Страница 8, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

5.4 а) Измерьте расстояния от точек А, Е, К и F до центра круга (рис. 5.7). Сравните эти расстояния с радиусом круга. Какое предположение можно сделать?

б) Пересекают ли отрезки АЕ, АВ и FA окружность (см. рис. 5.7)? Какое предположение можно сделать?

а)

Поскольку изображение с рисунком 5.7 недоступно, приведем общее решение, основанное на определениях круга и окружности. Пусть дан круг с центром в точке $O$ и радиусом $R$.

Задача просит измерить расстояния от точек $A, E, K$ и $F$ до центра круга и сравнить их с радиусом. В таких задачах точки обычно располагаются следующим образом:

• Одна точка внутри круга (например, $A$).
• Одна точка на окружности (например, $K$).
• Несколько точек вне круга (например, $E$ и $F$).

1. Измерение и сравнение расстояний:

Обозначим расстояние от произвольной точки $P$ до центра $O$ как $d(P, O)$.

• Для точки $A$, расположенной внутри круга, измерение покажет, что расстояние от нее до центра меньше радиуса: $d(A, O) < R$.
• Для точки $K$, расположенной на окружности, расстояние от нее до центра равно радиусу: $d(K, O) = R$.
• Для точек $E$ и $F$, расположенных вне круга, измерения покажут, что расстояния от них до центра больше радиуса: $d(E, O) > R$ и $d(F, O) > R$.

2. Предположение:

На основе этих сравнений можно сделать следующее предположение (которое является определением положения точки относительно круга):

• Если расстояние от точки до центра круга меньше радиуса, то эта точка лежит внутри круга.
• Если расстояние от точки до центра круга равно радиусу, то эта точка лежит на окружности, которая является границей круга.
• Если расстояние от точки до центра круга больше радиуса, то эта точка лежит вне круга.

Ответ: Расстояние от точки $A$ до центра меньше радиуса ($d(A, O) < R$). Расстояние от точки $K$ до центра равно радиусу ($d(K, O) = R$). Расстояния от точек $E$ и $F$ до центра больше радиуса ($d(E, O) > R$ и $d(F, O) > R$). Предположение: положение точки относительно круга (внутри, на границе или вне) определяется соотношением между расстоянием от этой точки до центра и радиусом круга.

б)

В этом пункте нужно определить, пересекают ли отрезки $AE, AB$ и $FA$ окружность. Для этого воспользуемся выводами из пункта а) и введем дополнительную точку $B$. Предположим, что точка $A$ находится внутри круга, а точки $E$ и $F$ — вне круга. Для точки $B$ рассмотрим два случая: она находится внутри круга или вне его.

1. Анализ пересечения отрезков с окружностью:

• Отрезок AE: Один конец отрезка (точка $A$) лежит внутри круга, а другой конец (точка $E$) — вне круга. Любая непрерывная линия, соединяющая внутреннюю и внешнюю области круга, обязана пересечь его границу — окружность. Следовательно, отрезок $AE$ пересекает окружность.
• Отрезок FA: Аналогично отрезку $AE$, точка $F$ лежит вне круга, а точка $A$ — внутри. Значит, отрезок $FA$ также пересекает окружность.
• Отрезок AB: Здесь возможны варианты в зависимости от положения точки $B$.
  • Если точка $B$ (как и $A$) лежит внутри круга, то весь отрезок $AB$ будет находиться внутри круга и, следовательно, не будет пересекать окружность.
  • Если точка $B$ лежит вне круга, то, по аналогии с $AE$, отрезок $AB$ будет пересекать окружность.
  В школьных задачах для демонстрации разных случаев обычно предполагается, что $A$ и $B$ находятся по одну сторону от границы (например, обе внутри).

2. Предположение:

Основываясь на анализе, можно сделать следующее предположение:

• Если один конец отрезка лежит внутри круга, а другой — вне круга, то этот отрезок пересекает окружность.
• Если оба конца отрезка лежат внутри круга, то отрезок не пересекает окружность.

Ответ: Отрезки $AE$ и $FA$ пересекают окружность, так как один их конец лежит внутри круга, а другой — снаружи. Отрезок $AB$ не пересекает окружность, если точка $B$ также лежит внутри круга. Предположение: отрезок пересекает окружность тогда и только тогда, когда его концы лежат в разных областях относительно круга (один внутри, другой — снаружи).

5.5 Проведены две прямые, которые пересекают окружность с центром О и радиусом 2 см 5 мм в точках А, В, М и К. Найдите расстояние от центра окружности до этих точек.

