Номер 744, страница 160, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

744 В день рождения к Наташе должны прийти либо три гостя, либо четыре. Для гостей приготовлен рулет, который хозяйка хочет разрезать до их прихода так, чтобы его можно было раздать им поровну. При этом желательно, чтобы число кусков было меньше 12 и чтобы каждый гость получил свою часть не более чем в двух кусках. Наташа справилась с этой задачей. Сколько получилось кусков, какой объём каждого куска (в долях целого) и какие куски оказались на тарелке у каждого гостя, если сама Наташа рулет не ест?

Для решения этой задачи необходимо найти такой способ разрезать рулет, чтобы его можно было поровну разделить как на 3, так и на 4 части, соблюдая все условия. Обозначим весь рулет за 1.

Если придут 3 гостя, каждый должен получить $1/3$ рулета.

Если придут 4 гостя, каждый должен получить $1/4$ рулета.

Чтобы работать с целыми числами, представим рулет состоящим из 12 долей (наименьшее общее кратное для 3 и 4). Тогда:

• При 3 гостях каждый получает $1/3 = 4/12$, то есть 4 доли.
• При 4 гостях каждый получает $1/4 = 3/12$, то есть 3 доли.

По условию, каждый гость получает свою часть не более чем в двух кусках, а общее число кусков меньше 12. Также размер любого куска не может превышать наименьшую порцию, то есть $1/4$ (3 доли), иначе при 4 гостях этот кусок нельзя было бы никому отдать. Значит, все куски могут быть размером в 1, 2 или 3 доли ($1/12$, $2/12$, $3/12$).

Рассмотрим, как можно составить порции из таких кусков:

• Порция в 3 доли ($1/4$ рулета) может состоять из одного куска в 3 доли или двух кусков: 1 доля + 2 доли.
• Порция в 4 доли ($1/3$ рулета) может состоять из двух кусков: 2 доли + 2 доли или 1 доля + 3 доли.

Единственный набор кусков, который удовлетворяет всем условиям, состоит из шести кусков: двух по 1 доле, двух по 2 доли и двух по 3 доли.

Сколько получилось кусков

Для того чтобы выполнить все условия, Наташа разрезала рулет на 6 кусков.

Ответ: 6 кусков.

какой объём каждого куска (в долях целого)

Набор кусков, который позволяет разделить рулет в обоих случаях, следующий: два куска размером в $1/12$ от целого, два куска размером в $2/12 = 1/6$ от целого и два куска размером в $3/12 = 1/4$ от целого.

Ответ: два куска по $1/12$, два куска по $1/6$ и два куска по $1/4$.

какие куски оказались на тарелке у каждого гостя

В зависимости от числа пришедших гостей, куски распределяются следующим образом:

Если пришли 3 гостя (каждому по $1/3 = 4/12$ рулета):

• Один гость получил два куска по $1/6$ каждый ($1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3$).
• Второй гость получил один кусок $1/12$ и один кусок $1/4$ ($1/12 + 3/12 = 4/12 = 1/3$).
• Третий гость получил оставшиеся куски $1/12$ и $1/4$ ($1/12 + 3/12 = 4/12 = 1/3$).

Если пришли 4 гостя (каждому по $1/4 = 3/12$ рулета):

• Двое гостей получили по одному куску размером $1/4$.
• Двое других гостей получили по два куска: один $1/12$ и один $1/6$ ($1/12 + 1/6 = 1/12 + 2/12 = 3/12 = 1/4$).

Ответ: если гостей трое, то один получает два куска по $1/6$, а двое других — по одному куску $1/12$ и $1/4$; если гостей четверо, то двое получают по одному куску $1/4$, а двое других — по одному куску $1/12$ и $1/6$.