Страница 9, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

?

Для чего используют таблицы?

Таблицы являются мощным инструментом для организации и представления информации. Их основная цель — упорядочить данные, сделав их наглядными, понятными и удобными для анализа. Таблицы используют для следующих задач:

• Систематизация и структурирование данных: информация размещается в строках и столбцах, что позволяет четко видеть связи между различными элементами.
• Сравнение объектов: таблицы идеально подходят для сопоставления нескольких объектов по одинаковым параметрам. Например, сравнение характеристик разных моделей смартфонов.
• Анализ информации: структурированное представление помогает выявлять закономерности, тенденции и взаимосвязи в данных. Например, анализ продаж по месяцам.
• Компактное представление: позволяют сжато изложить большой объем однотипной информации, экономя пространство и время читателя.
• Быстрый поиск данных: в таблице легко найти конкретное значение на пересечении нужной строки и столбца, как в расписании поездов или телефонном справочнике.

Ответ: Таблицы используют для структурирования, сравнения, анализа, компактного представления и быстрого поиска данных, делая сложную информацию наглядной и понятной.

Назовите элементы таблицы; виды таблиц.

Любая таблица состоит из определенных структурных элементов и может быть классифицирована по своему строению и содержанию.

Основные элементы таблицы:

• Заголовок таблицы: общее название, которое отражает ее содержание.
• Строка: горизонтальный ряд ячеек, обычно представляющий один объект или запись.
• Столбец (графа): вертикальный ряд ячеек, который содержит данные одного типа для всех объектов.
• Ячейка: минимальная структурная единица таблицы, расположенная на пересечении строки и столбца; содержит один элемент данных.
• Шапка (заголовок столбцов): верхняя строка (или несколько строк), содержащая названия столбцов.
• Боковик (заголовок строк): крайний левый столбец (или несколько столбцов), содержащий названия строк.

Виды таблиц:

Классификация по структуре:

• Простые: подлежащее таблицы (то, о чем говорится в строках) не имеет группировок.
• Групповые: подлежащее таблицы сгруппировано по какому-либо одному признаку.
• Комбинационные: подлежащее таблицы разбито на группы по двум и более признакам, взятым в комбинации.

Классификация по содержанию:

• Статистические: содержат сводные числовые данные о каких-либо явлениях (например, демографические показатели).
• Финансовые: отображают финансовую информацию (например, балансовый отчет).
• Научные и технические: представляют результаты исследований, технические характеристики или параметры (например, периодическая система элементов).

Ответ: Элементы таблицы: заголовок, строка, столбец, ячейка, шапка, боковик. Виды таблиц по структуре: простые, групповые, комбинационные; по содержанию: статистические, финансовые, научные и другие.

Когда удобно использовать таблицы?

Использование таблиц особенно удобно и эффективно в следующих ситуациях:

• При работе с числовыми данными: финансовые отчеты, бухгалтерские ведомости, результаты измерений, статистические данные — все это гораздо нагляднее в табличном виде.
• Для сравнения альтернатив: когда нужно выбрать лучший вариант из нескольких, таблица помогает наглядно сопоставить их характеристики, преимущества и недостатки. Например, при выборе тарифа мобильной связи.
• При отображении расписаний и графиков: расписания уроков, движения транспорта, графики дежурств — классические примеры информации, которая идеально ложится в табличную структуру.
• Когда требуется высокая точность: в отличие от графиков, которые часто показывают общие тенденции, таблицы позволяют представить точные значения.
• Для каталогизации и инвентаризации: создание списков объектов с их свойствами (например, перечень товаров на складе с артикулами, количеством и ценой) является прямой задачей для таблиц.
• Когда данные нужно будет сортировать или фильтровать: в электронных документах (например, в Excel) табличная структура является основой для дальнейшей обработки данных.

Ответ: Таблицы удобно использовать для работы с числовыми данными, сравнения нескольких объектов по общим параметрам, отображения расписаний, каталогизации информации, а также в случаях, когда важна точность данных или требуется их дальнейшая обработка (сортировка, фильтрация).

