Номер 708, страница 152, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

708 Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями:

a) $\frac{7a - 2a}{35}$;

б) $\frac{12}{2b + b}$;

в) $\frac{8c - 2c}{8c + 2c}$;

г) $\frac{2^3 \cdot 3 \cdot 5^2}{2 \cdot 3^2 \cdot 5^3}$;

д) $\frac{25x^2z}{125x^3y}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{7a - 2a}{35}$, сначала упростим числитель, выполнив вычитание подобных слагаемых:
$7a - 2a = 5a$.
Теперь дробь имеет вид $\frac{5a}{35}$.
Далее сократим числовые коэффициенты. Наибольший общий делитель чисел 5 и 35 равен 5.
Разделим числитель и знаменатель на 5:
$\frac{5a}{35} = \frac{5a \div 5}{35 \div 5} = \frac{a}{7}$.
Ответ: $\frac{a}{7}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{12}{2b + b}$, сначала упростим знаменатель, выполнив сложение подобных слагаемых:
$2b + b = 3b$.
Теперь дробь имеет вид $\frac{12}{3b}$.
Сократим числовые коэффициенты. Наибольший общий делитель чисел 12 и 3 равен 3.
Разделим числитель и знаменатель на 3:
$\frac{12}{3b} = \frac{12 \div 3}{3b \div 3} = \frac{4}{b}$.
Ответ: $\frac{4}{b}$

в) Чтобы сократить дробь $\frac{8c - 2c}{8c + 2c}$, упростим числитель и знаменатель:
Числитель: $8c - 2c = 6c$.
Знаменатель: $8c + 2c = 10c$.
Дробь принимает вид $\frac{6c}{10c}$.
Сократим дробь на общий множитель $c$ (при условии, что $c \neq 0$), а также на наибольший общий делитель числовых коэффициентов 6 и 10, который равен 2.
$\frac{6c}{10c} = \frac{6}{10} = \frac{6 \div 2}{10 \div 2} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$

г) Чтобы сократить дробь $\frac{2^3 \cdot 3 \cdot 5^2}{2 \cdot 3^2 \cdot 5^3}$, воспользуемся свойством степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ или просто сократим одинаковые множители.
$\frac{2^3 \cdot 3 \cdot 5^2}{2 \cdot 3^2 \cdot 5^3} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5}{2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}$.
Сокращаем общие множители в числителе и знаменателе (один множитель 2, один множитель 3, два множителя 5):
В числителе остается $2 \cdot 2 = 4$.
В знаменателе остается $3 \cdot 5 = 15$.
Таким образом, получаем:
$\frac{2^2}{3 \cdot 5} = \frac{4}{15}$.
Ответ: $\frac{4}{15}$

д) Чтобы сократить дробь $\frac{25x^2z}{125x^3y}$, сократим отдельно числовые коэффициенты и степени переменных.
Сокращаем числовые коэффициенты 25 и 125. Их наибольший общий делитель равен 25.
$\frac{25}{125} = \frac{25 \div 25}{125 \div 25} = \frac{1}{5}$.
Сокращаем степени переменной $x$ по правилу $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{x^2}{x^3} = x^{2-3} = x^{-1} = \frac{1}{x}$.
Переменная $z$ остается в числителе, а переменная $y$ — в знаменателе, так как для них нет общих множителей.
Собираем все вместе:
$\frac{25x^2z}{125x^3y} = \frac{1 \cdot z}{5 \cdot x \cdot y} = \frac{z}{5xy}$.
Ответ: $\frac{z}{5xy}$