Номер 523, страница 110, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

523 Известно, что натуральное число $a$ больше 10. Что больше:

1) $\frac{2a+3}{a}$ или $\frac{23}{10}$;

2) $\frac{2a-3}{a}$ или $\frac{17}{10}$?

1)

Чтобы сравнить два выражения, $ \frac{2a + 3}{a} $ и $ \frac{23}{10} $, преобразуем каждое из них.

Первое выражение можно представить в виде суммы: $ \frac{2a + 3}{a} = \frac{2a}{a} + \frac{3}{a} = 2 + \frac{3}{a} $.

Второе выражение представим в виде десятичной дроби и затем в виде суммы: $ \frac{23}{10} = 2,3 = 2 + 0,3 = 2 + \frac{3}{10} $.

Теперь задача сводится к сравнению выражений $ 2 + \frac{3}{a} $ и $ 2 + \frac{3}{10} $. Отбросив одинаковую целую часть (2), сравним дроби $ \frac{3}{a} $ и $ \frac{3}{10} $.

По условию, $ a $ — натуральное число и $ a > 10 $.

Так как $ a > 10 $ (и оба числа положительные), то для обратных им величин будет справедливо неравенство с противоположным знаком: $ \frac{1}{a} < \frac{1}{10} $.

Умножим обе части неравенства на положительное число 3. Знак неравенства при этом не изменится: $ 3 \cdot \frac{1}{a} < 3 \cdot \frac{1}{10} $, то есть $ \frac{3}{a} < \frac{3}{10} $.

Раз $ \frac{3}{a} < \frac{3}{10} $, то и $ 2 + \frac{3}{a} < 2 + \frac{3}{10} $.

Следовательно, $ \frac{2a + 3}{a} < \frac{23}{10} $.

Ответ: $ \frac{23}{10} $ больше.

2)

Аналогично сравним выражения $ \frac{2a - 3}{a} $ и $ \frac{17}{10} $.

Преобразуем первое выражение: $ \frac{2a - 3}{a} = \frac{2a}{a} - \frac{3}{a} = 2 - \frac{3}{a} $.

Преобразуем второе выражение: $ \frac{17}{10} = 1,7 = 2 - 0,3 = 2 - \frac{3}{10} $.

Теперь задача сводится к сравнению выражений $ 2 - \frac{3}{a} $ и $ 2 - \frac{3}{10} $. Это эквивалентно сравнению $ -\frac{3}{a} $ и $ -\frac{3}{10} $.

Как мы установили в первом пункте, из условия $ a > 10 $ следует, что $ \frac{1}{a} < \frac{1}{10} $.

Теперь умножим обе части этого неравенства на отрицательное число -3. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$ (-3) \cdot \frac{1}{a} > (-3) \cdot \frac{1}{10} $

$ -\frac{3}{a} > -\frac{3}{10} $

Прибавив к обеим частям неравенства число 2, мы не изменим знак неравенства: $ 2 - \frac{3}{a} > 2 - \frac{3}{10} $.

Следовательно, $ \frac{2a - 3}{a} > \frac{17}{10} $.

Ответ: $ \frac{2a - 3}{a} $ больше.