1.1 На основании опроса учащихся пятых классов составили таблицу о наличии домашних животных. Ответьте по таблице на следующие вопросы:

а) какие данные записаны в седьмой строке;

б) каких животных нет у пятиклассников;

в) каких животных больше всего живёт у пятиклассников;

г) сколько среди животных четвероногих;

д) сколько двуногих животных;

е) сколько животных не имеет ног;

ж) сколько из них покрыты шерстью;

з) сколько среди них млекопитающих?

Животные

а) Количество птиц у пятиклассников 5;

б) У пятиклассников нет змей;

в) У пятиклассников больше всего живёт кошек (19);

г) Четвероногие: кошка, собака, хомяк, черепаха, морская свинка, кролик. 19 + 11 + 3 + 8 + 5 + 1 = 47.

д) Двуногие - это птицы. Их 5.

е) Не имеют ног рыбки. Их 9.

ж) Покрыты шерстью: кошка, собака, хомяк, морская свинка и кролик. 19 + 11 + 3 + 5 + 1 = 39.

з) Млекопитающие: кошка, собака, хомяк, морская свинка, кролик. 19 + 11 + 3 + 5 + 1 = 39.

а) какие данные записаны в седьмой строке;

Чтобы найти седьмую строку, нужно отсчитать 7 строк с названиями животных, начиная с первой. Седьмой строкой в таблице является "Птицы". В этой строке указано, что у пятиклассников есть 5 птиц.

Ответ: В седьмой строке указано, что у учеников есть 5 птиц.

б) каких животных нет у пятиклассников;

Чтобы определить, каких животных нет у пятиклассников, нужно найти в таблице строку, где в столбце "Всего" стоит число 0. Такая строка - "Змеи".

Ответ: У пятиклассников нет змей.

в) каких животных больше всего живёт у пятиклассников;

Для ответа на этот вопрос нужно сравнить числа в столбце "Всего" и найти наибольшее. Самое большое число в таблице — 19, оно соответствует животному "Кошка".

Ответ: Больше всего у пятиклассников живёт кошек.

г) сколько среди животных четвероногих;

К четвероногим (имеющим четыре лапы) животным из списка относятся: кошки, собаки, хомяки, черепахи, морские свинки и кролики. Чтобы найти их общее количество, сложим числа из соответствующих строк таблицы:

$19 (кошки) + 11 (собаки) + 3 (хомяки) + 8 (черепахи) + 5 (морские свинки) + 1 (кролик) = 47$

Ответ: 47 четвероногих животных.

д) сколько двуногих животных;

К двуногим животным из списка относятся только птицы. Согласно таблице, их количество равно 5.

Ответ: 5 двуногих животных.

е) сколько животных не имеет ног;

Животные из списка, у которых нет ног — это рыбки и змеи. Найдем их общее количество, сложив соответствующие значения из таблицы:

$9 (рыбки) + 0 (змеи) = 9$

Ответ: 9 животных не имеют ног.

ж) сколько из них покрыты шерстью;

Шерстью покрыты следующие животные из списка: кошки, собаки, хомяки, морские свинки и кролики. Найдем их общее количество, сложив значения из таблицы:

$19 (кошки) + 11 (собаки) + 3 (хомяки) + 5 (морские свинки) + 1 (кролик) = 39$

Ответ: 39 животных покрыты шерстью.

з) сколько среди них млекопитающих?

К млекопитающим из данного списка относятся: кошки, собаки, хомяки, морские свинки и кролики. Их общее количество равно сумме:

$19 (кошки) + 11 (собаки) + 3 (хомяки) + 5 (морские свинки) + 1 (кролик) = 39$

Ответ: 39 млекопитающих.

1.2 Кирилл решил выяснить, какое число книг из списка для внеклассного чтения прочитал каждый ученик за летние каникулы и сколько всего книг было прочитано ребятами. Получился следующий список:

4, 5, 3, 4, 6, 4, 3, 5, 6, 4, 7, 5, 6, 4, 5, 5, 6, 7, 5, 5, 7, 4, 6, 6, 3, 5, 6, 4, 3, 7, 5, 6.

