Номер 953, страница 200, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

953* Расшифруй записи, если одинаковые буквы означают одинаковые цифры, а разные буквы — разные цифры:

а) $\begin{array}{cc} & \text{СУМК, А} \\ + & \text{СУМК, А} \\ & \text{БАГАЖ} \end{array}$

б) $\begin{array}{cc} & \text{СЛОВ, О} \\ + & \text{СЛОВ, О} \\ & \text{ПЕСНЯ} \end{array}$

Для решения данной задачи, мы будем рассматривать каждое уравнение как математический ребус (криптарифм), где каждая буква соответствует одной уникальной цифре от 0 до 9. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным — разные.

а)

Запись представляет собой сложение в столбик:
СУМК,А
+ СУМК,А
----------
БАГАЖ
Будем считать, что запятая является опечаткой и что это сложение пятизначных чисел, либо запятая является десятичным разделителем, и тогда в результате также должна быть запятая: БАГА,Ж. Для удобства будем рассматривать это как умножение на 2 целого пятизначного числа СУМКА, результатом которого является пятизначное число БАГАЖ.

2 × СУМКА = БАГАЖ

Распишем это по разрядам, обозначая переносы в следующий разряд как $c_1, c_2, c_3, c_4$:

1. $2 \times А = Ж + 10 \cdot c_1$
2. $2 \times К + c_1 = А + 10 \cdot c_2$
3. $2 \times М + c_2 = Г + 10 \cdot c_3$
4. $2 \times У + c_3 = А + 10 \cdot c_4$
5. $2 \times С + c_4 = Б$

Из уравнений (2) и (4) видно, что последняя цифра выражений $2К + c_1$ и $2У + c_3$ равна $А$.

Поскольку $2К$ и $2У$ — четные числа, четность $А$ зависит от четности $c_1$ и $c_3$. Следовательно, $А$, $c_1$ и $c_3$ должны иметь одинаковую четность.

Перенос $c_1$ равен 1, если $А \ge 5$, и 0, если $А < 5$.
Если $А$ — нечетное, то $c_1$ должно быть нечетным, то есть $c_1 = 1$, что означает $А \ge 5$.
Если $А$ — четное, то $c_1$ должно быть четным, то есть $c_1 = 0$, что означает $А < 5$.

Проверим вариант, когда $А=4$ (четное).

Тогда $c_1=0$ (так как $4<5$) и $c_3=0$.

1. Из $2 \times 4 = 8$, получаем $Ж=8$ и $c_1=0$.
2. Из $2К + 0$ должно оканчиваться на $А=4$, следует, что $К=2$ или $К=7$.
3. Из $2У + 0$ должно оканчиваться на $А=4$, следует, что $У=2$ или $У=7$.

Так как $К \ne У$, то пара $\{К, У\}$ это $\{2, 7\}$.

Рассмотрим случай $К=7, У=2$:

• $2К + c_1 = 2 \times 7 + 0 = 14$. Значит, последняя цифра $А=4$ и перенос $c_2=1$.
• $2У + c_3 = 2 \times 2 + 0 = 4$. Значит, последняя цифра $А=4$ и перенос $c_4=0$.

Теперь у нас есть $c_1=0, c_2=1, c_3=0, c_4=0$.
Рассмотрим уравнение для $М$: $2М + c_2 = Г + 10c_3 \Rightarrow 2М + 1 = Г$. Так как $c_3=0$, то $2М+1 < 10$, откуда $М < 4.5$.

Уже использованы цифры: $А=4, Ж=8, К=7, У=2$. $М$ не может быть равно им. Возможные значения для $М$: $0, 1, 3$.

• Если $М=0$, то $Г = 2 \times 0 + 1 = 1$. Цифры $0$ и $1$ еще не использовались.
• Если $М=1$, то $Г = 2 \times 1 + 1 = 3$. Цифры $1$ и $3$ еще не использовались.
• Если $М=3$, то $Г = 2 \times 3 + 1 = 7$. Но $К=7$, поэтому этот вариант не подходит.

Проверим вариант $М=0, Г=1$.
Использованы цифры: $\{0, 1, 2, 4, 7, 8\}$.
Осталось найти $С$ и $Б$ из уравнения $2С + c_4 = Б \Rightarrow 2С + 0 = Б \Rightarrow 2С=Б$.

$С$ - первая цифра числа, поэтому $С \ne 0$. Также $С$ не может быть равно уже использованным цифрам. $С$ должно быть меньше 5, иначе $Б$ будет двузначным.

