Номер 625, страница 136, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

625 Переведи с русского языка на математический.

Сумма кубов первых $n$ последовательных натуральных чисел равна квадрату их суммы.

$\sum_{k=1}^n k^3 = \left(\sum_{k=1}^n k\right)^2$

Проверь истинность данного высказывания для $n = 2, 3, 4, 5, 6$.

Можно ли на основании проведённого исследования утверждать, что данное высказывание верно для всех натуральных $n$?

Переведи с русского языка на математический.

Высказывание «Сумма кубов первых $n$ последовательных натуральных чисел равна квадрату их суммы» означает, что результат сложения кубов чисел от 1 до $n$ равен квадрату результата сложения самих этих чисел.

На математическом языке это записывается в виде равенства:
$1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = (1 + 2 + 3 + \dots + n)^2$

С использованием знака суммирования (сигма) это тождество выглядит так:
$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^2$

Ответ: $1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = (1 + 2 + \dots + n)^2$ или в более краткой форме $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^2$.

Проверь истинность данного высказывания для n = 2, 3, 4, 5, 6.

Проверим равенство для каждого указанного значения $n$.

Для $n=2$:
Левая часть (сумма кубов): $1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9$.
Правая часть (квадрат суммы): $(1 + 2)^2 = 3^2 = 9$.
$9 = 9$. Равенство истинно.

Для $n=3$:
Левая часть: $1^3 + 2^3 + 3^3 = 1 + 8 + 27 = 36$.
Правая часть: $(1 + 2 + 3)^2 = 6^2 = 36$.
$36 = 36$. Равенство истинно.

Для $n=4$:
Левая часть: $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 36 + 64 = 100$.
Правая часть: $(1 + 2 + 3 + 4)^2 = 10^2 = 100$.
$100 = 100$. Равенство истинно.

Для $n=5$:
Левая часть: $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 = 100 + 125 = 225$.
Правая часть: $(1 + 2 + 3 + 4 + 5)^2 = 15^2 = 225$.
$225 = 225$. Равенство истинно.

Для $n=6$:
Левая часть: $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 = 225 + 216 = 441$.
Правая часть: $(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)^2 = 21^2 = 441$.
$441 = 441$. Равенство истинно.

Ответ: Проверка показала, что высказывание истинно для всех заданных значений $n = 2, 3, 4, 5, 6$.

Можно ли на основании проведённого исследования утверждать, что данное высказывание верно для всех натуральных n?

Нет, на основании проверки утверждения лишь для нескольких частных случаев (в данном исследовании для $n = 2, 3, 4, 5, 6$) нельзя делать вывод о его справедливости для всех без исключения натуральных чисел.

В математике утверждение, которое должно быть верным для бесконечного множества элементов, требует строгого общего доказательства. Проверка на конечном числе примеров, даже если все они подтверждают гипотезу, не является доказательством. Она лишь дает основание предполагать, что утверждение может быть верным, но не исключает возможности существования контрпримера (такого числа $n$, для которого равенство не выполняется).

Для доказательства подобных утверждений для всех натуральных чисел, как правило, используется метод математической индукции. Стоит отметить, что данное утверждение (известное как формула Никомаха) действительно верно для всех натуральных $n$, но само по себе проведенное исследование этого строго не доказывает.

Ответ: Нет, нельзя.