Номер 630, страница 136, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

630 Приведи к наименьшему общему знаменателю дроби:

1) $ \frac{p}{10} $ и $ \frac{q}{1000} $;

2) $ \frac{p}{10^9} $ и $ \frac{q}{10^4} $;

3) $ \frac{p}{10^m} $ и $ \frac{q}{10^n} $, где $ m > n $.

1) Даны дроби $\frac{p}{10}$ и $\frac{q}{1000}$.

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей. Знаменатели дробей: 10 и 1000.

Поскольку $1000$ делится на $10$ без остатка ($1000 : 10 = 100$), наименьший общий знаменатель равен $1000$.

Вторая дробь $\frac{q}{1000}$ уже имеет этот знаменатель.

Для первой дроби $\frac{p}{10}$ найдем дополнительный множитель: $1000 : 10 = 100$. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на этот множитель:

$\frac{p}{10} = \frac{p \cdot 100}{10 \cdot 100} = \frac{100p}{1000}$.

Таким образом, дроби, приведенные к наименьшему общему знаменателю, имеют вид: $\frac{100p}{1000}$ и $\frac{q}{1000}$.

Ответ: $\frac{100p}{1000}$ и $\frac{q}{1000}$.

2) Даны дроби $\frac{p}{10^9}$ и $\frac{q}{10^4}$.

Знаменатели дробей: $10^9$ и $10^4$. Наименьшим общим знаменателем будет степень с бо́льшим показателем. Поскольку $9 > 4$, наименьший общий знаменатель равен $10^9$.

Первая дробь $\frac{p}{10^9}$ уже имеет нужный знаменатель.

Для второй дроби $\frac{q}{10^4}$ найдем дополнительный множитель. Для этого разделим новый знаменатель на старый: $10^9 : 10^4 = 10^{9-4} = 10^5$.

Умножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель $10^5$:

$\frac{q}{10^4} = \frac{q \cdot 10^5}{10^4 \cdot 10^5} = \frac{10^5q}{10^{4+5}} = \frac{10^5q}{10^9}$.

Таким образом, дроби, приведенные к наименьшему общему знаменателю, имеют вид: $\frac{p}{10^9}$ и $\frac{10^5q}{10^9}$.

Ответ: $\frac{p}{10^9}$ и $\frac{10^5q}{10^9}$.

3) Даны дроби $\frac{p}{10^m}$ и $\frac{q}{10^n}$, где $m > n$.

Этот случай является обобщением предыдущего. Знаменатели дробей: $10^m$ и $10^n$.

Поскольку по условию $m > n$, то наименьшим общим знаменателем будет степень с бо́льшим показателем, то есть $10^m$.

Первая дробь $\frac{p}{10^m}$ уже имеет этот знаменатель.

Для второй дроби $\frac{q}{10^n}$ найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на старый: $10^m : 10^n = 10^{m-n}$.

Умножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель $10^{m-n}$:

$\frac{q}{10^n} = \frac{q \cdot 10^{m-n}}{10^n \cdot 10^{m-n}} = \frac{q \cdot 10^{m-n}}{10^{n+(m-n)}} = \frac{q \cdot 10^{m-n}}{10^m}$.

Таким образом, дроби, приведенные к наименьшему общему знаменателю, имеют вид: $\frac{p}{10^m}$ и $\frac{q \cdot 10^{m-n}}{10^m}$.

Ответ: $\frac{p}{10^m}$ и $\frac{q \cdot 10^{m-n}}{10^m}$.