Страница 11, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1.9 Составьте варианты посещения всех четырёх дополнительных занятий по понедельникам, вторникам, четвергам и субботам. Занятия проходят в одно и то же время: шахматы — в понедельник либо четверг, робототехника — в четверг либо субботу, брейк-данс — по понедельникам либо вторникам, плавание — по вторникам либо субботам.

1-ый вариант:

понедельник - шахматы,
вторник - брейк-данс,
четверг - робототехника,
суббота - плавание.

2-ый вариант:

понедельник - брейк-данс,
вторник - плавание,
четверг - шахматы,
суббота - робототехника.

Для решения задачи необходимо составить расписание, распределив четыре занятия по четырём дням недели с учётом заданных ограничений. Поскольку все занятия проходят в одно и то же время, в каждый из дней (понедельник, вторник, четверг, суббота) можно посетить только одно занятие.

Сформулируем условия для каждого занятия:

• Шахматы: понедельник или четверг.
• Робототехника: четверг или суббота.
• Брейк-данс: понедельник или вторник.
• Плавание: вторник или суббота.

Для нахождения всех возможных вариантов расписания будем исходить из возможных дней для одного из занятий, например, шахмат. Это приведёт к двум основным случаям.

Вариант 1

Предположим, что занятие по шахматам проходит в понедельник.
1. Поскольку понедельник занят, то брейк-данс (возможные дни: понедельник, вторник) должен проходить во вторник.
2. Так как вторник теперь занят, плавание (возможные дни: вторник, суббота) должно проходить в субботу.
3. Так как суббота занята, робототехника (возможные дни: четверг, суббота) должна проходить в четверг.
Таким образом, все занятия распределены по разным дням.

Итоговое расписание для первого варианта:

• Понедельник: Шахматы
• Вторник: Брейк-данс
• Четверг: Робототехника
• Суббота: Плавание

Ответ: Понедельник — шахматы, вторник — брейк-данс, четверг — робототехника, суббота — плавание.

Вариант 2

Теперь предположим, что занятие по шахматам проходит в четверг.
1. Поскольку четверг занят, робототехника (возможные дни: четверг, суббота) должна проходить в субботу.
2. Так как суббота теперь занята, плавание (возможные дни: вторник, суббота) должно проходить во вторник.
3. Так как вторник занят, брейк-данс (возможные дни: понедельник, вторник) должен проходить в понедельник.
Таким образом, мы получаем второй возможный вариант расписания.

Итоговое расписание для второго варианта:

• Понедельник: Брейк-данс
• Вторник: Плавание
• Четверг: Шахматы
• Суббота: Робототехника

Ответ: Понедельник — брейк-данс, вторник — плавание, четверг — шахматы, суббота — робототехника.

1.10 Используя частотную таблицу, сосчитайте, сколько раз в тексте задания 1.20 встречаются буквы «а», «н», «ы», «ш», «л», «и». Какие предположения можно сделать на основании этих данных?

Чаще всего в тексте встречается буква «а», реже всего - буква «ш».

1.11 В первый день на элеватор отвезли 108 т зерна, а во второй день — на 8 т меньше. Сколько всего зерна отвезли на элеватор за два дня?

1) 105 - 8 = 100 (т) - отвезли во второй день;

2) 108 + 100 = = 208 (т) - отвезли за два дня.

Ответ: 208 т.

Для решения задачи необходимо выполнить два действия: сначала найти, сколько зерна отвезли на элеватор во второй день, а затем вычислить общее количество зерна, отвезённое за два дня.

1. Найдём количество зерна, отвезённого во второй день.

В условии сказано, что в первый день на элеватор отвезли 108 тонн зерна, а во второй день — на 8 тонн меньше. Чтобы найти, сколько зерна отвезли во второй день, нужно из количества зерна за первый день вычесть 8 тонн.

Выполним вычитание:

$108 - 8 = 100$ (т)

Следовательно, во второй день на элеватор отвезли 100 тонн зерна.

2. Найдём, сколько всего зерна отвезли на элеватор за два дня.

Чтобы найти общее количество зерна, сложим количество, отвезённое в первый день (108 т), и количество, отвезённое во второй день (100 т).

Выполним сложение:

$108 + 100 = 208$ (т)

Таким образом, общее количество зерна, отвезённого за два дня, составляет 208 тонн.

Ответ: за два дня на элеватор отвезли 208 тонн зерна.

