Номер 643, страница 139, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

643 Корней и Пантелей прокладывали трубы для фонтана в посёлке Бубликово. Они рассчитали, что вместе сделают всю работу за $5\frac{1}{3}$ ч, при этом Корней будет работать в 2 раза быстрее Пантелея.

1) За сколько времени может выполнить всю работу каждый из работников в отдельности?

2) После того как Корней и Пантелей проработали вместе 2 ч, Пантелея срочно вызвали устранять аварию. Через сколько времени Корней, работая один, закончит прокладку труб?

1)

Обозначим весь объем работы за 1. Пусть $x$ — время в часах, за которое Пантелей выполнит всю работу в одиночку. Тогда его производительность (скорость работы) составит $\frac{1}{x}$ работы в час.

По условию, Корней работает в 2 раза быстрее Пантелея. Это значит, что его производительность в 2 раза выше.

Производительность Корнея: $2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$ работы в час.

Время, за которое Корней выполнит всю работу один, равно $\frac{1}{2/x} = \frac{x}{2}$ часов.

Когда они работают вместе, их производительности складываются. Совместная производительность равна:

$P_{общая} = \frac{1}{x} + \frac{2}{x} = \frac{3}{x}$ работы в час.

Время, за которое они выполнят всю работу вместе, равно $T_{общ} = \frac{\text{Работа}}{\text{Производительность}} = \frac{1}{3/x} = \frac{x}{3}$ часов.

Из условия задачи известно, что это время составляет $5\frac{1}{3}$ часа. Переведем смешанное число в неправильную дробь:

$5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3}$ ч.

Теперь мы можем составить и решить уравнение:

$\frac{x}{3} = \frac{16}{3}$

Домножив обе части на 3, получаем:

$x = 16$

Таким образом, время выполнения работы Пантелеем в одиночку — 16 часов.

Найдем время для Корнея:

$\frac{x}{2} = \frac{16}{2} = 8$ часов.

Ответ: Корней может выполнить всю работу за 8 часов, а Пантелей — за 16 часов.

2)

Из решения первого пункта мы знаем производительность каждого работника:

• Производительность Корнея: $\frac{1}{8}$ работы в час.
• Производительность Пантелея: $\frac{1}{16}$ работы в час.

Совместная производительность: $\frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{3}{16}$ работы в час.

За 2 часа совместной работы Корней и Пантелей выполнили часть работы, равную:

$A_{вып} = \text{Совместная производительность} \times \text{Время} = \frac{3}{16} \cdot 2 = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.

Оставшаяся часть работы составляет:

$A_{ост} = 1 - A_{вып} = 1 - \frac{3}{8} = \frac{8}{8} - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$.

Эту оставшуюся работу Корней должен закончить один. Чтобы найти необходимое для этого время, нужно разделить оставшийся объем работы на производительность Корнея:

$t_{Корней} = \frac{A_{ост}}{\text{Производительность Корнея}} = \frac{5/8}{1/8} = \frac{5}{8} \cdot \frac{8}{1} = 5$ часов.

Ответ: Через 5 часов Корней, работая один, закончит прокладку труб.