Номер 709, страница 152, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

709 Выполни действия и сократи получившиеся дроби:

a) $ \frac{n}{36} + \frac{2n}{9} - \frac{3}{8}; $

б) $ \frac{7}{8k} + \frac{5}{6} - \frac{17}{24k} \quad (k \neq 0). $

а) $\frac{n}{36} + \frac{2n}{9} - \frac{3}{8}$

Чтобы выполнить действия с дробями, необходимо привести их к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 36, 9 и 8.

Разложим знаменатели на простые множители:

$36 = 2^2 \cdot 3^2$, $9 = 3^2$, $8 = 2^3$.

НОК(36, 9, 8) вычисляется как произведение всех простых множителей в их наивысших степенях: $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.

Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 72, умножив числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель: для первой дроби это $72/36 = 2$, для второй $72/9 = 8$, для третьей $72/8 = 9$.

$\frac{n \cdot 2}{36 \cdot 2} + \frac{2n \cdot 8}{9 \cdot 8} - \frac{3 \cdot 9}{8 \cdot 9} = \frac{2n}{72} + \frac{16n}{72} - \frac{27}{72}$

Выполним сложение и вычитание числителей, оставив общий знаменатель без изменений:

$\frac{2n + 16n - 27}{72} = \frac{18n - 27}{72}$

Далее сократим получившуюся дробь. Вынесем общий множитель 9 в числителе за скобки:

$\frac{9(2n - 3)}{72}$

Сократим дробь на 9, учитывая, что $72 = 9 \cdot 8$:

$\frac{9(2n - 3)}{9 \cdot 8} = \frac{2n - 3}{8}$

Ответ: $\frac{2n - 3}{8}$

б) $\frac{7}{8k} + \frac{5}{6} - \frac{17}{24k}$ (при $k \neq 0$)

Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю. Для знаменателей $8k$, $6$ и $24k$ он будет состоять из НОК числовых коэффициентов и переменной $k$.

НОК для чисел 8, 6 и 24 равен 24. Следовательно, наименьший общий знаменатель равен $24k$.

Найдем дополнительные множители: для первой дроби $24k / (8k) = 3$, для второй $24k / 6 = 4k$. Третья дробь уже имеет нужный знаменатель.

$\frac{7 \cdot 3}{8k \cdot 3} + \frac{5 \cdot 4k}{6 \cdot 4k} - \frac{17}{24k} = \frac{21}{24k} + \frac{20k}{24k} - \frac{17}{24k}$

Выполним действия в числителе:

$\frac{21 + 20k - 17}{24k} = \frac{20k + 4}{24k}$

Сократим полученную дробь. Для этого вынесем общий множитель 4 в числителе за скобки:

$\frac{4(5k + 1)}{24k}$

Сократим дробь на 4, учитывая, что $24 = 4 \cdot 6$:

$\frac{4(5k + 1)}{4 \cdot 6k} = \frac{5k + 1}{6k}$

Ответ: $\frac{5k + 1}{6k}$