинах остальных углов:

• Углы $∠1$ и $∠3$ — вертикальные, значит, $∠3 = ∠1 = 60°$.
• Углы $∠1$ и $∠2$ — смежные, их сумма $180°$, значит, $∠2 = 180° - 60° = 120°$.
• Углы $∠2$ и $∠4$ — вертикальные, значит, $∠4 = ∠2 = 120°$.
• Углы $∠1$ и $∠5$ — соответственные при параллельных прямых, значит, $∠5 = ∠1 = 60°$.
• Углы $∠2$ и $∠6$ — соответственные, значит, $∠6 = ∠2 = 120°$.
• Углы $∠3$ и $∠7$ — соответственные, значит, $∠7 = ∠3 = 60°$.
• Углы $∠4$ и $∠8$ — соответственные, значит, $∠8 = ∠4 = 120°$.

3. Заполнение таблицы. Занесем гипотезы и результаты проверки измерением (предполагая, что измерения точны) в таблицу.

Теперь ответим на вопросы в конце задания.

Какие из твоих предположений подтвердились измерениями?

При точном измерении все выдвинутые гипотезы о величинах углов подтверждаются. Значения углов, полученные путем вычислений на основе геометрических теорем, совпадают со значениями, полученными при измерении транспортиром (с учётом возможной небольшой погрешности измерения).

Ответ: Все предположения подтвердились измерениями.

Какие предположения ты можешь доказать?

Можно доказать все сделанные предположения, так как они основаны на доказанных теоремах геометрии. Вот примеры доказательств:

• Равенство вертикальных углов (например, $∠1 = ∠3$): Углы $∠1$ и $∠2$ являются смежными, их сумма равна $180°$ ($∠1 + ∠2 = 180°$). Углы $∠3$ и $∠2$ также смежные, и их сумма равна $180°$ ($∠3 + ∠2 = 180°$). Отсюда следует, что $∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2$, а значит $∠1 = ∠3$.
• Равенство накрест лежащих углов (например, $∠3 = ∠5$): Углы $∠1$ и $∠3$ равны, так как они вертикальные. Углы $∠1$ и $∠5$ равны, так как они соответственные при параллельных прямых. Так как $∠3 = ∠1$ и $∠1 = ∠5$, то $∠3 = ∠5$.
• Сумма внутренних односторонних углов равна $180°$ (например, $∠4 + ∠5 = 180°$): Углы $∠3$ и $∠4$ смежные, значит $∠3 + ∠4 = 180°$. Углы $∠3$ и $∠5$ равны как накрест лежащие. Заменив $∠3$ на $∠5$ в первом равенстве, получаем $∠5 + ∠4 = 180°$.

Подобным образом можно доказать все остальные равенства и свойства углов, использованные для построения гипотез.

Ответ: Можно доказать все сделанные предположения, используя теоремы о смежных и вертикальных углах, а также свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.