Получив список, в котором числа повторялись, он решил представить результаты опроса в виде таблицы. В первый столбец он вписал число прочитанных учеником книг и при подсчёте использовал следующие обозначения: / — 1 ученик, //// — 5 учеников. Заполните таблицу и ответьте, сколько:

а) учеников прочитало 7 книг;

б) учеников прочитало 8 книг;

в) книг прочитали все ребята.

12 + 28 + 45 + 48 + 28 = 40 + 45 + 76 = 85 + 76 = 161

а) 4 ученика прочитали 7 книг;

б) 8 книг прочитало 0 учеников;

в) 161 книгу прочитали все ребята.

5.15 Вычислите.

а) Для решения данного примера необходимо выполнить все арифметические действия последовательно, сверху вниз:
1) Выполняем вычитание: $24 - 19 = 5$
2) Полученный результат умножаем на 8: $5 \cdot 8 = 40$
3) К результату прибавляем 12: $40 + 12 = 52$
4) Из полученного числа вычитаем 17: $52 - 17 = 35$
5) Результат делим на 5: $35 : 5 = 7$
Ответ: 7

б) Выполним вычисления по порядку:
1) Выполняем вычитание: $42 - 33 = 9$
2) Полученный результат умножаем на 6: $9 \cdot 6 = 54$
3) К результату прибавляем 27: $54 + 27 = 81$
4) Из полученного числа вычитаем 9: $81 - 9 = 72$
5) Результат делим на 8: $72 : 8 = 9$
Ответ: 9

в) Выполним вычисления по порядку:
1) Выполняем вычитание: $57 - 49 = 8$
2) Полученный результат умножаем на 7: $8 \cdot 7 = 56$
3) К результату прибавляем 14: $56 + 14 = 70$
4) Из полученного числа вычитаем 28: $70 - 28 = 42$
5) Результат делим на 7: $42 : 7 = 6$
Ответ: 6

г) Выполним вычисления по порядку:
1) Выполняем вычитание: $72 - 67 = 5$
2) Полученный результат умножаем на 6: $5 \cdot 6 = 30$
3) К результату прибавляем 24: $30 + 24 = 54$
4) Из полученного числа вычитаем 20: $54 - 20 = 34$
5) Результат делим на 17: $34 : 17 = 2$
Ответ: 2

д) Выполним вычисления по порядку:
1) Выполняем вычитание: $66 - 59 = 7$
2) Полученный результат умножаем на 7: $7 \cdot 7 = 49$
3) К результату прибавляем 17: $49 + 17 = 66$
4) Из полученного числа вычитаем 38: $66 - 38 = 28$
5) Результат делим на 4: $28 : 4 = 7$
Ответ: 7

5.16 Сколько получится, если миллион уменьшить в 10 раз, а затем уменьшить на сотню?

Для решения этой задачи необходимо выполнить два последовательных математических действия.

Шаг 1: Уменьшить миллион в 10 раз.

Сначала запишем число миллион цифрами: $1\ 000\ 000$.

Фраза "уменьшить в 10 раз" означает, что число нужно разделить на 10. Выполним это действие:

$1\ 000\ 000 / 10 = 100\ 000$

В результате первого действия мы получили число сто тысяч ($100\ 000$).

Шаг 2: Уменьшить полученный результат на сотню.

Теперь нужно результат первого шага ($100\ 000$) "уменьшить на сотню". Сотня — это число $100$. Фраза "уменьшить на" означает, что нужно выполнить вычитание.

Вычтем $100$ из $100\ 000$:

$100\ 000 - 100 = 99\ 900$

Таким образом, итоговый результат равен $99\ 900$.

Ответ: $99\ 900$.

5.17 Назовите координаты точек F, К, N, С и D на рисунке 5.9, если М(20). У какой точки координата больше: К или С; С или D?

Для решения задачи первым шагом определим цену одного деления (единичного отрезка) на координатной оси.

