Номер 670, страница 143, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

670 Составь и реши уравнение.

Число $1\frac{1}{2}$ разделили на задуманное число, к полученному частному приба-

вили $2\frac{2}{5}$, сумму умножили на $1\frac{2}{3}$, а затем из полученного произведения

вычли $1\frac{2}{3}$. В результате получили $2\frac{5}{6}$. Найти задуманное число.

Пусть задуманное число – это $x$. Согласно условию задачи, составим уравнение, последовательно выполняя указанные действия:

1. Число $1\frac{1}{2}$ разделили на задуманное число: $1\frac{1}{2} : x$.

2. К полученному частному прибавили $2\frac{2}{5}$: $1\frac{1}{2} : x + 2\frac{2}{5}$.

3. Полученную сумму умножили на $1\frac{2}{3}$: $\left(1\frac{1}{2} : x + 2\frac{2}{5}\right) \cdot 1\frac{2}{3}$.

4. Из полученного произведения вычли $1\frac{2}{3}$ и в результате получили $2\frac{5}{6}$.

Итоговое уравнение выглядит так:

$\left(1\frac{1}{2} : x + 2\frac{2}{5}\right) \cdot 1\frac{2}{3} - 1\frac{2}{3} = 2\frac{5}{6}$

Теперь решим это уравнение. Сначала преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби для удобства вычислений:

$1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$; $2\frac{2}{5} = \frac{12}{5}$; $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$; $2\frac{5}{6} = \frac{17}{6}$.

Подставим эти значения в уравнение. Деление на $x$ можно записать как $\frac{3}{2x}$:

$\left(\frac{3}{2x} + \frac{12}{5}\right) \cdot \frac{5}{3} - \frac{5}{3} = \frac{17}{6}$

Найдем уменьшаемое, прибавив к разности вычитаемое. Перенесем $\frac{5}{3}$ в правую часть:

$\left(\frac{3}{2x} + \frac{12}{5}\right) \cdot \frac{5}{3} = \frac{17}{6} + \frac{5}{3}$

$\frac{17}{6} + \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{17}{6} + \frac{10}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$

Уравнение принимает вид:

$\left(\frac{3}{2x} + \frac{12}{5}\right) \cdot \frac{5}{3} = \frac{9}{2}$

Теперь найдем неизвестный множитель в скобках, разделив произведение на известный множитель:

$\frac{3}{2x} + \frac{12}{5} = \frac{9}{2} : \frac{5}{3} = \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{27}{10}$

Найдем неизвестное слагаемое, вычтя из суммы известное слагаемое:

$\frac{3}{2x} = \frac{27}{10} - \frac{12}{5} = \frac{27}{10} - \frac{12 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{27}{10} - \frac{24}{10} = \frac{3}{10}$

Получили равенство:

$\frac{3}{2x} = \frac{3}{10}$

Так как числители дробей равны, то для равенства дробей должны быть равны и их знаменатели:

$2x = 10$

$x = 10 : 2$

$x = 5$

Ответ: задуманное число равно 5.