Номер 952, страница 200, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

C 952 * Числовые головоломки

1) Из семи спичек выложено число $\frac{1}{7}$. Как превратить эту дробь в число, равное $\frac{1}{3}$, не прибавляя и не убавляя спичек?

2) Число 37 записано при помощи пяти троек: $37 = 33 + 3 + \frac{3}{3}$. Найди другой способ выразить число 37 при помощи пяти троек, используя скобки и знаки арифметических действий. Изменение порядка слагаемых не считается другим способом.

1) Изначально из семи спичек выложена дробь с римскими цифрами: $I/VII$, что соответствует числу $1/7$. Задача состоит в том, чтобы, не добавляя и не убирая спички, а лишь переставляя их, получить число, равное $1/3$. Для этого необходимо преобразовать исходную дробь $I/VII$ в дробь $II/VI$.

Процесс преобразования:

1. Берем одну вертикальную спичку из двух, образующих цифру $II$ в знаменателе ($VII = V + II$).
2. После этого в знаменателе останется $VI$ (то есть число 6).
3. Перемещаем взятую спичку в числитель, добавляя ее к уже имеющейся там спичке $I$.
4. В числителе получается $II$ (то есть число 2).

В результате этих перестановок мы получаем новую дробь $II/VI$. Проверим ее значение: $2/6 = 1/3$. Количество спичек осталось прежним (семь): две на числитель ($II$), две на черту дроби, три на знаменатель ($VI$).

Ответ: Нужно переставить одну спичку из знаменателя в числитель, чтобы превратить дробь $I/VII$ в $II/VI$, что равно $2/6$ или $1/3$.

2) В задаче требуется найти новый способ выразить число 37 с помощью пяти троек, отличный от приведенного примера $37 = 33 + 3 + 3/3$. Решение не должно быть простой перестановкой слагаемых.

Один из таких способов использует скобки и возведение в степень (которое является многократным умножением и относится к арифметическим действиям):

$$(3 + 3/3)^3 - 3^3$$

Проверим вычисления по шагам:

1. Сначала вычислим выражение в скобках: $3 + 3/3 = 3 + 1 = 4$.
2. Затем возведем результат в третью степень: $4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$.
3. Вычислим вторую часть выражения: $3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$.
4. Наконец, выполним вычитание: $64 - 27 = 37$.

Данное выражение использует ровно пять троек и в результате дает число 37. Его структура принципиально отличается от примера в задании, поскольку не использует конкатенацию цифр для создания числа $33$.

Ответ: $37 = (3 + 3/3)^3 - 3^3$.