По определению, окружность — это множество всех точек плоскости, расстояние от которых до заданной точки (центра) равно заданному положительному числу (радиусу).

В условии задачи дано, что окружность имеет центр в точке $O$ и радиус $R = 2 \text{ см } 5 \text{ мм}$.

Точки $A, B, M$ и $K$ являются точками пересечения прямых с окружностью. Это означает, что все эти точки лежат на окружности.

Следовательно, расстояние от центра окружности $O$ до любой из этих точек ($A, B, M, K$) по определению равно радиусу окружности.

Таким образом, искомые расстояния $OA, OB, OM$ и $OK$ равны между собой и равны радиусу $R$:

$OA = OB = OM = OK = R = 2 \text{ см } 5 \text{ мм}$.

Ответ: 2 см 5 мм.

5.6 Проведите отрезок HP, длина которого равна 4 см. Постройте окружность с центром Н и радиусом 2 см и окружность с центром Р и радиусом 3 см. Точки пересечения окружностей обозначьте буквами М и N. Сравните длины отрезков МН, HN, РМ и NP.

Для решения задачи выполним следующие шаги: построение геометрической фигуры согласно условиям и последующий анализ для сравнения длин отрезков.

Построение

Сначала проводим отрезок $HP$ длиной 4 см. Затем, приняв точку $H$ за центр, строим окружность с радиусом $R_1 = 2$ см. После этого, приняв точку $P$ за центр, строим вторую окружность с радиусом $R_2 = 3$ см.

Две окружности пересекутся в двух точках, так как расстояние между их центрами ($HP = 4$ см) больше разности их радиусов ($|R_2 - R_1| = |3-2|=1$ см) и меньше суммы их радиусов ($R_1 + R_2 = 2+3=5$ см). Это соответствует условию пересечения двух окружностей: $|R_2 - R_1| < HP < R_1 + R_2$. Точки пересечения окружностей обозначаем буквами $M$ и $N$.

Сравнение длин отрезков MH, HN, PM и NP

Теперь рассмотрим полученные отрезки.

Точки $M$ и $N$ лежат на окружности с центром в точке $H$ и радиусом 2 см. По определению радиуса, отрезки, соединяющие центр окружности с любой её точкой, равны по длине. Следовательно, отрезки $MH$ и $HN$ являются радиусами первой окружности. $MH = R_1 = 2$ см, $HN = R_1 = 2$ см. Таким образом, мы можем утверждать, что $MH = HN$.

Аналогично, точки $M$ и $N$ лежат на окружности с центром в точке $P$ и радиусом 3 см. Следовательно, отрезки $PM$ и $NP$ являются радиусами второй окружности. $PM = R_2 = 3$ см, $NP = R_2 = 3$ см. Таким образом, мы можем утверждать, что $PM = NP$.

Для итогового сравнения всех четырех отрезков сопоставим их известные длины: $MH = HN = 2$ см; $PM = NP = 3$ см. Поскольку $2 < 3$, можно сделать вывод, что отрезки $MH$ и $HN$ короче отрезков $PM$ и $NP$.

Ответ: Длины отрезков: $MH = 2$ см, $HN = 2$ см, $PM = 3$ см, $NP = 3$ см. Сравнивая их длины, получаем следующее соотношение: $MH = HN < PM = NP$.

5.7 Проведите отрезок АС длиной 7 см. Найдите точки, которые находились бы на расстоянии 6 см от точки А и на расстоянии 5 см от точки С. Сколько таких точек?

Для решения этой задачи используется метод геометрических мест точек (ГМТ). Искомые точки должны одновременно удовлетворять двум условиям: находиться на заданном расстоянии от точки А и на заданном расстоянии от точки С.

• Геометрическое место точек, находящихся на расстоянии 6 см от точки А, — это окружность с центром в точке А и радиусом $R_A = 6$ см.
• Геометрическое место точек, находящихся на расстоянии 5 см от точки С, — это окружность с центром в точке С и радиусом $R_C = 5$ см.

Точки, удовлетворяющие обоим условиям, — это точки пересечения этих двух окружностей.

Порядок построения:

1. С помощью линейки строим отрезок AC, длина которого равна 7 см.
2. Устанавливаем на циркуле раствор, равный 6 см. Помещаем иглу циркуля в точку А и проводим дугу окружности.
3. Устанавливаем на циркуле раствор, равный 5 см. Помещаем иглу циркуля в точку С и проводим дугу окружности так, чтобы она пересекала первую дугу.
4. Точки пересечения двух дуг и будут искомыми точками.