На рисунке видно, что точка O является началом координат, следовательно, ее координата равна 0. Точка M удалена от точки O на 4 деления. Согласно условию, координата точки M равна 20.

Это означает, что 4 деления соответствуют 20 единицам. Цена одного деления будет равна: $20 \div 4 = 5$.

Назовите координаты точек F, K, N, C и D на рисунке 5.9, если M(20)

Зная, что одно деление равно 5 единицам, мы можем найти координаты остальных точек. Для этого нужно умножить количество делений от начала координат (точки O) до нужной точки на цену деления (5).

• Точка F отстоит от O на 8 делений. Координата: $8 \times 5 = 40$. Значит, F(40).
• Точка K отстоит от O на 2 деления. Координата: $2 \times 5 = 10$. Значит, K(10).
• Точка N отстоит от O на 10 делений. Координата: $10 \times 5 = 50$. Значит, N(50).
• Точка C отстоит от O на 5 делений. Координата: $5 \times 5 = 25$. Значит, C(25).
• Точка D отстоит от O на 12 делений. Координата: $12 \times 5 = 60$. Значит, D(60).

Ответ: Координаты точек: F(40), K(10), N(50), C(25), D(60).

У какой точки координата больше: K или C; C или D?

Теперь сравним координаты указанных точек, используя найденные значения.

• K или C: Сравниваем координаты K(10) и C(25). Так как $25 > 10$, координата точки C больше.
• C или D: Сравниваем координаты C(25) и D(60). Так как $60 > 25$, координата точки D больше.

Ответ: Координата точки C больше, чем у точки K; координата точки D больше, чем у точки C.

5.18 Выразите в миллиметрах:

а) половину дециметра;

б) четверть сантиметра;

в) пятую часть дециметра;

г) пятидесятую часть дециметра

д) сотую часть дециметра;

е) тысячную часть километра.

а) половину дециметра
Для того чтобы выразить половину дециметра в миллиметрах, необходимо сначала установить соотношение между этими единицами измерения.
В одном дециметре (дм) содержится 10 сантиметров (см), а в каждом сантиметре — 10 миллиметров (мм).
Следовательно, $1 \text{ дм} = 10 \text{ см} = 10 \times 10 \text{ мм} = 100 \text{ мм}$.
Половина дециметра — это $\frac{1}{2}$ от 100 мм.
Выполним вычисление: $\frac{1}{2} \times 100 \text{ мм} = 50 \text{ мм}$.
Ответ: 50 мм.

б) четверть сантиметра
В одном сантиметре (см) содержится 10 миллиметров (мм): $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
Четверть сантиметра — это $\frac{1}{4}$ от 10 мм.
Выполним вычисление: $\frac{1}{4} \times 10 \text{ мм} = \frac{10}{4} \text{ мм} = 2,5 \text{ мм}$.
Ответ: 2,5 мм.

в) пятую часть дециметра
Как мы уже установили, в одном дециметре 100 миллиметров: $1 \text{ дм} = 100 \text{ мм}$.
Пятая часть дециметра — это $\frac{1}{5}$ от 100 мм.
Выполним вычисление: $\frac{1}{5} \times 100 \text{ мм} = \frac{100}{5} \text{ мм} = 20 \text{ мм}$.
Ответ: 20 мм.

г) пятидесятую часть дециметра
Один дециметр равен 100 миллиметрам: $1 \text{ дм} = 100 \text{ мм}$.
Пятидесятая часть дециметра — это $\frac{1}{50}$ от 100 мм.
Выполним вычисление: $\frac{1}{50} \times 100 \text{ мм} = \frac{100}{50} \text{ мм} = 2 \text{ мм}$.
Ответ: 2 мм.

д) сотую часть дециметра
Один дециметр равен 100 миллиметрам: $1 \text{ дм} = 100 \text{ мм}$.
Сотая часть дециметра — это $\frac{1}{100}$ от 100 мм.
Выполним вычисление: $\frac{1}{100} \times 100 \text{ мм} = 1 \text{ мм}$.
Ответ: 1 мм.

