Номер 951, страница 199, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

951 Вычисли и докажи, что полученную дробь нельзя перевести в десятичную. Запиши ответ в виде бесконечной периодической десятичной дроби, указав период.

$1\frac{3}{7} \cdot \left[5 - \left(4\frac{1}{3} \cdot 2 - 2\frac{1}{6} : \frac{3}{8}\right) : 13 \cdot 8\frac{2}{11}\right] - 4\frac{1}{2} : 3,3.$

Вычисли

Решим заданное выражение по действиям, соблюдая порядок их выполнения. Сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление, и в последнюю очередь сложение и вычитание.

1. Первым действием вычислим значение выражения в круглых скобках $(4\frac{1}{3} \cdot 2 - 2\frac{1}{6} : \frac{3}{8})$. Сначала умножение: $4\frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{13}{3} \cdot 2 = \frac{26}{3}$. Затем деление: $2\frac{1}{6} : \frac{3}{8} = \frac{13}{6} \cdot \frac{8}{3} = \frac{13 \cdot 4}{3 \cdot 3} = \frac{52}{9}$. И, наконец, вычитание: $\frac{26}{3} - \frac{52}{9} = \frac{78}{9} - \frac{52}{9} = \frac{26}{9}$.

2. Вторым действием вычислим значение выражения в квадратных скобках $[5 - ( \frac{26}{9} ) : 13 \cdot 8\frac{2}{11}]$. По порядку сначала деление: $\frac{26}{9} : 13 = \frac{26}{9} \cdot \frac{1}{13} = \frac{2}{9}$. Затем умножение: $\frac{2}{9} \cdot 8\frac{2}{11} = \frac{2}{9} \cdot \frac{90}{11} = \frac{2 \cdot 10}{11} = \frac{20}{11}$. И вычитание: $5 - \frac{20}{11} = \frac{55}{11} - \frac{20}{11} = \frac{35}{11}$.

3. Третьим действием выполним оставшиеся операции в выражении $1\frac{3}{7} \cdot \frac{35}{11} - 4\frac{1}{2} : 3,3$. Сначала умножение: $1\frac{3}{7} \cdot \frac{35}{11} = \frac{10}{7} \cdot \frac{35}{11} = \frac{10 \cdot 5}{11} = \frac{50}{11}$. Затем деление, предварительно представив $4\frac{1}{2}$ и $3,3$ в виде неправильных дробей: $4\frac{1}{2} = \frac{9}{2}$ и $3,3 = 3\frac{3}{10} = \frac{33}{10}$. Тогда $4\frac{1}{2} : 3,3 = \frac{9}{2} : \frac{33}{10} = \frac{9}{2} \cdot \frac{10}{33} = \frac{3 \cdot 5}{11} = \frac{15}{11}$. Наконец, выполним вычитание: $\frac{50}{11} - \frac{15}{11} = \frac{35}{11}$.

Ответ: $\frac{35}{11}$.

Докажи, что полученную дробь нельзя перевести в десятичную

Обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда ее знаменатель в несократимой форме содержит в своем разложении на простые множители только числа 2 и 5. Полученная в результате вычислений дробь — $\frac{35}{11}$. Эта дробь является несократимой, так как ее числитель $35$ ($35 = 5 \cdot 7$) и знаменатель $11$ (является простым числом) не имеют общих делителей, кроме 1. Знаменатель дроби равен 11. Так как в разложении знаменателя на простые множители присутствует число 11, которое отлично от 2 и 5, данную дробь невозможно представить в виде конечной десятичной дроби.

Ответ: Доказано, что дробь $\frac{35}{11}$ нельзя перевести в конечную десятичную дробь, так как ее несократимый знаменатель содержит простой множитель 11, который не является ни 2, ни 5.

Запиши ответ в виде бесконечной периодической десятичной дроби, указав период

Для представления обыкновенной дроби $\frac{35}{11}$ в виде десятичной необходимо разделить числитель 35 на знаменатель 11. Выполним деление столбиком:

$35 : 11 = 3,1818...$

В процессе деления мы получаем целую часть 3, а в дробной части происходит повторение группы цифр 18. Это означает, что дробь является бесконечной периодической. Повторяющаяся группа цифр называется периодом. В данном случае период равен 18. Запись с указанием периода выглядит следующим образом: $3,(18)$.

Ответ: $3,(18)$, период 18.