1.12 Чему равна масса трёх помидоров и одного огурца, если масса помидора 270 г, а масса огурца на 20 г меньше?

1) 3 · 270 = 810 (г) - масса трех помидоров

2) 270 - 20 = 250 (г) - масса одного огурца

Ответ: 1 кг 60г.

Для того чтобы найти общую массу трёх помидоров и одного огурца, необходимо последовательно выполнить вычисления.

1. Сначала найдём массу одного огурца. По условию, она на 20 г меньше массы помидора. Масса помидора составляет 270 г. Следовательно, масса огурца равна:

$270 \text{ г} - 20 \text{ г} = 250 \text{ г}$

2. Далее вычислим массу трёх помидоров. Для этого умножим массу одного помидора на 3:

$3 \times 270 \text{ г} = 810 \text{ г}$

3. Наконец, чтобы найти общую массу, сложим массу трёх помидоров и массу одного огурца:

$810 \text{ г} + 250 \text{ г} = 1060 \text{ г}$

Таким образом, масса трёх помидоров и одного огурца составляет 1060 г.

Ответ: 1060 г.

1.13 Вычислите:

а) 745 + 476;

б) 472 - 398;

в) 2842 : 7;

г) 342 • 25;

д) 47 • 24 - 39;

е) 840 : 12 + 15;

ж) 24 • (327 - 276);

з) (247 + 578) : 25.

а) 745 + 476 = 1221

б) 472 - 398 = 74

в) 2842 : 7 = 406

г) 342 · 25 = 8550

$\mathrm{д}) 47 \stackrel{1}{·} 24 \stackrel{2}{-} 39 = 1089$

1)

2)

$\mathrm{е}) 840 \stackrel{1}{:} 12 \stackrel{2}{+} 15 = 85$

1)

2) 70 + 15 = 85

$\mathrm{ж}) 24 \stackrel{2}{·} (327 \stackrel{1}{-} 276) = 1224$

1)

2)

$\mathrm{з}) (247 \stackrel{1}{+} 578) \stackrel{2}{:} 25 = 33$

1)

2)

5.33 а) Найдите приблизительно длину окружности, радиус которой равен 12 см.

б) Найдите приблизительно радиус окружности, длина которой равна 84 дм.

а) Для нахождения приблизительной длины окружности используется формула $C = 2\pi r$, где $C$ – это длина окружности, $r$ – её радиус, а $\pi$ (пи) – это математическая константа. Для расчетов мы будем использовать её приблизительное значение $\pi \approx 3,14$.

По условию задачи, радиус окружности $r = 12$ см. Подставим известные значения в формулу:

$C \approx 2 \times 3,14 \times 12$ см

Выполним вычисление по шагам:

$2 \times 12 = 24$

$C \approx 3,14 \times 24 = 75,36$ см

Таким образом, приблизительная длина окружности составляет 75,36 см.

Ответ: $75,36$ см.

б) Для нахождения приблизительного радиуса окружности, зная её длину, мы воспользуемся той же формулой $C = 2\pi r$, но выразим из неё радиус $r$:

$r = \frac{C}{2\pi}$

По условию задачи, длина окружности $C = 84$ дм. Как и в предыдущем пункте, будем использовать приближение $\pi \approx 3,14$.

Подставим известные значения в формулу для радиуса:

$r \approx \frac{84}{2 \times 3,14} = \frac{84}{6,28}$ дм

Теперь выполним деление:

$r \approx 13,37579...$ дм

Округлив полученный результат до сотых, мы получим, что радиус приблизительно равен 13,38 дм.

Ответ: $\approx 13,38$ дм.

5.34 Решите уравнение:

а) (x - 111) • 59 = 11 918;

б) 975 • (y - 615) = 12 675;

в) (30 901 - a) : 605 = 51;

г) 39 765 : (b - 893) = 1205.

а) $(x - 111) \cdot 59 = 11 918$

В этом уравнении выражение в скобках $(x - 111)$ является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

$x - 111 = 11 918 : 59$

$x - 111 = 202$

Теперь $x$ — это неизвестное уменьшаемое. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$x = 202 + 111$

$x = 313$

Ответ: 313

б) $975 \cdot (y - 615) = 12 675$

В этом уравнении выражение в скобках $(y - 615)$ является неизвестным множителем. Чтобы его найти, разделим произведение на известный множитель.

$y - 615 = 12 675 : 975$

$y - 615 = 13$

Теперь $y$ — это неизвестное уменьшаемое. Чтобы найти уменьшаемое, сложим разность и вычитаемое.

