Номер 545, страница 115, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

545 Реши уравнение:

1) $9 \frac{1}{5} - \left(5x - 4 \frac{1}{2}\right) : 11 \frac{1}{4} = 8 \frac{14}{15};$

2) $\frac{5}{12} y + 3 \frac{2}{9} + 1 \frac{7}{8} y = 5 \frac{1}{18}.$

1) $9\frac{1}{5}-(5x-4\frac{1}{2}):11\frac{1}{4}=8\frac{14}{15}$

Для решения уравнения сначала преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби:

$9\frac{1}{5} = \frac{9 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{46}{5}$

$4\frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{9}{2}$

$11\frac{1}{4} = \frac{11 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{45}{4}$

$8\frac{14}{15} = \frac{8 \cdot 15 + 14}{15} = \frac{120 + 14}{15} = \frac{134}{15}$

Подставим полученные дроби в исходное уравнение:

$\frac{46}{5} - (5x - \frac{9}{2}) : \frac{45}{4} = \frac{134}{15}$

В этом уравнении выражение $(5x - \frac{9}{2}) : \frac{45}{4}$ является вычитаемым. Чтобы его найти, нужно из уменьшаемого вычесть разность:

$(5x - \frac{9}{2}) : \frac{45}{4} = \frac{46}{5} - \frac{134}{15}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 15:

$(5x - \frac{9}{2}) : \frac{45}{4} = \frac{46 \cdot 3}{15} - \frac{134}{15} = \frac{138 - 134}{15} = \frac{4}{15}$

Теперь выражение $(5x - \frac{9}{2})$ является делимым. Чтобы его найти, нужно частное умножить на делитель:

$5x - \frac{9}{2} = \frac{4}{15} \cdot \frac{45}{4}$

$5x - \frac{9}{2} = \frac{4 \cdot 45}{15 \cdot 4}$

Сократим дробь:

$5x - \frac{9}{2} = 3$

Теперь $5x$ является уменьшаемым. Чтобы его найти, нужно к разности прибавить вычитаемое:

$5x = 3 + \frac{9}{2} = \frac{6}{2} + \frac{9}{2} = \frac{15}{2}$

Наконец, найдем $x$, разделив произведение на известный множитель:

$x = \frac{15}{2} : 5 = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

Ответ: $1\frac{1}{2}$.

2) $\frac{5}{12}y+3\frac{2}{9}+1\frac{7}{8}y=5\frac{1}{18}$

Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную $y$, в левой части, а числовые слагаемые перенесем в правую часть:

$\frac{5}{12}y + 1\frac{7}{8}y = 5\frac{1}{18} - 3\frac{2}{9}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$1\frac{7}{8} = \frac{15}{8}$; $5\frac{1}{18} = \frac{91}{18}$; $3\frac{2}{9} = \frac{29}{9}$

Подставим дроби в уравнение:

$\frac{5}{12}y + \frac{15}{8}y = \frac{91}{18} - \frac{29}{9}$

Выполним действия в левой и правой частях. Сначала в левой части вынесем $y$ за скобки и сложим коэффициенты, приведя их к общему знаменателю 24:

$(\frac{5}{12} + \frac{15}{8})y = (\frac{5 \cdot 2}{24} + \frac{15 \cdot 3}{24})y = (\frac{10}{24} + \frac{45}{24})y = \frac{55}{24}y$

Теперь выполним вычитание в правой части, приведя дроби к общему знаменателю 18:

$\frac{91}{18} - \frac{29 \cdot 2}{18} = \frac{91 - 58}{18} = \frac{33}{18}$

Сократим полученную дробь на 3:

$\frac{33}{18} = \frac{11}{6}$

Уравнение принимает вид:

$\frac{55}{24}y = \frac{11}{6}$

Чтобы найти $y$, разделим правую часть на коэффициент при $y$:

$y = \frac{11}{6} : \frac{55}{24} = \frac{11}{6} \cdot \frac{24}{55}$

Сократим дробь перед умножением:

$y = \frac{11 \cdot 24}{6 \cdot 55} = \frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 5} = \frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{4}{5}$.