е) тысячную часть километра
Для решения этой задачи переведем километры (км) в миллиметры (мм).
В одном километре 1000 метров (м): $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$.
В одном метре 1000 миллиметров (мм): $1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$.
Следовательно, $1 \text{ км} = 1000 \text{ м} = 1000 \times 1000 \text{ мм} = 1\;000\;000 \text{ мм}$.
Тысячная часть километра — это $\frac{1}{1000}$ от 1 000 000 мм.
Выполним вычисление: $\frac{1}{1000} \times 1\;000\;000 \text{ мм} = \frac{1\;000\;000}{1000} \text{ мм} = 1000 \text{ мм}$.
Ответ: 1000 мм.

5.19 Выразите в граммах:

а) сотую часть килограмма;

б) десятую часть центнера;

в) двадцать пятую часть килограмма;

г) четверть центнера;

д) тысячную часть тонны;

е) сороковую часть тонны.

а) Чтобы выразить сотую часть килограмма в граммах, необходимо знать, что в одном килограмме содержится 1000 грамм. Математически это записывается как $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$. Сотая часть от этого значения находится делением на 100.
Выполним вычисление: $1000 \text{ г} \div 100 = 10 \text{ г}$.
Таким образом, сотая часть килограмма равна 10 граммам.
Ответ: 10 г.

б) Для того чтобы выразить десятую часть центнера в граммах, сначала переведем центнеры в граммы. В одном центнере 100 килограммов ($1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$), а в каждом килограмме 1000 грамм.
Следовательно, один центнер равен: $100 \text{ кг} \times 1000 \frac{\text{г}}{\text{кг}} = 100\;000 \text{ г}$.
Десятая часть от этой величины составляет: $100\;000 \text{ г} \div 10 = 10\;000 \text{ г}$.
Значит, десятая часть центнера — это 10 000 грамм.
Ответ: 10 000 г.

в) Чтобы найти двадцать пятую часть килограмма в граммах, воспользуемся соотношением $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$. Двадцать пятая часть означает, что нужно разделить 1000 на 25.
Выполним деление: $1000 \text{ г} \div 25 = 40 \text{ г}$.
Следовательно, двадцать пятая часть килограмма равна 40 граммам.
Ответ: 40 г.

г) Четверть центнера — это одна четвертая ($1/4$) часть центнера. Как мы уже определили в пункте б), один центнер равен $100\;000$ грамм.
Чтобы найти четверть, разделим это значение на 4: $100\;000 \text{ г} \div 4 = 25\;000 \text{ г}$.
Таким образом, четверть центнера составляет 25 000 грамм.
Ответ: 25 000 г.

д) Для выражения тысячной части тонны в граммах, сначала переведем тонну в граммы. Одна тонна содержит 1000 килограммов ($1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$).
Переведем килограммы в граммы: $1000 \text{ кг} \times 1000 \frac{\text{г}}{\text{кг}} = 1\;000\;000 \text{ г}$.
Тысячная часть от этого значения — это результат деления на 1000: $1\;000\;000 \text{ г} \div 1000 = 1000 \text{ г}$.
Значит, тысячная часть тонны равна 1000 грамм.
Ответ: 1000 г.

е) Чтобы найти сороковую часть тонны в граммах, мы используем тот факт, что одна тонна равна $1\;000\;000$ грамм. Сороковая часть — это деление на 40.
Вычислим: $1\;000\;000 \text{ г} \div 40$. Это то же самое, что и $100\;000 \text{ г} \div 4$.
Результат деления: $100\;000 \div 4 = 25\;000 \text{ г}$.
Следовательно, сороковая часть тонны равна 25 000 грамм.
Ответ: 25 000 г.

5.20 Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 дм, и маленькие кубики сложили в один ряд. Другой куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 см и из этих кубиков также сложили один ряд. Какой из этих рядов короче? Во сколько раз?

Для решения задачи необходимо вычислить длину каждого из двух рядов, составленных из маленьких кубиков.

