Номер 729, страница 158, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

729 Докажи, что дробь $\frac{57}{4200}$ нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

Чтобы обыкновенную дробь можно было представить в виде конечной десятичной дроби, необходимо и достаточно, чтобы знаменатель этой дроби, после ее сокращения, не содержал никаких других простых множителей, кроме 2 и 5.

Рассмотрим дробь $\frac{57}{4200}$.

Для начала сократим ее. Для этого разложим числитель и знаменатель на простые множители.

Разложение числителя 57:

Сумма цифр числа 57 равна $5 + 7 = 12$. Так как 12 делится на 3, то и 57 делится на 3.

$57 = 3 \times 19$.

Разложение знаменателя 4200:

$4200 = 42 \times 100 = (6 \times 7) \times (10 \times 10) = (2 \times 3 \times 7) \times (2 \times 5 \times 2 \times 5) = 2^3 \times 3 \times 5^2 \times 7$.

Теперь подставим разложения в дробь и сократим ее:

$\frac{57}{4200} = \frac{3 \times 19}{2^3 \times 3 \times 5^2 \times 7}$.

Сократив общий множитель 3, получаем несократимую дробь:

$\frac{19}{2^3 \times 5^2 \times 7} = \frac{19}{1400}$.

Знаменатель полученной несократимой дроби равен $1400$. Его разложение на простые множители: $1400 = 2^3 \times 5^2 \times 7$.

Как мы видим, в разложении знаменателя присутствует простой множитель 7, который отличен от 2 и 5.

Согласно правилу, это означает, что дробь $\frac{57}{4200}$ нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

Ответ: Дробь $\frac{57}{4200}$ нельзя представить в виде конечной десятичной дроби, так как после ее сокращения до несократимого вида $\frac{19}{1400}$, в разложении знаменателя ($1400 = 2^3 \times 5^2 \times 7$) на простые множители присутствует множитель 7, который отличен от 2 и 5.