Номер 667, страница 143, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

667 Докажи, что значение выражения является наименьшим натуральным числом:

$\left[\left(5\frac{3}{8} : 1\frac{11}{32} - 6\frac{3}{5} : 3\right) \cdot 4\frac{1}{6} - 2\frac{1}{6} : \left(3\frac{1}{12} - 2 \cdot 1\frac{3}{8}\right)\right]^2$

Для того чтобы доказать, что значение выражения является наименьшим натуральным числом, необходимо вычислить это значение и показать, что оно равно 1 (так как 1 — наименьшее натуральное число). Выполним вычисления по действиям, соблюдая порядок операций.

Исходное выражение: $[(5\frac{3}{8} : 1\frac{11}{32} - 6\frac{3}{5} : 3) \cdot 4\frac{1}{6} - 2\frac{1}{6} : (3\frac{1}{12} - 2 \cdot 1\frac{3}{8})]^2$

1. Выполним действия в круглых скобках.

а) Вычисление первой скобки: $5\frac{3}{8} : 1\frac{11}{32} - 6\frac{3}{5} : 3$.

Сначала деление: $5\frac{3}{8} : 1\frac{11}{32} = \frac{43}{8} : \frac{43}{32} = \frac{43}{8} \cdot \frac{32}{43} = \frac{32}{8} = 4$.

Второе деление: $6\frac{3}{5} : 3 = \frac{33}{5} : 3 = \frac{33}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{11}{5}$.

Теперь вычитание: $4 - \frac{11}{5} = \frac{20}{5} - \frac{11}{5} = \frac{9}{5}$.

б) Вычисление второй скобки: $3\frac{1}{12} - 2 \cdot 1\frac{3}{8}$.

Сначала умножение: $2 \cdot 1\frac{3}{8} = 2 \cdot \frac{11}{8} = \frac{22}{8} = \frac{11}{4}$.

Теперь вычитание: $3\frac{1}{12} - \frac{11}{4} = \frac{37}{12} - \frac{11 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{37}{12} - \frac{33}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

2. Подставим полученные значения в выражение внутри квадратных скобок.

Выражение становится таким: $[\frac{9}{5} \cdot 4\frac{1}{6} - 2\frac{1}{6} : \frac{1}{3}]^2$.

Выполним умножение и деление внутри скобок.

Умножение: $\frac{9}{5} \cdot 4\frac{1}{6} = \frac{9}{5} \cdot \frac{25}{6} = \frac{9 \cdot 25}{5 \cdot 6} = \frac{3 \cdot 5}{2} = \frac{15}{2}$.

Деление: $2\frac{1}{6} : \frac{1}{3} = \frac{13}{6} \cdot 3 = \frac{13}{2}$.

Выполним вычитание: $\frac{15}{2} - \frac{13}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

3. Последнее действие — возведение в квадрат.

Результат, полученный в квадратных скобках, равен 1. Возводим его в квадрат: $1^2 = 1$.

Таким образом, значение всего выражения равно 1. Наименьшим натуральным числом является 1. Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: Значение выражения равно 1, что является наименьшим натуральным числом.