Номер 660, страница 142, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

660 Найди произведение:

1) $\frac{7}{8} \cdot \frac{10}{21}$;

2) $\frac{12}{5} \cdot \frac{9}{16} \cdot \frac{35}{27}$;

3) $8 \cdot \frac{3}{4}$;

4) $3\frac{3}{5} \cdot 1\frac{1}{9}$;

5) $(1\frac{2}{3})^3$;

6) $\frac{a}{5b} \cdot \frac{10}{a^2} \ (a, b \neq 0).$

1) Чтобы найти произведение двух дробей, нужно перемножить их числители и знаменатели: $ \frac{7}{8} \cdot \frac{10}{21} = \frac{7 \cdot 10}{8 \cdot 21} $. Сократим числитель и знаменатель на общие множители. Числитель 7 и знаменатель 21 имеют общий множитель 7. Числитель 10 и знаменатель 8 имеют общий множитель 2. Выполним сокращение: $ \frac{\cancel{7}^1 \cdot \cancel{10}^5}{\cancel{8}^4 \cdot \cancel{21}_3} = \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 3} = \frac{5}{12} $.
Ответ: $ \frac{5}{12} $

2) Чтобы найти произведение трех дробей, нужно перемножить их числители и их знаменатели: $ \frac{12}{5} \cdot \frac{9}{16} \cdot \frac{35}{27} = \frac{12 \cdot 9 \cdot 35}{5 \cdot 16 \cdot 27} $. Сократим дробь на общие множители. 12 и 16 сокращаются на 4; 35 и 5 сокращаются на 5; 9 и 27 сокращаются на 9. Получим: $ \frac{\cancel{12}^3 \cdot \cancel{9}^1 \cdot \cancel{35}^7}{\cancel{5}_1 \cdot \cancel{16}^4 \cdot \cancel{27}_3} = \frac{3 \cdot 1 \cdot 7}{1 \cdot 4 \cdot 3} = \frac{21}{12} $. Эту дробь можно еще сократить на 3: $ \frac{21:3}{12:3} = \frac{7}{4} $. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $ \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} $.
Ответ: $ 1\frac{3}{4} $

3) Представим целое число 8 в виде дроби $ \frac{8}{1} $ и выполним умножение: $ 8 \cdot \frac{3}{4} = \frac{8}{1} \cdot \frac{3}{4} = \frac{8 \cdot 3}{1 \cdot 4} = \frac{24}{4} $. Разделим числитель на знаменатель: $ 24 : 4 = 6 $.
Ответ: $ 6 $

4) Для умножения смешанных чисел сначала преобразуем их в неправильные дроби: $ 3\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{18}{5} $ и $ 1\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{10}{9} $. Теперь перемножим полученные дроби: $ \frac{18}{5} \cdot \frac{10}{9} = \frac{18 \cdot 10}{5 \cdot 9} $. Сократим общие множители: 18 и 9 на 9; 10 и 5 на 5. $ \frac{\cancel{18}^2 \cdot \cancel{10}^2}{\cancel{5}_1 \cdot \cancel{9}_1} = \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 4 $.
Ответ: $ 4 $

5) Чтобы возвести смешанное число в степень, сначала преобразуем его в неправильную дробь: $ 1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3} $. Теперь возведем дробь в третью степень. Для этого нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель: $ (\frac{5}{3})^3 = \frac{5^3}{3^3} = \frac{5 \cdot 5 \cdot 5}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{125}{27} $. Преобразуем полученную неправильную дробь в смешанное число, разделив 125 на 27 с остатком: $ 125 : 27 = 4 $ (остаток $ 125 - 4 \cdot 27 = 125 - 108 = 17 $). Таким образом, получаем $ 4\frac{17}{27} $.
Ответ: $ 4\frac{17}{27} $

6) Выполним умножение алгебраических дробей, перемножив их числители и знаменатели: $ \frac{a}{5b} \cdot \frac{10}{a^2} = \frac{a \cdot 10}{5b \cdot a^2} $. Сократим числовые коэффициенты (10 и 5 на 5) и переменные ($ a $ и $ a^2 $ на $ a $). Учитывая, что $ a^2 = a \cdot a $: $ \frac{\cancel{a} \cdot \cancel{10}^2}{\cancel{5}_1 \cdot b \cdot a \cdot \cancel{a}} = \frac{2}{ab} $. Условие $ a, b \ne 0 $ дано, чтобы знаменатели исходных дробей и результата не были равны нулю.
Ответ: $ \frac{2}{ab} $