Номер 564, страница 122, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

564 Бабушка поставила перед тремя внуками вазочку с шоколадными батончиками. За угощением внуки подходили поочерёдно. Первый по просьбе бабушки взял $\frac{1}{4}$ всех батончиков и ещё 1 батончик. Второму было предложено взять $\frac{1}{4}$ того, что осталось, и ещё 2 батончика. Третьему полагалось взять также $\frac{1}{4}$ остатка и ещё 3 батончика. После чего ваза опустела. Докажи, что всем внукам досталось поровну.

Для доказательства утверждения решим задачу с конца, определив, сколько батончиков брал каждый внук.

Третий внук

Пусть перед тем, как третий внук подошел к вазе, в ней было $x_2$ батончиков. Он взял $\frac{1}{4}$ остатка и еще 3 батончика, то есть $(\frac{1}{4}x_2 + 3)$ батончика. После этого ваза опустела. Это значит, что количество взятых им батончиков равно количеству, которое было в вазе:

$\frac{1}{4}x_2 + 3 = x_2$

Решим это уравнение:

$x_2 - \frac{1}{4}x_2 = 3$

$\frac{3}{4}x_2 = 3$

$x_2 = 3 \cdot \frac{4}{3} = 4$

Таким образом, перед третьим внуком в вазе было 4 батончика. Количество батончиков, которые взял третий внук, равно 4.

Второй внук

Пусть перед вторым внуком в вазе был $x_1$ батончик. Он взял $\frac{1}{4}$ этого количества и еще 2 батончика, то есть $(\frac{1}{4}x_1 + 2)$ батончика. После него в вазе осталось 4 батончика (количество $x_2$, которое мы нашли ранее). Составим уравнение:

$x_1 - (\frac{1}{4}x_1 + 2) = 4$

Решим его:

$x_1 - \frac{1}{4}x_1 - 2 = 4$

$\frac{3}{4}x_1 = 6$

$x_1 = 6 \cdot \frac{4}{3} = 8$

Значит, перед вторым внуком в вазе было 8 батончиков. Количество батончиков, которые он взял, составляет: $\frac{1}{4}(8) + 2 = 2 + 2 = 4$.

Первый внук

Пусть изначально в вазе было $x$ батончиков. Первый внук взял $\frac{1}{4}$ всех батончиков и еще 1, то есть $(\frac{1}{4}x + 1)$ батончик. После него в вазе осталось 8 батончиков (количество $x_1$). Составим уравнение:

$x - (\frac{1}{4}x + 1) = 8$

Решим его:

$x - \frac{1}{4}x - 1 = 8$

$\frac{3}{4}x = 9$

$x = 9 \cdot \frac{4}{3} = 12$

Изначально в вазе было 12 батончиков. Количество батончиков, которые взял первый внук, составляет: $\frac{1}{4}(12) + 1 = 3 + 1 = 4$.

Доказательство

В результате расчетов мы установили:

Первый внук взял 4 батончика.

Второй внук взял 4 батончика.

Третий внук взял 4 батончика.

Поскольку $4 = 4 = 4$, всем внукам досталось поровну, что и требовалось доказать.

Ответ: Было доказано, что каждому внуку досталось по 4 батончика, следовательно, всем досталось поровну.