1. Расчет длины первого ряда (кубики с ребром 1 дм).

Сначала переведем все размеры в одну единицу измерения, например, в дециметры (дм). Ребро большого куба равно 1 м.

Поскольку $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$, ребро большого куба равно $10$ дм.

Объем большого куба равен $V_1 = (10 \text{ дм})^3 = 1000 \text{ дм}^3$.

Ребро маленького кубика равно $1$ дм, его объем равен $v_1 = (1 \text{ дм})^3 = 1 \text{ дм}^3$.

Чтобы найти количество маленьких кубиков, нужно разделить объем большого куба на объем одного маленького кубика:

$N_1 = \frac{V_1}{v_1} = \frac{1000 \text{ дм}^3}{1 \text{ дм}^3} = 1000$ кубиков.

Когда эти $1000$ кубиков сложат в один ряд, его длина будет равна произведению количества кубиков на длину ребра одного кубика:

$L_1 = N_1 \times 1 \text{ дм} = 1000 \times 1 \text{ дм} = 1000 \text{ дм}$.

Переведем эту длину в метры: $1000 \text{ дм} = 100 \text{ м}$.

2. Расчет длины второго ряда (кубики с ребром 1 см).

Теперь переведем все размеры в сантиметры (см). Ребро большого куба равно 1 м.

Поскольку $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$, ребро большого куба равно $100$ см.

Объем большого куба равен $V_2 = (100 \text{ см})^3 = 1\;000\;000 \text{ см}^3$.

Ребро маленького кубика равно $1$ см, его объем равен $v_2 = (1 \text{ см})^3 = 1 \text{ см}^3$.

Количество маленьких кубиков в этом случае:

$N_2 = \frac{V_2}{v_2} = \frac{1\;000\;000 \text{ см}^3}{1 \text{ см}^3} = 1\;000\;000$ кубиков.

Длина ряда из этих кубиков будет:

$L_2 = N_2 \times 1 \text{ см} = 1\;000\;000 \times 1 \text{ см} = 1\;000\;000 \text{ см}$.

Переведем эту длину в метры: $1\;000\;000 \text{ см} = 10\;000 \text{ м}$.

Какой из этих рядов короче?

Сравним длины двух рядов:
Длина первого ряда: $L_1 = 100 \text{ м}$.
Длина второго ряда: $L_2 = 10\;000 \text{ м}$.
Поскольку $100 \text{ м} < 10\;000 \text{ м}$, первый ряд короче второго.
Ответ: Ряд, сложенный из кубиков с ребром 1 дм, короче.

Во сколько раз?

Чтобы найти, во сколько раз первый ряд короче второго (или во сколько раз второй длиннее первого), нужно разделить большую длину на меньшую:

$\frac{L_2}{L_1} = \frac{10\;000 \text{ м}}{100 \text{ м}} = 100$.
Таким образом, первый ряд короче второго в 100 раз.
Ответ: В 100 раз.

5.21 а) Справедливы ли равенства:

1³ + 2³ = (1 + 2)²;

1³ + 2³ + 3³ = (1 + 2 + 3)²;

б) Сформулируйте свойство, записанное этими равенствами,

в) Проверьте, выполняется ли это свойство для семи чисел.

а)

Проверим справедливость каждого равенства, вычислив его левую и правую части.
1. Для $1^3 + 2^3 = (1 + 2)^2$:
Левая часть: $1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9$.
Правая часть: $(1 + 2)^2 = 3^2 = 9$.
Поскольку $9 = 9$, равенство справедливо.

2. Для $1^3 + 2^3 + 3^3 = (1 + 2 + 3)^2$:
Левая часть: $1^3 + 2^3 + 3^3 = 1 + 8 + 27 = 36$.
Правая часть: $(1 + 2 + 3)^2 = 6^2 = 36$.
Поскольку $36 = 36$, равенство справедливо.

