Номер 5.21, страница 9, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

25. Окружность, круг, шар, цилиндр. § 5. Обыкновенные дроби. Глава 2. Дробные числа. ч. 2 - номер 5.21, страница 9.

5.21 а) Справедливы ли равенства:

1³ + 2³ = (1 + 2)²;

1³ + 2³ + 3³ = (1 + 2 + 3)²;

1³ + 2³ + 3³ + 4³ = (1 + 2 + 3 + 4)²?

б) Сформулируйте свойство, записанное этими равенствами,

в) Проверьте, выполняется ли это свойство для семи чисел.

а)

Проверим справедливость каждого равенства, вычислив его левую и правую части.
1. Для $1^3 + 2^3 = (1 + 2)^2$:
Левая часть: $1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9$.
Правая часть: $(1 + 2)^2 = 3^2 = 9$.
Поскольку $9 = 9$, равенство справедливо.

2. Для $1^3 + 2^3 + 3^3 = (1 + 2 + 3)^2$:
Левая часть: $1^3 + 2^3 + 3^3 = 1 + 8 + 27 = 36$.
Правая часть: $(1 + 2 + 3)^2 = 6^2 = 36$.
Поскольку $36 = 36$, равенство справедливо.

3. Для $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = (1 + 2 + 3 + 4)^2$:
Левая часть: $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100$.
Правая часть: $(1 + 2 + 3 + 4)^2 = 10^2 = 100$.
Поскольку $100 = 100$, равенство справедливо.
Ответ: Да, все равенства справедливы.

б)

Данные равенства иллюстрируют свойство: сумма кубов первых n натуральных чисел равна квадрату суммы этих чисел. В общем виде это свойство (известное как теорема Никомаха) записывается формулой:
$1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = (1 + 2 + 3 + \dots + n)^2$.
Ответ: Сумма кубов первых n натуральных чисел равна квадрату суммы этих чисел.

в)

Проверим, выполняется ли это свойство для семи чисел (то есть для $n=7$). Для этого необходимо проверить истинность равенства:
$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7)^2$.

Вычислим левую часть (сумму кубов):
$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 343 = 784$.

Вычислим правую часть (квадрат суммы):
Сначала найдем сумму чисел: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28$.
Затем возведем полученную сумму в квадрат: $28^2 = 784$.

Поскольку левая и правая части равны ($784 = 784$), свойство выполняется.
Ответ: Да, это свойство выполняется для семи чисел.