$y = 13 + 615$

$y = 628$

Ответ: 628

в) $(30 901 - a) : 605 = 51$

Здесь выражение в скобках $(30 901 - a)$ является неизвестным делимым. Чтобы найти делимое, нужно частное умножить на делитель.

$30 901 - a = 51 \cdot 605$

$30 901 - a = 30 855$

Теперь $a$ — это неизвестное вычитаемое. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$a = 30 901 - 30 855$

$a = 46$

Ответ: 46

г) $39 765 : (b - 893) = 1205$

В данном уравнении выражение в скобках $(b - 893)$ является неизвестным делителем. Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное.

$b - 893 = 39 765 : 1205$

$b - 893 = 33$

Теперь $b$ — это неизвестное уменьшаемое. Чтобы найти уменьшаемое, необходимо к разности прибавить вычитаемое.

$b = 33 + 893$

$b = 926$

Ответ: 926

5.35 При делении с остатком числа 222 на некоторое число получилось неполное частное 9. Найдите все такие делители этого числа и полученные при делении на них остатки.

Пусть $d$ – искомый делитель, а $r$ – остаток от деления. Согласно условию задачи, можно записать равенство, основанное на определении деления с остатком:

$222 = 9 \cdot d + r$

где $222$ – делимое, $d$ – делитель, $9$ – неполное частное, а $r$ – остаток.

По правилу деления с остатком, остаток всегда должен быть неотрицательным и строго меньше делителя:

$0 \le r < d$

Из основного равенства выразим остаток $r$:

$r = 222 - 9d$

Теперь подставим это выражение в неравенство для остатка:

$0 \le 222 - 9d < d$

Это двойное неравенство равносильно системе из двух неравенств:

1) $0 \le 222 - 9d$
$9d \le 222$
$d \le \frac{222}{9}$
$d \le 24\frac{6}{9}$ или $d \le 24,(6)$

2) $222 - 9d < d$
$222 < 10d$
$\frac{222}{10} < d$
$22.2 < d$

Объединив результаты, мы видим, что делитель $d$ должен быть целым числом, удовлетворяющим условию:

$22.2 < d \le 24.(6)$

Этому диапазону принадлежат два целых числа: $d = 23$ и $d = 24$. Это и есть все возможные делители.

Теперь для каждого найденного делителя найдем соответствующий ему остаток $r$ по формуле $r = 222 - 9d$.

Если делитель $d = 23$:
$r = 222 - 9 \cdot 23 = 222 - 207 = 15$.
(Проверка: $0 \le 15 < 23$, условие выполняется).

Если делитель $d = 24$:
$r = 222 - 9 \cdot 24 = 222 - 216 = 6$.
(Проверка: $0 \le 6 < 24$, условие выполняется).

Ответ: возможны два случая: делитель 23 и остаток 15; делитель 24 и остаток 6.

5.36 На рисунке 5.12 изображены фигуры, составленные из кубиков. Найдите объёмы фигур, если объём каждого кубика 1 мм³.

Чтобы найти объём каждой фигуры, необходимо посчитать, из скольких единичных кубиков она составлена. Так как объём каждого кубика равен $1 \text{ мм}^3$, объём всей фигуры будет равен количеству кубиков, выраженному в кубических миллиметрах.

а) Фигура является прямоугольным параллелепипедом. Её измерения составляют 2 кубика в длину, 2 кубика в ширину и 5 кубиков в высоту. Общее количество кубиков равно произведению этих измерений: $2 \times 2 \times 5 = 20$ кубиков. Следовательно, объём фигуры составляет $20 \times 1 \text{ мм}^3 = 20 \text{ мм}^3$.
Ответ: $20 \text{ мм}^3$.

б) Фигура представляет собой плоскую плиту (прямоугольный параллелепипед). Её измерения: 10 кубиков в длину, 10 кубиков в высоту и 1 кубик в толщину. Общее количество кубиков: $10 \times 10 \times 1 = 100$ кубиков. Объём фигуры: $100 \times 1 \text{ мм}^3 = 100 \text{ мм}^3$.
Ответ: $100 \text{ мм}^3$.

в) Эта фигура — большой куб. Каждое его ребро состоит из 10 маленьких кубиков. Общее количество кубиков: $10 \times 10 \times 10 = 1000$ кубиков. Объём фигуры: $1000 \times 1 \text{ мм}^3 = 1000 \text{ мм}^3$.
Ответ: $1000 \text{ мм}^3$.

