Номер 735, страница 158, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

735 Вычисли устно. Какие свойства арифметических действий при этом использовались? Сформулируй их и запиши в виде буквенных равенств:

1) $27 + 214 + 8973 + 86;$

2) $5 \cdot 108 \cdot 2 \cdot 25 \cdot 7 \cdot 4;$

3) $475 \cdot 38 + 475 \cdot 60 + 475 \cdot 2;$

4) $(888 + 333 + 555) : 111;$

5) $(859 + 1374) - 759;$

6) $642 - (542 + 25);$

7) $(160 \cdot 63) : 21;$

8) $54000 : (54 \cdot 125).$

1) $27 + 214 + 8973 + 86$

Для устного вычисления удобно сгруппировать слагаемые так, чтобы их суммы были "круглыми" числами. Сгруппируем 27 с 8973 и 214 с 86.

$27 + 214 + 8973 + 86 = (27 + 8973) + (214 + 86) = 9000 + 300 = 9300$

При этом использовались следующие свойства сложения:

1. Переместительное свойство: от перемены мест слагаемых сумма не меняется. $a + b = b + a$.

2. Сочетательное свойство: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего. $(a + b) + c = a + (b + c)$.

Ответ: 9300.

2) $5 \cdot 108 \cdot 2 \cdot 25 \cdot 7 \cdot 4$

Сгруппируем множители так, чтобы в произведении получались числа 10, 100, 1000 и т.д. Сгруппируем 5 с 2, и 25 с 4.

$(5 \cdot 2) \cdot (25 \cdot 4) \cdot 108 \cdot 7 = 10 \cdot 100 \cdot 108 \cdot 7 = 1000 \cdot (108 \cdot 7) = 1000 \cdot 756 = 756000$

Использовались свойства умножения:

1. Переместительное свойство: от перемены мест множителей произведение не меняется. $a \cdot b = b \cdot a$.

2. Сочетательное свойство: чтобы произведение двух чисел умножить на третье, можно первое число умножить на произведение второго и третьего. $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

Ответ: 756000.

3) $475 \cdot 38 + 475 \cdot 60 + 475 \cdot 2$

Здесь удобно вынести за скобки общий множитель 475.

$475 \cdot 38 + 475 \cdot 60 + 475 \cdot 2 = 475 \cdot (38 + 60 + 2) = 475 \cdot 100 = 47500$

Использовалось распределительное свойство умножения относительно сложения: чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Ответ: 47500.

4) $(888 + 333 + 555) : 111$

Можно разделить на 111 каждое слагаемое в скобках, а затем сложить результаты.

$(888 + 333 + 555) : 111 = 888 : 111 + 333 : 111 + 555 : 111 = 8 + 3 + 5 = 16$

Использовалось свойство деления суммы на число: чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и полученные частные сложить.

$(a + b) : c = a : c + b : c$

Ответ: 16.

5) $(859 + 1374) - 759$

Удобно сначала вычесть 759 из 859, а затем прибавить 1374.

$(859 + 1374) - 759 = (859 - 759) + 1374 = 100 + 1374 = 1474$

Использовалось свойство вычитания числа из суммы: чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого и к результату прибавить другое слагаемое.

$(a + b) - c = (a - c) + b$

Ответ: 1474.

6) $642 - (542 + 25)$

Чтобы вычесть сумму из числа, можно вычесть из этого числа каждое слагаемое по очереди.

$642 - (542 + 25) = 642 - 542 - 25 = 100 - 25 = 75$

Использовалось свойство вычитания суммы из числа:

$a - (b + c) = a - b - c$

Ответ: 75.

7) $(160 \cdot 63) : 21$

Чтобы разделить произведение на число, можно разделить на это число один из множителей (если деление возможно нацело) и результат умножить на второй множитель. Удобнее сначала разделить 63 на 21.

$(160 \cdot 63) : 21 = 160 \cdot (63 : 21) = 160 \cdot 3 = 480$

Использовалось свойство деления произведения на число:

$(a \cdot b) : c = a \cdot (b : c)$

Ответ: 480.

8) $54000 : (54 \cdot 125)$

Чтобы разделить число на произведение, можно разделить это число на один из множителей, а затем полученный результат разделить на другой множитель. Удобнее 54000 разделить на 54.

$54000 : (54 \cdot 125) = (54000 : 54) : 125 = 1000 : 125 = 8$

Использовалось свойство деления числа на произведение:

$a : (b \cdot c) = (a : b) : c$

Ответ: 8.