Номер 567, страница 122, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

567 1) В классе 30 учеников, причём число девочек составляет $\frac{2}{3}$ числа мальчиков. Сколько девочек и сколько мальчиков учится в этом классе? Какую часть всех учащихся класса составляют мальчики?

2) В трёх домах проживает 400 человек. $\frac{2}{5}$ числа жильцов первого дома равны $\frac{1}{3}$ числа жильцов второго дома и $\frac{2}{9}$ числа жильцов третьего дома. Сколько человек проживает в каждом доме?

1)

Пусть $x$ — количество мальчиков в классе.

Поскольку число девочек составляет $\frac{2}{3}$ числа мальчиков, то количество девочек равно $\frac{2}{3}x$.

Всего в классе 30 учеников, поэтому мы можем составить уравнение, сложив количество мальчиков и девочек:

$x + \frac{2}{3}x = 30$

Чтобы решить уравнение, приведем слагаемые в левой части к общему знаменателю:

$\frac{3}{3}x + \frac{2}{3}x = 30$

$\frac{5}{3}x = 30$

Теперь найдем $x$:

$x = 30 \cdot \frac{3}{5} = \frac{30 \cdot 3}{5} = 6 \cdot 3 = 18$

Следовательно, в классе 18 мальчиков.

Теперь найдем количество девочек, зная, что всего учеников 30:

$30 - 18 = 12$

В классе 12 девочек.

Проверим: $\frac{2}{3}$ от 18 равно $\frac{2}{3} \cdot 18 = 12$, что соответствует количеству девочек.

Далее найдем, какую часть всех учащихся класса составляют мальчики.

Количество мальчиков — 18.

Общее количество учащихся — 30.

Часть, которую составляют мальчики, это отношение числа мальчиков к общему числу учащихся:

$\frac{18}{30}$

Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 6:

$\frac{18 \div 6}{30 \div 6} = \frac{3}{5}$

Ответ: в классе 12 девочек и 18 мальчиков; мальчики составляют $\frac{3}{5}$ всех учащихся класса.

2)

Пусть в первом доме проживает $H_1$ человек, во втором — $H_2$ человек, а в третьем — $H_3$ человек.

Суммарное количество жильцов во всех трех домах равно 400:

$H_1 + H_2 + H_3 = 400$

Из условия задачи мы знаем, что $\frac{2}{5}$ числа жильцов первого дома равны $\frac{1}{3}$ числа жильцов второго дома и $\frac{2}{9}$ числа жильцов третьего дома.

Запишем это в виде системы равенств:

$\frac{2}{5}H_1 = \frac{1}{3}H_2 = \frac{2}{9}H_3$

Выразим количество жильцов во втором и третьем домах ($H_2$ и $H_3$) через количество жильцов в первом доме ($H_1$).

Из равенства $\frac{2}{5}H_1 = \frac{1}{3}H_2$ найдем $H_2$:

$H_2 = 3 \cdot \frac{2}{5}H_1 = \frac{6}{5}H_1$

Из равенства $\frac{2}{5}H_1 = \frac{2}{9}H_3$ найдем $H_3$:

$H_3 = \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{5}H_1 = \frac{9}{5}H_1$

Теперь подставим выражения для $H_2$ и $H_3$ в первое уравнение:

$H_1 + \frac{6}{5}H_1 + \frac{9}{5}H_1 = 400$

Приведем все члены к общему знаменателю и сложим их:

$(\frac{5}{5} + \frac{6}{5} + \frac{9}{5})H_1 = 400$

$\frac{20}{5}H_1 = 400$

$4H_1 = 400$

Теперь найдем $H_1$:

$H_1 = \frac{400}{4} = 100$

В первом доме проживает 100 человек.

Найдем количество жильцов в остальных домах:

$H_2 = \frac{6}{5}H_1 = \frac{6}{5} \cdot 100 = 120$

Во втором доме проживает 120 человек.

$H_3 = \frac{9}{5}H_1 = \frac{9}{5} \cdot 100 = 180$

В третьем доме проживает 180 человек.

Проверка: $100 + 120 + 180 = 400$.

Ответ: в первом доме проживает 100 человек, во втором — 120 человек, в третьем — 180 человек.