Номер 730, страница 158, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

730 Почему данную дробь можно перевести в конечную десятичную? Выполни перевод.

a) $\frac{7}{2^2 \cdot 5}$;

б) $\frac{9}{2 \cdot 5^2}$;

в) $\frac{21}{2^2 \cdot 5^3}$;

г) $\frac{1}{2^3}$;

д) $\frac{3}{2^4 \cdot 5}$;

е) $\frac{47}{2^2 \cdot 5^5}$.

Обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную, если ее знаменатель после сокращения дроби в разложении на простые множители содержит только 2 и 5. Все данные дроби уже несократимы, и их знаменатели состоят только из простых множителей 2 и 5, поэтому их можно перевести в конечную десятичную дробь. Для перевода необходимо привести знаменатель к степени числа 10, то есть к виду $10^n = (2 \cdot 5)^n = 2^n \cdot 5^n$. Это достигается домножением числителя и знаменателя на недостающие множители 2 или 5, чтобы их степени в знаменателе стали равны.

а) Знаменатель дроби $\frac{7}{2^2 \cdot 5}$ содержит множители $2^2$ и $5^1$. Наибольший показатель степени равен 2. Чтобы уравнять показатели, домножим числитель и знаменатель на $5^{2-1} = 5$:
$\frac{7}{2^2 \cdot 5} = \frac{7 \cdot 5}{2^2 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{35}{2^2 \cdot 5^2} = \frac{35}{(2 \cdot 5)^2} = \frac{35}{10^2} = \frac{35}{100} = 0.35$
Ответ: 0.35

б) Знаменатель дроби $\frac{9}{2 \cdot 5^2}$ содержит множители $2^1$ и $5^2$. Наибольший показатель степени равен 2. Домножим числитель и знаменатель на $2^{2-1} = 2$:
$\frac{9}{2 \cdot 5^2} = \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 5^2} = \frac{18}{2^2 \cdot 5^2} = \frac{18}{(2 \cdot 5)^2} = \frac{18}{10^2} = \frac{18}{100} = 0.18$
Ответ: 0.18

в) Знаменатель дроби $\frac{21}{2^2 \cdot 5^3}$ содержит множители $2^2$ и $5^3$. Наибольший показатель степени равен 3. Домножим числитель и знаменатель на $2^{3-2} = 2$:
$\frac{21}{2^2 \cdot 5^3} = \frac{21 \cdot 2}{2^2 \cdot 2 \cdot 5^3} = \frac{42}{2^3 \cdot 5^3} = \frac{42}{(2 \cdot 5)^3} = \frac{42}{10^3} = \frac{42}{1000} = 0.042$
Ответ: 0.042

г) Знаменатель дроби $\frac{1}{2^3}$ содержит только множитель $2^3$. Чтобы получить в знаменателе степень десяти, домножим числитель и знаменатель на $5^3$:
$\frac{1}{2^3} = \frac{1 \cdot 5^3}{2^3 \cdot 5^3} = \frac{125}{(2 \cdot 5)^3} = \frac{125}{10^3} = \frac{125}{1000} = 0.125$
Ответ: 0.125

д) Знаменатель дроби $\frac{3}{2^4 \cdot 5}$ содержит множители $2^4$ и $5^1$. Наибольший показатель степени равен 4. Домножим числитель и знаменатель на $5^{4-1} = 5^3 = 125$:
$\frac{3}{2^4 \cdot 5} = \frac{3 \cdot 5^3}{2^4 \cdot 5 \cdot 5^3} = \frac{3 \cdot 125}{2^4 \cdot 5^4} = \frac{375}{(2 \cdot 5)^4} = \frac{375}{10^4} = \frac{375}{10000} = 0.0375$
Ответ: 0.0375

е) Знаменатель дроби $\frac{47}{2^2 \cdot 5^5}$ содержит множители $2^2$ и $5^5$. Наибольший показатель степени равен 5. Домножим числитель и знаменатель на $2^{5-2} = 2^3 = 8$:
$\frac{47}{2^2 \cdot 5^5} = \frac{47 \cdot 2^3}{2^2 \cdot 2^3 \cdot 5^5} = \frac{47 \cdot 8}{2^5 \cdot 5^5} = \frac{376}{(2 \cdot 5)^5} = \frac{376}{10^5} = \frac{376}{100000} = 0.00376$
Ответ: 0.00376