Номер 985, страница 205, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

985 Что произойдёт с произведением двух чисел, если округлить:

а) один из множителей с избытком;

б) один из множителей с недостатком;

в) оба множителя с избытком;

г) оба множителя с недостатком;

д) один множитель с недостатком, а другой с избытком?

Для ответа на этот вопрос будем предполагать, что оба числа являются положительными. Пусть исходные числа (множители) — это $a$ и $b$, а их произведение — $P = a \cdot b$.

а) один из множителей с избытком;
Округление с избытком означает замену числа на большее. Допустим, мы округляем множитель $a$ с избытком, получая новое число $a'$, так что $a' > a$. Второй множитель $b$ остаётся без изменений. Новое произведение будет равно $P_{новое} = a' \cdot b$.
Поскольку $a' > a$ и $b > 0$, то, умножив обе части неравенства $a' > a$ на положительное число $b$, получим $a' \cdot b > a \cdot b$. Таким образом, $P_{новое} > P$.
Пример: пусть $a = 3.4$ и $b = 5$. Произведение $P = 3.4 \cdot 5 = 17$. Округлим $3.4$ с избытком до $4$. Новое произведение: $4 \cdot 5 = 20$. Так как $20 > 17$, произведение увеличилось.
Ответ: Произведение увеличится.

б) один из множителей с недостатком;
Округление с недостатком означает замену числа на меньшее. Допустим, мы округляем множитель $a$ с недостатком, получая новое число $a''$, так что $a'' < a$. Второй множитель $b$ остаётся без изменений. Новое произведение будет равно $P_{новое} = a'' \cdot b$.
Поскольку $a'' < a$ и $b > 0$, то, умножив обе части неравенства $a'' < a$ на положительное число $b$, получим $a'' \cdot b < a \cdot b$. Таким образом, $P_{новое} < P$.
Пример: пусть $a = 3.8$ и $b = 5$. Произведение $P = 3.8 \cdot 5 = 19$. Округлим $3.8$ с недостатком до $3$. Новое произведение: $3 \cdot 5 = 15$. Так как $15 < 19$, произведение уменьшилось.
Ответ: Произведение уменьшится.

в) оба множителя с избытком;
Округляем оба множителя $a$ и $b$ с избытком, получая новые числа $a'$ и $b'$, где $a' > a$ и $b' > b$. Новое произведение будет равно $P_{новое} = a' \cdot b'$.
Так как оба множителя (положительные числа) увеличились, их произведение также увеличится. Математически: из $a' > a$ следует $a' \cdot b > a \cdot b$. А из $b' > b$ следует $a' \cdot b' > a' \cdot b$. Объединяя неравенства, получаем $a' \cdot b' > a' \cdot b > a \cdot b$, следовательно $P_{новое} > P$.
Пример: пусть $a = 2.1$ и $b = 3.2$. Произведение $P = 2.1 \cdot 3.2 = 6.72$. Округлим $2.1$ с избытком до $3$ и $3.2$ с избытком до $4$. Новое произведение: $3 \cdot 4 = 12$. Так как $12 > 6.72$, произведение увеличилось.
Ответ: Произведение увеличится.

г) оба множителя с недостатком;
Округляем оба множителя $a$ и $b$ с недостатком, получая новые числа $a''$ и $b''$, где $a'' < a$ и $b'' < b$. Новое произведение будет равно $P_{новое} = a'' \cdot b''$.
Так как оба множителя (положительные числа) уменьшились, их произведение также уменьшится. Математически: из $a'' < a$ следует $a'' \cdot b < a \cdot b$. А из $b'' < b$ следует $a'' \cdot b'' < a'' \cdot b$. Объединяя неравенства, получаем $a'' \cdot b'' < a'' \cdot b < a \cdot b$, следовательно $P_{новое} < P$.
Пример: пусть $a = 2.9$ и $b = 3.8$. Произведение $P = 2.9 \cdot 3.8 = 11.02$. Округлим $2.9$ с недостатком до $2$ и $3.8$ с недостатком до $3$. Новое произведение: $2 \cdot 3 = 6$. Так как $6 < 11.02$, произведение уменьшилось.
Ответ: Произведение уменьшится.

д) один множитель с недостатком, а другой с избытком?
В этом случае результат заранее предсказать невозможно. Один множитель уменьшается, а другой увеличивается, и итоговое изменение произведения зависит от того, какое из этих изменений окажется "сильнее". Произведение может увеличиться, уменьшиться или остаться прежним.
Рассмотрим три примера:
1. Произведение увеличится. Пусть $a=20$, $b=5.1$. $P = 20 \cdot 5.1 = 102$. Округлим $a$ с недостатком до $a''=18$, а $b$ с избытком до $b'=6$. Новое произведение: $18 \cdot 6 = 108$. $108 > 102$, произведение увеличилось.
2. Произведение уменьшится. Пусть $a=20$, $b=5.1$. $P = 20 \cdot 5.1 = 102$. Округлим $a$ с недостатком до $a''=15$, а $b$ с избытком до $b'=6$. Новое произведение: $15 \cdot 6 = 90$. $90 < 102$, произведение уменьшилось.
3. Произведение не изменится. Пусть $a=10$, $b=8$. $P = 10 \cdot 8 = 80$. Округлим $a$ с недостатком до $a''=8$, а $b$ с избытком до $b'=10$. Новое произведение: $8 \cdot 10 = 80$. Произведение не изменилось.
Ответ: Произведение может как увеличиться, так и уменьшиться, или остаться прежним. Определенного ответа дать нельзя.