Номер 738, страница 159, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

738 Докажи, что ответ примера нельзя записать в виде конечной десятичной дроби:

$\frac{\left( 15 \frac{5}{7} \div 11 + 23 \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{19} \right) \div \left[ \left( 4 \frac{1}{2} - 1 \frac{5}{6} \right) \div 7 \right]}{40032 - \left( 87312 \cdot 0 + 263886 \div 854 \right) \cdot 108}$

Для того чтобы доказать, что ответ примера не может быть записан в виде конечной десятичной дроби, необходимо вычислить значение этого выражения и проанализировать полученный результат. Рациональное число (дробь) можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда знаменатель несократимой дроби в разложении на простые множители содержит только множители 2 и 5.

Вычислим значение выражения по действиям.

Сначала вычислим числитель: $(15\frac{5}{7} : 11 + 23\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{19}) : [(4\frac{1}{2} - 1\frac{5}{6}) : 7]$

1) $15\frac{5}{7} : 11 = \frac{15 \cdot 7 + 5}{7} : 11 = \frac{110}{7} \cdot \frac{1}{11} = \frac{10}{7}$

2) $23\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{19} = \frac{23 \cdot 4 + 3}{4} \cdot \frac{8}{19} = \frac{95}{4} \cdot \frac{8}{19} = \frac{5 \cdot 19 \cdot 2 \cdot 4}{4 \cdot 19} = 10$

3) $\frac{10}{7} + 10 = \frac{10}{7} + \frac{70}{7} = \frac{80}{7}$

4) $4\frac{1}{2} - 1\frac{5}{6} = \frac{9}{2} - \frac{11}{6} = \frac{27}{6} - \frac{11}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$

5) $\frac{8}{3} : 7 = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{7} = \frac{8}{21}$

6) $\frac{80}{7} : \frac{8}{21} = \frac{80}{7} \cdot \frac{21}{8} = \frac{10 \cdot 8 \cdot 3 \cdot 7}{7 \cdot 8} = 30$. Итак, числитель равен 30.

Теперь вычислим знаменатель: $40032 - (87312 \cdot 0 + 263886 : 854) \cdot 108$

7) $87312 \cdot 0 + 263886 : 854 = 0 + 309 = 309$

8) $309 \cdot 108 = 33372$

9) $40032 - 33372 = 6660$. Итак, знаменатель равен 6660.

Найдем значение всего выражения и проведем доказательство.

Значение всего выражения равно отношению числителя к знаменателю: $\frac{30}{6660}$.

Сократим полученную дробь: $\frac{30}{6660} = \frac{3}{666} = \frac{1}{222}$.

Мы получили несократимую дробь $\frac{1}{222}$. Разложим ее знаменатель (222) на простые множители: $222 = 2 \cdot 111 = 2 \cdot 3 \cdot 37$.

Поскольку в разложении знаменателя на простые множители присутствуют множители 3 и 37, которые отличны от 2 и 5, данную дробь нельзя записать в виде конечной десятичной дроби, что и требовалось доказать.

Ответ: Значение выражения равно $\frac{1}{222}$. В разложении на простые множители знаменателя несократимой дроби, равного 222, присутствуют множители 3 и 37 ($222 = 2 \cdot 3 \cdot 37$). По этой причине число не может быть представлено в виде конечной десятичной дроби.