Номер 743, страница 160, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

743 Дано: $m = 44...4$, $n = 33...3$. Можно ли подобрать такие $m$ и $n$, чтобы:

а) число $m$ было делителем числа $n$;

б) число $n$ было делителем числа $m$?

Пусть число $m$ состоит из $k$ цифр 4, а число $n$ состоит из $j$ цифр 3. Такие числа можно представить в виде:

$m = 44...4 = 4 \cdot (11...1) = 4 \cdot \frac{10^k - 1}{9}$

$n = 33...3 = 3 \cdot (11...1) = 3 \cdot \frac{10^j - 1}{9}$

где $k$ и $j$ — натуральные числа, обозначающие количество цифр в числах $m$ и $n$ соответственно.

а) Чтобы число $m$ было делителем числа $n$, необходимо, чтобы частное $\frac{n}{m}$ было целым числом. Найдем это частное:

$\frac{n}{m} = \frac{3 \cdot \frac{10^j - 1}{9}}{4 \cdot \frac{10^k - 1}{9}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{10^j - 1}{10^k - 1}$

Для того чтобы $m$ было делителем $n$, как минимум, должно выполняться неравенство $n \ge m$. Это возможно только если число цифр в $n$ больше числа цифр в $m$, то есть $j > k$ (при $j=k$, очевидно, $m > n$).

Известно, что число $10^j - 1$ делится на $10^k - 1$ тогда и только тогда, когда $j$ делится на $k$. Пусть $j = q \cdot k$, где $q$ — целое число большее 1. Тогда отношение $\frac{10^j - 1}{10^k - 1}$ будет целым числом. Обозначим его $I$.

$I = \frac{10^{qk} - 1}{10^k - 1} = \frac{(10^k)^q - 1}{10^k - 1} = 1 + 10^k + 10^{2k} + ... + 10^{(q-1)k}$

Тогда наше частное принимает вид $\frac{n}{m} = \frac{3}{4} \cdot I$. Чтобы оно было целым, необходимо, чтобы $3 \cdot I$ делилось на 4. Так как 3 и 4 взаимно просты, $I$ должно быть кратно 4.

Рассмотрим, делится ли $I$ на 4.
Если $k \ge 2$, то $10^k$, $10^{2k}$ и т.д. делятся на 4, так как $100$ делится на 4. В этом случае $I = 1 + (\text{число, кратное 4}) + (\text{число, кратное 4}) + ...$. При делении на 4 такое число даст в остатке 1. То есть $I \equiv 1 \pmod{4}$.
Если $k=1$, то $I = 1 + 10 + 10^2 + ... + 10^{q-1}$ — это число, состоящее из $q$ единиц. Число делится на 4, если число, образованное его двумя последними цифрами, делится на 4. Для $q \ge 2$ последние две цифры числа $I$ — это 11. 11 не делится на 4, значит, и само число $I$ не делится на 4.

Таким образом, $I$ никогда не делится на 4. Следовательно, $\frac{n}{m}$ не может быть целым числом. Значит, подобрать такие $m$ и $n$ нельзя.

Ответ: нет, нельзя.

б) Чтобы число $n$ было делителем числа $m$, необходимо, чтобы частное $\frac{m}{n}$ было целым числом. Найдем это частное:

$\frac{m}{n} = \frac{4 \cdot \frac{10^k - 1}{9}}{3 \cdot \frac{10^j - 1}{9}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{10^k - 1}{10^j - 1}$

Аналогично пункту а), для делимости необходимо, чтобы $m \ge n$, откуда следует, что $k > j$. Также необходимо, чтобы $k$ было кратно $j$. Пусть $k = q \cdot j$, где $q$ — целое число большее 1. Тогда отношение $I' = \frac{10^k - 1}{10^j - 1}$ будет целым числом.

$I' = 1 + 10^j + 10^{2j} + ... + 10^{(q-1)j}$

Частное $\frac{m}{n}$ принимает вид $\frac{4}{3} \cdot I'$. Чтобы оно было целым, необходимо, чтобы $4 \cdot I'$ делилось на 3. Так как 4 и 3 взаимно просты, $I'$ должно быть кратно 3.

Проверим делимость $I'$ на 3, используя сравнения по модулю 3.
$10 \equiv 1 \pmod{3}$, поэтому любая степень $10^x \equiv 1 \pmod{3}$.
$I' = 1 + 10^j + 10^{2j} + ... + 10^{(q-1)j} \equiv 1 + 1 + 1 + ... + 1 \pmod{3}$.
В сумме $q$ слагаемых, поэтому $I' \equiv q \pmod{3}$.

Чтобы $I'$ делилось на 3, необходимо, чтобы $q$ было кратно 3. Мы можем выбрать такое $q$.

Например, выберем $q=3$. И выберем простейшее значение для $j$, например $j=1$.
Тогда $n$ состоит из одной цифры: $n = 3$.
Число цифр в $m$ будет $k = q \cdot j = 3 \cdot 1 = 3$.
Тогда $m$ состоит из трех цифр: $m = 444$.

Проверим, делится ли $m=444$ на $n=3$. Сумма цифр числа 444 равна $4+4+4=12$, что делится на 3. Значит, 444 делится на 3.
$444 / 3 = 148$.

Поскольку мы смогли подобрать пример ($n=3$, $m=444$), то это возможно.

Ответ: да, можно. Например, если $n=3$, а $m=444$.