3. Для $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = (1 + 2 + 3 + 4)^2$:
Левая часть: $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100$.
Правая часть: $(1 + 2 + 3 + 4)^2 = 10^2 = 100$.
Поскольку $100 = 100$, равенство справедливо.
Ответ: Да, все равенства справедливы.

б)

Данные равенства иллюстрируют свойство: сумма кубов первых n натуральных чисел равна квадрату суммы этих чисел. В общем виде это свойство (известное как теорема Никомаха) записывается формулой:
$1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = (1 + 2 + 3 + \dots + n)^2$.
Ответ: Сумма кубов первых n натуральных чисел равна квадрату суммы этих чисел.

в)

Проверим, выполняется ли это свойство для семи чисел (то есть для $n=7$). Для этого необходимо проверить истинность равенства:
$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7)^2$.

Вычислим левую часть (сумму кубов):
$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 343 = 784$.

Вычислим правую часть (квадрат суммы):
Сначала найдем сумму чисел: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28$.
Затем возведем полученную сумму в квадрат: $28^2 = 784$.

Поскольку левая и правая части равны ($784 = 784$), свойство выполняется.
Ответ: Да, это свойство выполняется для семи чисел.

5.22 По правилам пожарной безопасности около пожарного щита должен находиться стальной ящик для песка размером 700 х 900 х 500 мм.

а) Вычислите массу песка в ящике, если масса 1 дм³ песка равна 1 кг 600 г.

б) Сколько нужно купить банок краски, чтобы окрасить ящик снаружи и изнутри вместе с крышкой размером 750 х 960 мм, если на покраску 1 дм² нужно 7 г краски и в продаже есть банки по 2 кг?

а) Вычислите массу песка в ящике, если масса 1 дм? песка равна 1 кг 600 г.

1. Сначала найдем объем ящика. Для этого переведем его размеры из миллиметров (мм) в дециметры (дм), так как плотность песка дана для объема в дм³. В 1 дм содержится 100 мм.

Длина: $a = 700 \text{ мм} = \frac{700}{100} = 7 \text{ дм}$
Ширина: $b = 900 \text{ мм} = \frac{900}{100} = 9 \text{ дм}$
Высота: $c = 500 \text{ мм} = \frac{500}{100} = 5 \text{ дм}$

2. Вычислим объем ящика ($V$) по формуле объема прямоугольного параллелепипеда: $V = a \cdot b \cdot c$.

$V = 7 \text{ дм} \cdot 9 \text{ дм} \cdot 5 \text{ дм} = 315 \text{ дм}^3$

3. Масса 1 дм³ песка равна 1 кг 600 г. Переведем это значение в килограммы, зная, что 1 кг = 1000 г:

$1 \text{ кг } 600 \text{ г} = 1 + \frac{600}{1000} \text{ кг} = 1.6 \text{ кг}$

4. Теперь найдем общую массу песка в ящике, умножив объем ящика на массу 1 дм³ песка.

$m = V \cdot 1.6 \text{ кг/дм}^3 = 315 \cdot 1.6 = 504 \text{ кг}$

Ответ: масса песка в ящике равна 504 кг.

б) Сколько нужно купить банок краски, чтобы окрасить ящик снаружи и изнутри вместе с крышкой размером 750 ? 960 мм, если на покраску 1 дм? нужно 7 г краски и в продаже есть банки по 2 кг?

1. Чтобы найти необходимое количество краски, нужно вычислить общую площадь поверхности, которую предстоит окрасить. Ящик и крышку нужно покрасить снаружи и изнутри.

2. Вычислим площадь поверхности ящика. Ящик представляет собой открытый сверху прямоугольный параллелепипед (без верхней грани). Его поверхность состоит из дна и четырех боковых стенок. Используем размеры в дм: $a=7$, $b=9$, $c=5$.

Площадь дна: $S_{дна} = a \cdot b = 7 \cdot 9 = 63 \text{ дм}^2$.
Площадь двух боковых стенок (длина ? высота): $2 \cdot a \cdot c = 2 \cdot 7 \cdot 5 = 70 \text{ дм}^2$.
Площадь двух других боковых стенок (ширина ? высота): $2 \cdot b \cdot c = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 90 \text{ дм}^2$.

