Номер 669, страница 143, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

669 Расстояние между посёлками А и В равно $14 \frac{2}{3}$ км. Из посёлка А в В вышел пешеход со скоростью $3 \frac{2}{3}$ км/ч. Через $\frac{1}{2}$ ч после его выхода из посёлка В в А вышел второй пешеход со скоростью в $1 \frac{1}{3}$ раза меньшей, чем у первого.

За сколько времени каждый из пешеходов пройдёт весь путь от А до В?

Через сколько времени после своего выхода второй пешеход встретится с первым?

Для решения задачи сначала переведем все смешанные числа в неправильные дроби и определим скорости обоих пешеходов.

Расстояние между посёлками А и В: $S = 14\frac{2}{3} = \frac{14 \times 3 + 2}{3} = \frac{44}{3}$ км.
Скорость первого пешехода: $v_1 = 3\frac{2}{3} = \frac{3 \times 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}$ км/ч.
Скорость второго пешехода в $1\frac{1}{3}$ раза меньше скорости первого. Переведем $1\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $1\frac{1}{3} = \frac{1 \times 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$.
Чтобы найти скорость второго пешехода, нужно скорость первого разделить на это число:
$v_2 = v_1 \div \frac{4}{3} = \frac{11}{3} \div \frac{4}{3} = \frac{11}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{11}{4}$ км/ч.

За сколько времени каждый из пешеходов пройдёт весь путь от А до В?
Время ($t$) вычисляется по формуле $t = S \div v$, где $S$ - расстояние, а $v$ - скорость.
Время для первого пешехода:
$t_1 = S \div v_1 = \frac{44}{3} \div \frac{11}{3} = \frac{44}{3} \times \frac{3}{11} = \frac{44}{11} = 4$ часа.
Время для второго пешехода:
$t_2 = S \div v_2 = \frac{44}{3} \div \frac{11}{4} = \frac{44}{3} \times \frac{4}{11} = \frac{4 \times 11 \times 4}{3 \times 11} = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$ часа.
Чтобы перевести $5\frac{1}{3}$ часа в часы и минуты, нужно $\frac{1}{3}$ часа умножить на 60 минут: $\frac{1}{3} \times 60 = 20$ минут.
Ответ: первый пешеход пройдёт весь путь за 4 часа, а второй — за 5 часов 20 минут.

Через сколько времени после своего выхода второй пешеход встретится с первым?
Первый пешеход вышел на $\frac{1}{2}$ часа раньше. За это время он успел пройти:
$S_{фора} = v_1 \times \frac{1}{2} = \frac{11}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{11}{6}$ км.
Когда второй пешеход начал движение из посёлка B, расстояние между ними было уже не $\frac{44}{3}$ км, а меньше на то расстояние, что прошёл первый:
$S_{ост} = S - S_{фора} = \frac{44}{3} - \frac{11}{6} = \frac{88}{6} - \frac{11}{6} = \frac{77}{6}$ км.
Пешеходы движутся навстречу друг другу, значит, их общая скорость (скорость сближения) равна сумме их скоростей:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = \frac{11}{3} + \frac{11}{4} = \frac{11 \times 4}{12} + \frac{11 \times 3}{12} = \frac{44 + 33}{12} = \frac{77}{12}$ км/ч.
Время до встречи с момента выхода второго пешехода равно оставшемуся расстоянию, деленному на скорость сближения:
$t_{встр} = S_{ост} \div v_{сбл} = \frac{77}{6} \div \frac{77}{12} = \frac{77}{6} \times \frac{12}{77} = \frac{12}{6} = 2$ часа.
Ответ: второй пешеход встретится с первым через 2 часа после своего выхода.