Номер 600, страница 129, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

600 Докажи или опровергни высказывание:

1) $\exists a \in N: a^2 > a;$

2) $\exists a \in N: a^2 < a.$

1) Данное высказывание истинно. Оно гласит, что существует ($∃$) натуральное число ($a \in N$), квадрат которого больше самого числа ($a^2 > a$).

Чтобы доказать это утверждение, достаточно привести хотя бы один пример такого натурального числа. Множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$.

Рассмотрим несколько первых натуральных чисел:

• Если $a=1$, то $a^2=1^2=1$. Неравенство $1>1$ ложно, так как $1=1$.
• Если $a=2$, то $a^2=2^2=4$. Неравенство $4>2$ истинно.

Мы нашли натуральное число $a=2$, для которого выполняется условие $a^2 > a$. Этого достаточно, чтобы доказать истинность всего высказывания.

В более общем виде, решим неравенство $a^2 > a$ для $a \in N$.

$a^2 - a > 0$

$a(a-1) > 0$

Поскольку $a$ — натуральное число, то $a \ge 1$, а значит $a > 0$. Мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $a$, при этом знак неравенства не изменится:

$a - 1 > 0$

$a > 1$

Таким образом, неравенство $a^2 > a$ справедливо для всех натуральных чисел, больших 1 (например, 2, 3, 4, ...). Поскольку такие числа существуют, высказывание истинно.

Ответ: Высказывание истинно.

2) Данное высказывание ложно. Оно гласит, что существует ($∃$) натуральное число ($a \in N$), квадрат которого меньше самого числа ($a^2 < a$).

Чтобы опровергнуть это утверждение, необходимо доказать, что ни для одного натурального числа это условие не выполняется.

Рассмотрим неравенство $a^2 < a$ для $a \in N$.

$a^2 - a < 0$

$a(a-1) < 0$

Так как $a$ — натуральное число, $a$ всегда положительно ($a > 0$). Чтобы произведение $a(a-1)$ было отрицательным, второй множитель $(a-1)$ должен быть отрицательным:

$a - 1 < 0$

$a < 1$

Итак, неравенство $a^2 < a$ выполняется для чисел $a$, удовлетворяющих двум условиям одновременно: $a > 0$ и $a < 1$. Это соответствует интервалу $0 < a < 1$.

Однако, в этом интервале нет ни одного натурального числа, так как множество натуральных чисел $N$ начинается с 1 ($N = \{1, 2, 3, ...\}$).

Проверим отдельно наименьшее натуральное число $a=1$:

$1^2 < 1 \implies 1 < 1$, что является ложным утверждением.

Для всех остальных натуральных чисел $a > 1$, как было показано в пункте 1, выполняется неравенство $a^2 > a$.

Следовательно, не существует натурального числа $a$, для которого выполнялось бы условие $a^2 < a$.

Ответ: Высказывание ложно.