Номер 715, страница 153, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

715 1) Прочитай определение и назови определяемое понятие:

Параллелограммом называется четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

2) Найди на рисунке параллелограммы.

a

b

e

f

n

c

d

k

s

m

3) Является ли параллелограммом прямоугольник, ромб, квадрат?

4) Построй в тетради параллелограмм по клеточкам, как показано на рисунке. Какие свойства сторон и углов параллелограмма ты наблюдаешь? Сформулируй гипотезу. Достаточно ли для её доказательства измерить стороны и углы нескольких параллелограммов? Почему?

A

C

D

B

1) В приведенном определении: «Параллелограммом называется четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны», – определяемым понятием является «параллелограмм». Это геометрическая фигура, которая описывается через свои свойства (быть четырёхугольником с попарно параллельными противоположными сторонами).
Ответ: Параллелограмм.

2) Чтобы найти параллелограммы на рисунке, нужно найти все четырёхугольники, у которых противоположные стороны попарно параллельны.
- Фигуры a и f являются классическими примерами параллелограммов.
- Фигура b – это ромб, у которого все стороны равны, а противоположные стороны параллельны, поэтому это параллелограмм.
- Фигура e – это прямоугольник, у которого все углы прямые, а противоположные стороны параллельны, поэтому это параллелограмм.
- Фигура m – это квадрат, который является одновременно и прямоугольником, и ромбом, поэтому он также является параллелограммом.
- Фигура s – это ромб (или повернутый квадрат), поэтому это параллелограмм.
- Фигуры c (трапеция), d (дельтоид), k (произвольный четырёхугольник) и n (шестиугольник) не являются параллелограммами.
Ответ: a, b, e, f, m, s.

3) Да, все три фигуры являются параллелограммами.
- Прямоугольник – это четырёхугольник, у которого все углы прямые ($90^\circ$). Из этого следует, что его противоположные стороны попарно параллельны, что соответствует определению параллелограмма.
- Ромб – это четырёхугольник, у которого все стороны равны. Одним из свойств ромба является то, что его противоположные стороны параллельны, поэтому ромб является параллелограммом.
- Квадрат – это четырёхугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые. Он является частным случаем как прямоугольника, так и ромба, и, следовательно, также является параллелограммом.
Ответ: Да, является. Прямоугольник, ромб и квадрат — это частные случаи параллелограмма.

4) При построении и анализе параллелограмма по клеточкам можно наблюдать следующие свойства:
- Свойства сторон: Противоположные стороны равны по длине. В данном примере горизонтальные стороны (на рисунке это стороны, параллельные оси x) имеют длину 5 клеток. Наклонные стороны также равны друг другу. Длину каждой из них можно вычислить по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами 2 и 3 клетки: $\sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$.
- Свойства углов: Противоположные углы равны. Два противоположных угла — острые и равны друг другу, а два других противоположных угла — тупые и также равны друг другу. Сумма углов, прилежащих к одной стороне (соседних углов), равна $180^\circ$.

Гипотеза: У любого параллелограмма противоположные стороны равны, противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет $180^\circ$.

Для доказательства этой гипотезы недостаточно измерить стороны и углы нескольких параллелограммов.
Почему:
1. Неточность измерений: Любое измерение, выполненное с помощью линейки или транспортира, содержит погрешность. Мы не можем быть абсолютно уверены, что длины или углы в точности равны, а не просто очень близки.
2. Отсутствие общности: Проверка свойства на нескольких конкретных примерах не доказывает, что оно будет выполняться для всех без исключения параллелограммов, которых существует бесконечное множество. Математическое доказательство требует строгого логического вывода, основанного на аксиомах и определениях, который будет справедлив для любого параллелограмма в общем виде, а не только для измеренных образцов.
Ответ: Наблюдаемые свойства: противоположные стороны равны; противоположные углы равны; сумма соседних углов равна $180^\circ$. Гипотеза: в любом параллелограмме противоположные стороны и углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Для доказательства гипотезы недостаточно измерений, так как измерения неточны и проверка на нескольких примерах не является строгим математическим доказательством, которое должно охватывать все возможные случаи.