Номер 722, страница 154, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

722 Построй параллелограмм и проведи в нём диагонали. Какое свойство диагоналей параллелограмма ты наблюдаешь? Повтори эксперимент ещё 2 раза и сформулируй гипотезу. Можно ли считать её верной для любого параллелограмма? Почему?

Построй параллелограмм и проведи в нём диагонали. Какое свойство диагоналей параллелограмма ты наблюдаешь? Повтори эксперимент ещё 2 раза и сформулируй гипотезу.

1. Проведение эксперимента. Построим произвольный параллелограмм, например, ABCD. Для этого нарисуем две параллельные прямые, на одной отложим отрезок AD, на другой — равный ему отрезок BC, и соединим концы отрезков. В полученном параллелограмме проведем диагонали AC и BD. Точку их пересечения обозначим O.

2. Наблюдение. Если взять линейку и измерить длины отрезков, на которые точка O делит каждую диагональ, можно заметить, что отрезок AO равен отрезку OC, а отрезок BO равен отрезку OD. Таким образом, мы наблюдаем, что точка пересечения диагоналей делит каждую из них на две равные части.

3. Повторение эксперимента и формулировка гипотезы. Повторим этот эксперимент еще дважды, каждый раз строя параллелограмм с другими углами и сторонами (например, один будет ромбом, а другой — прямоугольником, которые являются частными случаями параллелограмма). В каждом из этих случаев измерения подтвердят первоначальное наблюдение. На основе этого можно сформулировать гипотезу.

Гипотеза: Диагонали любого параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит каждую из них пополам.

Ответ: Наблюдаемое свойство состоит в том, что диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. На основе этого наблюдения формулируется гипотеза: диагонали любого параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Можно ли считать её верной для любого параллелограмма? Почему?

Да, эту гипотезу можно считать верной для абсолютно любого параллелограмма. Причина в том, что это свойство является не просто наблюдением, а строгой математической теоремой, которую можно доказать. Эксперименты лишь помогают нам обнаружить это свойство и выдвинуть гипотезу, но только математическое доказательство делает его универсальным законом для всех параллелограммов без исключения.

Доказательство:
Рассмотрим произвольный параллелограмм ABCD. Его диагонали AC и BD пересекаются в точке O.
Рассмотрим треугольники △AOD и △COB.
1. Сторона AD равна стороне BC ($AD = BC$), так как это противолежащие стороны параллелограмма.
2. Угол ∠OAD равен углу ∠OCB ($∠OAD = ∠OCB$) как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC.
3. Угол ∠ODA равен углу ∠OBC ($∠ODA = ∠OBC$) как накрест лежащие углы при тех же параллельных прямых AD и BC и секущей BD.
Таким образом, треугольник △AOD равен треугольнику △COB по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны равны:
$AO = CO$
$DO = BO$
Это и означает, что точка пересечения O делит диагонали AC и BD пополам. Поскольку доказательство проведено для произвольного параллелограмма, оно справедливо для всех параллелограммов.

Ответ: Да, можно, потому что это свойство является теоремой, которая доказывается для произвольного параллелограмма. Доказательство основано на равенстве треугольников (например, △AOD и △COB), образованных противолежащими сторонами и отрезками диагоналей. Равенство этих треугольников следует из свойств параллелограмма (равенство и параллельность противолежащих сторон) и признаков равенства треугольников.