Номер 719, страница 154, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

719 В трёхкомнатной квартире площадь маленькой комнаты составляет $\frac{3}{8}$ площади большой и на $8 м^2$ меньше площади средней комнаты. Найди площадь каждой комнаты, если общая площадь всех трёх комнат равна $50 м^2$.

Для решения задачи введем переменные, обозначающие площади комнат:

$S_{б}$ — площадь большой комнаты в м².

$S_{ср}$ — площадь средней комнаты в м².

$S_{м}$ — площадь маленькой комнаты в м².

Согласно условиям задачи, мы можем составить систему уравнений:

1. Общая площадь всех трёх комнат равна 50 м²:

$S_{б} + S_{ср} + S_{м} = 50$

2. Площадь маленькой комнаты составляет $\frac{3}{8}$ площади большой:

$S_{м} = \frac{3}{8} S_{б}$

3. Площадь маленькой комнаты на 8 м² меньше площади средней. Это можно записать как $S_{м} = S_{ср} - 8$, из чего следует, что площадь средней комнаты больше площади маленькой на 8 м²:

$S_{ср} = S_{м} + 8$

Чтобы решить эту систему, выразим все площади через одну переменную. Удобнее всего выбрать площадь большой комнаты $S_{б}$ в качестве основной переменной. Обозначим $S_{б} = x$.

Тогда, используя второе уравнение, выразим площадь маленькой комнаты:

$S_{м} = \frac{3}{8}x$

Теперь, используя третье уравнение, выразим площадь средней комнаты через $x$:

$S_{ср} = S_{м} + 8 = \frac{3}{8}x + 8$

Подставим все полученные выражения в первое уравнение (уравнение общей площади):

$x + \left(\frac{3}{8}x + 8\right) + \frac{3}{8}x = 50$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$x + \frac{3}{8}x + \frac{3}{8}x + 8 = 50$

Сгруппируем члены с $x$ и перенесем 8 в правую часть уравнения:

$x + \frac{6}{8}x = 50 - 8$

Сократим дробь $\frac{6}{8}$ до $\frac{3}{4}$ и выполним вычитание:

$x + \frac{3}{4}x = 42$

Представим $x$ как $\frac{4}{4}x$ для сложения дробей:

$\frac{4}{4}x + \frac{3}{4}x = 42$

$\frac{7}{4}x = 42$

Найдем $x$:

$x = 42 \div \frac{7}{4} = 42 \cdot \frac{4}{7} = \frac{42 \cdot 4}{7} = 6 \cdot 4 = 24$

Таким образом, площадь большой комнаты $S_{б} = 24$ м².

Теперь найдем площади остальных комнат:

Площадь маленькой комнаты:

$S_{м} = \frac{3}{8} S_{б} = \frac{3}{8} \cdot 24 = 3 \cdot 3 = 9$ м².

Площадь средней комнаты:

$S_{ср} = S_{м} + 8 = 9 + 8 = 17$ м².

Проверим правильность решения, сложив площади всех комнат:

$S_{б} + S_{ср} + S_{м} = 24 + 17 + 9 = 41 + 9 = 50$ м².

Сумма площадей совпадает с общей площадью, указанной в условии задачи.

Ответ: площадь большой комнаты — 24 м², площадь средней комнаты — 17 м², площадь маленькой комнаты — 9 м².