г) Фигура является прямоугольным параллелепипедом с измерениями 10 кубиков в длину, 10 кубиков в высоту и 5 кубиков в ширину. Общее количество кубиков: $10 \times 10 \times 5 = 500$ кубиков. Объём фигуры: $500 \times 1 \text{ мм}^3 = 500 \text{ мм}^3$.
Ответ: $500 \text{ мм}^3$.

5.37 Найдите массу бензина полного бака автомобиля, если масса 1 л бензина 750 г, а в бензобак входит 85 л.

Для того чтобы найти массу бензина в полном баке, нужно умножить массу одного литра бензина на общий объем бака.

Исходные данные:
Масса 1 литра бензина составляет $750$ г.
Объем бензобака составляет $85$ л.

Сначала вычислим общую массу бензина в граммах. Для этого умножим массу одного литра на количество литров в баке:
$M_{г} = 750 \text{ г/л} \times 85 \text{ л} = 63750 \text{ г}$

Обычно массу таких объемов измеряют в килограммах. Переведем полученное значение из граммов в килограммы. Мы знаем, что в 1 килограмме 1000 граммов:
$1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$

Чтобы перевести граммы в килограммы, нужно разделить количество граммов на 1000:
$M_{кг} = \frac{63750}{1000} = 63,75 \text{ кг}$

Таким образом, масса бензина в полном баке автомобиля составляет 63,75 кг.

Ответ: 63,75 кг.

5.38 Делитель b равен 93, неполное частное q равно 446 и остаток r равен 2. Найдите делимое а.

Чтобы найти делимое a, воспользуемся основной формулой деления с остатком: $a = b \cdot q + r$, где a — делимое, b — делитель, q — неполное частное, а r — остаток.

Из условия задачи нам даны следующие значения: делитель $b = 93$, неполное частное $q = 446$ и остаток $r = 2$.

Подставим эти значения в формулу:

$a = 93 \cdot 446 + 2$

Первым действием выполним умножение делителя на неполное частное:

$93 \cdot 446 = 41478$

Вторым действием прибавим к полученному результату остаток:

$a = 41478 + 2 = 41480$

Следовательно, искомое делимое равно 41480.

Ответ: 41480.

5.39 Выполните действия:

а) 7055 • 60 + 49 610 : 82 • 104;

в) (14³ + 7³) : (14 - 7);

г) (9³ - 6³)².

а) $7055 \cdot 60 + 49610 : 82 \cdot 104$

Для решения этого примера необходимо соблюдать порядок выполнения арифметических действий. Сначала выполняются умножение и деление в порядке их следования (слева направо), а затем — сложение.

1. Выполним первое умножение:
$7055 \cdot 60 = 423300$

2. Выполним деление:
$49610 : 82 = 605$

3. Результат деления умножим на 104:
$605 \cdot 104 = 62920$

4. Сложим результаты первого и третьего действий:
$423300 + 62920 = 486220$

Ответ: 486220

б) $(2175289 + 865439) : 536 - 2429$

В этом примере сначала выполняются действия в скобках, затем деление, и в последнюю очередь — вычитание.

1. Выполним сложение в скобках:
$2175289 + 865439 = 3040728$

2. Результат разделим на 536:
$3040728 : 536 = 5673$

3. Из полученного результата вычтем 2429:
$5673 - 2429 = 3244$

Ответ: 3244

в) $(14^8 + 7^8) : (14 - 7)$

Сначала выполним действие в скобках в делителе. Затем упростим выражение, используя свойства степеней.

1. Вычислим делитель:
$14 - 7 = 7$

2. Теперь выражение имеет вид: $(14^8 + 7^8) : 7$.
Для упрощения числителя представим $14$ как $2 \cdot 7$ и воспользуемся свойством степени $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:
$14^8 = (2 \cdot 7)^8 = 2^8 \cdot 7^8$

3. Подставим это в наше выражение и вынесем общий множитель $7^8$ за скобки:
$\frac{2^8 \cdot 7^8 + 7^8}{7} = \frac{7^8(2^8 + 1)}{7}$

4. Сократим дробь на 7, используя свойство $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$:
$7^{8-1}(2^8 + 1) = 7^7(2^8 + 1)$

5. Вычислим значения:
$2^8 = 256$
$7^7 = 823543$

6. Подставим вычисленные значения и найдем конечный результат:
$823543 \cdot (256 + 1) = 823543 \cdot 257 = 211650551$

Ответ: 211650551

г) $(9^8 - 6^8)^2$

Для решения этого примера сначала упростим выражение в скобках, используя свойства степеней, а затем возведем результат в квадрат.

