Номер 665, страница 143, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

665 Выполни действия:

1) $1\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{16} \cdot 2\frac{2}{3} \cdot 6\frac{6}{7}$;

2) $1\frac{7}{9} : 1\frac{1}{3} : 2 : 1\frac{3}{5}$;

3) $7\frac{1}{5} \cdot 2 : 1\frac{1}{7} \cdot 1\frac{2}{3}$.

1) $1\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{16} \cdot 2\frac{2}{3} \cdot 6\frac{6}{7}$
Для выполнения действий сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$
$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$
$6\frac{6}{7} = \frac{6 \cdot 7 + 6}{7} = \frac{42+6}{7} = \frac{48}{7}$
Теперь подставим полученные дроби в исходное выражение и перемножим их:
$\frac{7}{4} \cdot \frac{5}{16} \cdot \frac{8}{3} \cdot \frac{48}{7} = \frac{7 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 48}{4 \cdot 16 \cdot 3 \cdot 7}$
Сократим общие множители в числителе и знаменателе:
$\frac{\cancel{7} \cdot 5 \cdot 8 \cdot 48}{4 \cdot 16 \cdot 3 \cdot \cancel{7}} = \frac{5 \cdot 8 \cdot 48}{4 \cdot 16 \cdot 3}$
Знаменатель $4 \cdot 16 \cdot 3 = 192$. Числитель $5 \cdot 8 \cdot 48 = 1920$.
Другой способ — последовательное сокращение. Сократим $8$ и $16$ (останется $2$ в знаменателе):
$\frac{5 \cdot \cancel{8}^1 \cdot 48}{4 \cdot \cancel{16}^2 \cdot 3} = \frac{5 \cdot 48}{4 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{5 \cdot 48}{24}$
Теперь сократим $48$ и $24$ (останется $2$ в числителе):
$\frac{5 \cdot \cancel{48}^2}{\cancel{24}^1} = 5 \cdot 2 = 10$
Ответ: 10

2) $1\frac{7}{9} : 1\frac{1}{3} : 2 : 1\frac{3}{5}$
Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$1\frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{16}{9}$
$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$
$2 = \frac{2}{1}$
$1\frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{8}{5}$
Теперь заменим деление на умножение на обратную (перевернутую) дробь:
$\frac{16}{9} : \frac{4}{3} : \frac{2}{1} : \frac{8}{5} = \frac{16}{9} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8}$
Запишем все в виде одной дроби и сократим общие множители:
$\frac{16 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 5}{9 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 8} = \frac{\cancel{16}^1 \cdot 3 \cdot 5}{9 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \cancel{8}_1} = \frac{3 \cdot 5}{9 \cdot 4 \cdot 2}$
Сократим $3$ и $9$ (останется $3$ в знаменателе):
$\frac{\cancel{3}^1 \cdot 5}{\cancel{9}^3 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{5}{3 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{5}{24}$
Проверим вычисления: $\frac{16 \cdot 3 \cdot 5}{9 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 8} = \frac{240}{576}$. Сократим на 240 и 576. НОД(240, 576)=48. $240/48 = 5$, $576/48 = 12$. Ошибка в предыдущем сокращении.
Давайте выполним сокращение еще раз:
$\frac{16 \cdot 3 \cdot 5}{9 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 8}$.
Заметим, что $4 \cdot 2 \cdot 8 = 64$ в знаменателе. А в числителе есть $16$. Сократим $16$ и $64$:
$\frac{\cancel{16}^1 \cdot 3 \cdot 5}{9 \cdot \cancel{64}^4} = \frac{3 \cdot 5}{9 \cdot 4}$
Теперь сократим $3$ и $9$ (останется $3$ в знаменателе):
$\frac{\cancel{3}^1 \cdot 5}{\cancel{9}^3 \cdot 4} = \frac{5}{3 \cdot 4} = \frac{5}{12}$
Ответ: $\frac{5}{12}$

3) $7\frac{1}{5} \cdot 2 : 1\frac{1}{7} \cdot 1\frac{2}{3}$
Действия выполняются по порядку слева направо. Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$7\frac{1}{5} = \frac{7 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{36}{5}$
$1\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{8}{7}$
$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$
Перепишем выражение, заменяя деление на умножение на обратную дробь, и выполним действия по порядку:
$(\frac{36}{5} \cdot 2) : \frac{8}{7} \cdot \frac{5}{3} = \frac{72}{5} : \frac{8}{7} \cdot \frac{5}{3}$
$(\frac{72}{5} \cdot \frac{7}{8}) \cdot \frac{5}{3} = \frac{\cancel{72}^9 \cdot 7}{5 \cdot \cancel{8}^1} \cdot \frac{5}{3} = \frac{63}{5} \cdot \frac{5}{3}$
$\frac{63 \cdot \cancel{5}}{\cancel{5} \cdot 3} = \frac{63}{3} = 21$
Ответ: 21