Номер 732, страница 158, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

732 Разложи числитель и знаменатель дроби на простые множители и сократи дробь. Какие из этих дробей можно перевести в конечную десятичную дробь? Выполни преобразования.

1) $\frac{91}{260}$;

2) $\frac{63}{840}$;

3) $\frac{847}{5500}$;

4) $\frac{459}{20400}$.

Для того чтобы определить, можно ли дробь перевести в конечную десятичную, необходимо сначала сократить ее. Если в разложении знаменателя несократимой дроби на простые множители присутствуют только числа 2 и 5, то дробь можно представить в виде конечной десятичной. В противном случае — нельзя.

1) $\frac{91}{260}$

Разложим числитель и знаменатель на простые множители:

Числитель: $91 = 7 \cdot 13$.

Знаменатель: $260 = 26 \cdot 10 = (2 \cdot 13) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 5 \cdot 13$.

Теперь сократим дробь:

$\frac{91}{260} = \frac{7 \cdot 13}{2^2 \cdot 5 \cdot 13} = \frac{7}{2^2 \cdot 5} = \frac{7}{20}$.

Знаменатель несократимой дроби $20 = 2^2 \cdot 5$ содержит только простые множители 2 и 5, следовательно, эту дробь можно перевести в конечную десятичную. Для этого приведем знаменатель к степени 10. В знаменателе $2^2 \cdot 5^1$, поэтому домножим числитель и знаменатель на $5$:

$\frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{35}{100} = 0.35$.

Ответ: Сокращенная дробь $\frac{7}{20}$. Дробь можно перевести в конечную десятичную: $0.35$.

2) $\frac{63}{840}$

Разложим числитель и знаменатель на простые множители:

Числитель: $63 = 9 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7$.

Знаменатель: $840 = 84 \cdot 10 = (12 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5) = (2^2 \cdot 3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.

Сократим дробь:

$\frac{63}{840} = \frac{3^2 \cdot 7}{2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{3}{2^3 \cdot 5} = \frac{3}{40}$.

Знаменатель несократимой дроби $40 = 2^3 \cdot 5$ содержит только простые множители 2 и 5, значит, дробь можно перевести в конечную десятичную. Чтобы получить в знаменателе степень 10, нужно, чтобы степени у множителей 2 и 5 совпадали. В знаменателе $2^3 \cdot 5^1$, поэтому домножим на $5^2=25$:

$\frac{3}{40} = \frac{3 \cdot 25}{40 \cdot 25} = \frac{75}{1000} = 0.075$.

Ответ: Сокращенная дробь $\frac{3}{40}$. Дробь можно перевести в конечную десятичную: $0.075$.

3) $\frac{847}{5500}$

Разложим числитель и знаменатель на простые множители:

Числитель: $847 = 7 \cdot 121 = 7 \cdot 11^2$.

Знаменатель: $5500 = 55 \cdot 100 = 5 \cdot 11 \cdot 10^2 = 5 \cdot 11 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^3 \cdot 11$.

Сократим дробь:

$\frac{847}{5500} = \frac{7 \cdot 11^2}{2^2 \cdot 5^3 \cdot 11} = \frac{7 \cdot 11}{2^2 \cdot 5^3} = \frac{77}{500}$.

Знаменатель несократимой дроби $500 = 2^2 \cdot 5^3$ содержит только простые множители 2 и 5, следовательно, дробь переводится в конечную десятичную. В знаменателе $2^2 \cdot 5^3$, домножим на $2$:

$\frac{77}{500} = \frac{77 \cdot 2}{500 \cdot 2} = \frac{154}{1000} = 0.154$.

Ответ: Сокращенная дробь $\frac{77}{500}$. Дробь можно перевести в конечную десятичную: $0.154$.

4) $\frac{459}{20400}$

Разложим числитель и знаменатель на простые множители:

Числитель: $459 = 9 \cdot 51 = 3^2 \cdot 3 \cdot 17 = 3^3 \cdot 17$.

Знаменатель: $20400 = 204 \cdot 100 = (4 \cdot 51) \cdot 100 = (2^2 \cdot 3 \cdot 17) \cdot (2^2 \cdot 5^2) = 2^4 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 17$.

Сократим дробь:

$\frac{459}{20400} = \frac{3^3 \cdot 17}{2^4 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 17} = \frac{3^2}{2^4 \cdot 5^2} = \frac{9}{16 \cdot 25} = \frac{9}{400}$.

Знаменатель несократимой дроби $400 = 2^4 \cdot 5^2$ содержит только простые множители 2 и 5, значит, дробь можно перевести в конечную десятичную. В знаменателе $2^4 \cdot 5^2$, домножим на $5^2=25$:

$\frac{9}{400} = \frac{9 \cdot 25}{400 \cdot 25} = \frac{225}{10000} = 0.0225$.

Ответ: Сокращенная дробь $\frac{9}{400}$. Дробь можно перевести в конечную десятичную: $0.0225$.

Таким образом, все четыре представленные дроби можно перевести в конечную десятичную дробь.