1. Представим основания степеней 9 и 6 через их простые множители: $9 = 3^2$ и $6 = 2 \cdot 3$.
$9^8 - 6^8 = (3^2)^8 - (2 \cdot 3)^8 = 3^{16} - 2^8 \cdot 3^8$

2. Вынесем за скобки общий множитель $3^8$:
$3^8(3^8 - 2^8)$

3. Теперь необходимо возвести полученное выражение в квадрат:
$(3^8(3^8 - 2^8))^2 = (3^8)^2 \cdot (3^8 - 2^8)^2 = 3^{16} \cdot (3^8 - 2^8)^2$

4. Вычислим значения степеней внутри скобок:
$3^8 = (3^4)^2 = 81^2 = 6561$
$2^8 = 256$

5. Найдем разность:
$3^8 - 2^8 = 6561 - 256 = 6305$

6. Теперь наше выражение выглядит так: $3^{16} \cdot (6305)^2$.
Вычислим $3^{16}$ и $6305^2$:
$3^{16} = (3^8)^2 = 6561^2 = 43046721$
$6305^2 = 39753025$

7. Перемножим полученные результаты:
$43046721 \cdot 39753025 = 1711204015730425$

Ответ: 1711204015730425

1 Заполните таблицу.

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо использовать формулы, которые связывают радиус ($r$) и диаметр ($d$) окружности. Диаметр равен удвоенному радиусу, а радиус, соответственно, равен половине диаметра.

Формулы для расчетов:

• Нахождение диаметра: $d = 2 \cdot r$
• Нахождение радиуса: $r = \frac{d}{2}$

Рассчитаем значения для каждой пустой ячейки таблицы.

Для первого столбца, где известен радиус $r = 13$ см, находим диаметр $d$:
$d = 2 \cdot 13 = 26$ см.
Ответ: 26.

Для второго столбца, где известен диаметр $d = 82$ см, находим радиус $r$:
$r = \frac{82}{2} = 41$ см.
Ответ: 41.

Для третьего столбца, где известен диаметр $d = 196$ см, находим радиус $r$:
$r = \frac{196}{2} = 98$ см.
Ответ: 98.

Для четвертого столбца, где известен радиус $r = 285$ см, находим диаметр $d$:
$d = 2 \cdot 285 = 570$ см.
Ответ: 570.

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

2 Проведите окружность с центром в точке О и радиусом 4 см.

а) Отметьте точки А, В и С, лежащие на окружности.

б) Отметьте точки R и Т, не лежащие на окружности.

в) Отметьте точку N на расстоянии 5 см от центра окружности и точку К на расстоянии 3 см от центра окружности. Какая из отмеченных точек лежит вне круга, а какая - внутри круга, ограниченного окружностью?

г)* Может ли расстояние между точкой О и точкой, не лежащей на окружности, быть меньше радиуса окружности; больше радиуса окружности; равно радиусу окружности?

6) Точка К лежит внутри круга, точка N лежит вне круга.

2) Расстояние между точкой О и точкой, не лежащей на окружности, может быть меньше радиуса (точка внутри круга), может быть больше радиуса (точка вне круга) и не может быть равно радиусу окружности (в данном случае точка лежит на окружности).

а) По определению, любая точка, лежащая на окружности, удалена от ее центра на расстояние, равное радиусу. Поскольку радиус данной окружности $R = 4$ см, то для того, чтобы точки $A$, $B$ и $C$ лежали на ней, необходимо, чтобы расстояния от них до центра $O$ были равны 4 см. То есть, должны выполняться равенства: $OA = 4$ см, $OB = 4$ см, $OC = 4$ см. Ответ: Точки $A$, $B$ и $C$ должны быть отмечены так, чтобы расстояние от каждой из них до центра $O$ составляло ровно 4 см.

б) Если точки $R$ и $T$ не лежат на окружности, это означает, что расстояние от них до центра $O$ не равно радиусу $R = 4$ см. Такие точки могут находиться либо внутри круга, ограниченного этой окружностью (когда расстояние до центра меньше радиуса, $d < 4$ см), либо вне этого круга (когда расстояние до центра больше радиуса, $d > 4$ см). Таким образом, для точек $R$ и $T$ должны выполняться неравенства: $OR \neq 4$ см и $OT \neq 4$ см. Ответ: Точки $R$ и $T$ могут быть отмечены в любом месте, кроме как на самой линии окружности.