Площадь одной стороны (внешней или внутренней) ящика: $S_{ящика\_1} = S_{дна} + 2ac + 2bc = 63 + 70 + 90 = 223 \text{ дм}^2$.

Так как ящик красится и снаружи, и изнутри, общая площадь покраски ящика: $S_{ящика\_общ} = 2 \cdot S_{ящика\_1} = 2 \cdot 223 = 446 \text{ дм}^2$.

3. Вычислим площадь поверхности крышки. Размеры крышки: 750 мм ? 960 мм. Переведем в дм:

$750 \text{ мм} = 7.5 \text{ дм}$
$960 \text{ мм} = 9.6 \text{ дм}$

Площадь одной стороны крышки: $S_{крышки\_1} = 7.5 \cdot 9.6 = 72 \text{ дм}^2$.

Крышку также красим с двух сторон, поэтому общая площадь покраски крышки: $S_{крышки\_общ} = 2 \cdot S_{крышки\_1} = 2 \cdot 72 = 144 \text{ дм}^2$.

4. Найдем общую площадь для покраски ($S_{общ}$), сложив площади ящика и крышки:

$S_{общ} = S_{ящика\_общ} + S_{крышки\_общ} = 446 + 144 = 590 \text{ дм}^2$.

5. Рассчитаем, сколько граммов краски потребуется. На 1 дм² нужно 7 г краски.

$m_{краски} = S_{общ} \cdot 7 \text{ г/дм}^2 = 590 \cdot 7 = 4130 \text{ г}$.

6. Переведем массу краски в килограммы: $4130 \text{ г} = 4.13 \text{ кг}$.

7. В продаже есть банки по 2 кг. Найдем необходимое количество банок, разделив общую массу краски на массу одной банки.

Количество банок = $\frac{4.13 \text{ кг}}{2 \text{ кг/банка}} = 2.065 \text{ банок}$.

Так как купить можно только целое число банок, округляем полученное значение в большую сторону до ближайшего целого.

Ответ: нужно купить 3 банки краски.

5.23 Ребро первого куба 8 дм, а второго - 4 дм. Во сколько раз объём второго куба меньше объёма первого? Во сколько раз площадь поверхности второго куба меньше площади поверхности первого?

Во сколько раз объём второго куба меньше объёма первого?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой объёма куба. Пусть ребро первого куба $a_1 = 8$ дм, а ребро второго куба $a_2 = 4$ дм.

Объём куба ($V$) вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ – длина ребра куба.

1. Вычислим объём первого куба ($V_1$):
$V_1 = a_1^3 = 8^3 = 512$ дм?.

2. Вычислим объём второго куба ($V_2$):
$V_2 = a_2^3 = 4^3 = 64$ дм?.

3. Чтобы найти, во сколько раз объём второго куба меньше объёма первого, необходимо разделить объём первого куба на объём второго: $V_1 \div V_2 = 512 \div 64 = 8$.

Ответ: Объём второго куба меньше объёма первого в 8 раз.

Во сколько раз площадь поверхности второго куба меньше площади поверхности первого?

Площадь поверхности куба ($S$) вычисляется по формуле $S = 6a^2$, так как поверхность куба состоит из шести одинаковых квадратных граней, площадь каждой из которых равна $a^2$.

1. Вычислим площадь поверхности первого куба ($S_1$):
$S_1 = 6 \times a_1^2 = 6 \times 8^2 = 6 \times 64 = 384$ дм?.

2. Вычислим площадь поверхности второго куба ($S_2$):
$S_2 = 6 \times a_2^2 = 6 \times 4^2 = 6 \times 16 = 96$ дм?.

3. Чтобы найти, во сколько раз площадь поверхности второго куба меньше площади поверхности первого, необходимо разделить площадь первого куба на площадь второго: $S_1 \div S_2 = 384 \div 96 = 4$.

Ответ: Площадь поверхности второго куба меньше площади поверхности первого в 4 раза.