Возможное значение $С=3$. Тогда $Б=2 \times 3=6$. Цифры $3$ и $6$ не использовались.
Таким образом, мы нашли решение:

$А=4, Б=6, Г=1, Ж=8, К=7, М=0, С=3, У=2$.
Проверим: СУМКА = 32074. БАГАЖ = 64148.

$2 \times 32074 = 64148$.
$Б=6, А=4, Г=1, А=4, Ж=8$. Все сходится.

Ответ: $2 \times 32074 = 64148$

б)

Запись представляет собой сложение:
СЛОВ,О
+ СЛОВ,О
----------
ПЕСНЯ
Аналогично пункту а), будем считать, что это умножение на 2 числа СЛОВО, результатом которого является число ПЕСНЯ.

2 × СЛОВО = ПЕСНЯ

Распишем по разрядам, с переносами $c_1, c_2, c_3, c_4$:

1. $2 \times О = Я + 10 \cdot c_1$
2. $2 \times В + c_1 = Н + 10 \cdot c_2$
3. $2 \times О + c_2 = С + 10 \cdot c_3$
4. $2 \times Л + c_3 = Е + 10 \cdot c_4$
5. $2 \times С + c_4 = П$

Из уравнения (3) следует, что последняя цифра выражения $2О+c_2$ равна $С$. Это означает, что $С$ имеет ту же четность, что и $c_2$.

Из уравнения (5) $С$ - первая цифра 5-значного числа, результат умножения которого на 2 является 5-значным числом. $С \in \{1, 2, 3, 4\}$.

Докажем, что $С$ - нечетное. Если $С$ - четное ($2$ или $4$), то $c_2$ должно быть $0$. Тогда $2О$ оканчивается на $С$.

• Если $О=С/2$, то $О<5$ и $c_1=0$. Тогда $2О=С$, и из (1) $Я=С$. Но $Я \ne С$.
• Если $О=С/2+5$, то $О \ge 5$ и $c_1=1$. Тогда $2О=С+10$, и из (1) $Я=С$. Но $Я \ne С$.

Следовательно, $С$ не может быть четным. Значит $С=1$ или $С=3$.

Рассмотрим $С=1$.

• Так как $С$ нечетное, $c_2=1$. Это означает $2В+c_1 \ge 10$.

• Из (3): $2О+1$ оканчивается на $С=1$. Значит $2О$ оканчивается на $0$. $О=0$ или $О=5$.

  Если $О=0$, то $Я=0$. Но $О \ne Я$. Значит $О=5$.

• При $О=5$: из (1) $2 \times 5 = 10 \Rightarrow Я=0, c_1=1$.
• Условие $c_2=1$ теперь выглядит как $2В+1 \ge 10 \Rightarrow 2В \ge 9 \Rightarrow В \ge 5$. Так как $О=5$, $В$ может быть $6, 7, 8, 9$.
• Из (2): $2В+1=Н+10$.
  • Если $В=6$, $2 \times 6+1=13 \Rightarrow Н=3$.
  • Если $В=7$, $2 \times 7+1=15 \Rightarrow Н=5=О$. Не подходит.
  • Если $В=8$, $2 \times 8+1=17 \Rightarrow Н=7$.
  • Если $В=9$, $2 \times 9+1=19 \Rightarrow Н=9=В$. Не подходит.
• Рассмотрим вариант $В=6, Н=3$. Использованы цифры: $С=1, О=5, Я=0, В=6, Н=3$.
• Из (3): $2О+c_2=2 \times 5+1=11$. Последняя цифра $С=1$, перенос $c_3=1$.
• Из (4): $2Л+c_3=Е+10c_4 \Rightarrow 2Л+1=Е+10c_4$.
• Из (5): $2С+c_4=П \Rightarrow 2 \times 1+c_4=П \Rightarrow П=2+c_4$.

• Перебираем $Л$, не равное $\{0,1,3,5,6\}$.

  Если $Л=4$: $2 \times 4+1=9 \Rightarrow Е=9, c_4=0$.

  Тогда $П=2+0=2$. Цифры $Л=4, Е=9, П=2$ не были использованы.

Мы нашли решение:

$С=1, Л=4, О=5, В=6, О=5$. Число СЛОВО = 14565.

$П=2, Е=9, С=1, Н=3, Я=0$. Число ПЕСНЯ = 29130.
Проверяем: $2 \times 14565 = 29130$. Все верно.

Ответ: $2 \times 14565 = 29130$