в) Нам даны точка $N$ с расстоянием от центра $ON = 5$ см и точка $K$ с расстоянием $OK = 3$ см. Радиус окружности $R = 4$ см. Точка лежит вне круга, если расстояние от нее до центра больше радиуса. Точка лежит внутри круга, если расстояние от нее до центра меньше радиуса. Сравним данные расстояния с радиусом: для точки $N$ имеем $5 \text{ см} > 4 \text{ см}$ (то есть $ON > R$), следовательно, точка $N$ лежит вне круга. Для точки $K$ имеем $3 \text{ см} < 4 \text{ см}$ (то есть $OK < R$), следовательно, точка $K$ лежит внутри круга. Ответ: Точка $N$ лежит вне круга, а точка $K$ — внутри круга.

г)* Пусть $M$ — точка, не лежащая на окружности. Это по условию означает, что расстояние $OM$ от центра $O$ до этой точки не равно радиусу $R$, то есть $OM \neq R$. Разберем возможные случаи.
1. Может ли расстояние быть меньше радиуса ($OM < R$)? Да, может. Это верно для любой точки, расположенной внутри круга (например, для точки $K$ из пункта в)).
2. Может ли расстояние быть больше радиуса ($OM > R$)? Да, может. Это верно для любой точки, расположенной вне круга (например, для точки $N$ из пункта в)).
3. Может ли расстояние быть равно радиусу ($OM = R$)? Нет, не может. Если бы расстояние от точки $M$ до центра $O$ было равно радиусу, то по определению точка $M$ лежала бы на окружности, что противоречит условию задачи.
Ответ: Расстояние между точкой $O$ и точкой, не лежащей на окружности, может быть меньше радиуса и больше радиуса, но не может быть равно радиусу.

3 Изобразите точки О и Р, растояние между которыми 3 см. Проведите окружность с центром в точке О и радиусом 3 см 2 мм и окружность с центром в точке Р и радиусом 2 см 8 мм. Сколько точек пересечения имеют построенные окружности?

$\mathrm{OP} = 3$см , $r_1 = 3$см 2 мм; $r_2 = 2$см 8 мм

Ответ: построенные окружности имеют две точки пересечения А и В

Для решения задачи необходимо определить взаимное расположение двух окружностей. Это можно сделать, сравнив расстояние между их центрами с суммой и разностью их радиусов. Для удобства вычислений переведем все размеры в одну единицу измерения — миллиметры.

1. Исходные данные в миллиметрах

Поскольку $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$, мы имеем:

• Расстояние между центрами O и P: $d = 3 \text{ см} = 30 \text{ мм}$.
• Радиус окружности с центром в точке O: $r_1 = 3 \text{ см } 2 \text{ мм} = 3 \times 10 \text{ мм} + 2 \text{ мм} = 32 \text{ мм}$.
• Радиус окружности с центром в точке P: $r_2 = 2 \text{ см } 8 \text{ мм} = 2 \times 10 \text{ мм} + 8 \text{ мм} = 28 \text{ мм}$.

2. Анализ взаимного расположения окружностей

Две окружности пересекаются в двух точках, если расстояние между их центрами ($d$) больше модуля разности их радиусов ($|r_1 - r_2|$), но меньше их суммы ($r_1 + r_2$). Это можно записать в виде двойного неравенства:
$|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$

Вычислим сумму и модуль разности радиусов для наших окружностей:

• Сумма радиусов: $r_1 + r_2 = 32 \text{ мм} + 28 \text{ мм} = 60 \text{ мм}$.
• Модуль разности радиусов: $|r_1 - r_2| = |32 \text{ мм} - 28 \text{ мм}| = 4 \text{ мм}$.

Теперь подставим все значения в неравенство:

$4 \text{ мм} < 30 \text{ мм} < 60 \text{ мм}$

Это неравенство верно, так как число $30$ находится между $4$ и $60$.

3. Вывод

Так как условие $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ выполняется, данные окружности пересекаются в двух точках. Если изобразить эти окружности, начертив отрезок $OP$ длиной 3 см, а затем с помощью циркуля провести окружность с центром $O$ и радиусом 3,2 см и окружность с центром $P$ и радиусом 2,8 см, мы увидим, что они имеют две общие точки.

Ответ: Построенные окружности имеют 2 точки пересечения.