Чтобы определить количество таких точек, можно проверить условие пересечения двух окружностей. Две окружности пересекаются в двух точках, если расстояние между их центрами (в нашем случае это длина отрезка AC) больше модуля разности их радиусов, но меньше их суммы.

Проверим это условие математически:

• Расстояние между центрами: $d = AC = 7$ см.
• Радиусы окружностей: $R_A = 6$ см и $R_C = 5$ см.
• Сумма радиусов: $R_A + R_C = 6 + 5 = 11$ см.
• Модуль разности радиусов: $|R_A - R_C| = |6 - 5| = 1$ см.

Получаем неравенство: $1 \text{ см} < 7 \text{ см} < 11 \text{ см}$.

Так как неравенство $|R_A - R_C| < d < R_A + R_C$ выполняется, окружности пересекаются в двух точках. Это также означает, что можно построить треугольник со сторонами 7 см, 6 см и 5 см (согласно неравенству треугольника), и таких треугольников можно построить два, симметрично относительно отрезка AC.

Ответ: Две точки.

5.8 Развивай мышление и воображение. На какое наибольшее число частей можно разделить тремя разрезами (разрез делается от края до края по прямой):

а) блин;

б) торт?

а) блин

Блин представляет собой двумерный объект (плоскость). Чтобы получить максимальное количество частей, каждый следующий разрез должен пересекать все предыдущие разрезы в разных точках.

1. Первый разрез делит блин на 2 части.

2. Второй разрез, чтобы дать максимум новых частей, должен пересечь первый. При пересечении он разделит две уже существующие части, добавив 2 новые. Итого: $2 + 2 = 4$ части.

3. Третий разрез должен пересечь два предыдущих разреза (в двух разных точках). Он пройдет через 3 уже существующие области, разделив каждую из них на две. Таким образом, он добавит 3 новые части. Итого: $4 + 3 = 7$ частей.

Это задача о делении плоскости прямыми. Максимальное число частей $L(n)$, на которое можно разделить плоскость $n$ прямыми, вычисляется по формуле: $L(n) = \frac{n(n+1)}{2} + 1$.

Для трех разрезов ($n=3$): $L(3) = \frac{3(3+1)}{2} + 1 = \frac{3 \cdot 4}{2} + 1 = 6 + 1 = 7$.

Ответ: 7

б) торт

Торт является трехмерным объектом, поэтому разрезы — это плоскости. Принцип тот же: чтобы получить максимальное количество частей, каждая следующая разрезающая плоскость должна пересекать все предыдущие плоскости.

1. Первый разрез (плоскость) делит торт на 2 части.

2. Второй разрез (плоскость) пересекает первую плоскость. Линия их пересечения делит вторую плоскость на две части, каждая из которых разрезает по одному куску от первого разреза. Таким образом, добавляется 2 новые части. Итого: $2 + 2 = 4$ части. (Представьте два вертикальных разреза, пересекающихся крест-накрест).

3. Третья плоскость должна пересечь две предыдущие. Линии пересечения с первыми двумя плоскостями (если они не параллельны) будут пересекаться на третьей плоскости, деля ее на 4 области. Каждая из этих 4-х областей разрежет уже существующий кусок торта, добавив 4 новые части. Итого: $4 + 4 = 8$ частей.

Самый простой способ это представить — сделать два вертикальных разреза крест-накрест (получаем 4 части), а затем один горизонтальный разрез посередине торта. Горизонтальный разрез разделит каждую из 4-х частей пополам, что даст в итоге $4 \cdot 2 = 8$ частей.

Максимальное число частей $C(n)$, на которое можно разделить пространство $n$ плоскостями, вычисляется по формуле: $C(n) = \frac{n^3+5n+6}{6}$.

Для трех разрезов ($n=3$): $C(3) = \frac{3^3 + 5 \cdot 3 + 6}{6} = \frac{27 + 15 + 6}{6} = \frac{48}{6} = 8$.

Ответ: 8

5.9 Приведите примеры предметов, имеющих форму:

а) окружности;

б) круга;

в) цилиндра;

г) шара.

а) окружности
Окружность представляет собой замкнутую линию на плоскости, все точки которой равноудалены от одной центральной точки. В отличие от круга, окружность — это только граница, а не вся площадь внутри. Примерами предметов, форма которых близка к окружности, могут служить:

• Кольцо (ювелирное изделие)
• Гимнастический обруч
• Обод колеса
• Браслет

Ответ: Кольцо, обруч, обод колеса.

б) круга
Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Это плоская фигура. Примерами предметов, имеющих форму круга, являются:

• Монета
• Тарелка (ее плоская часть)
• Блин или пицца
• Крышка от банки
• CD-диск

Ответ: Монета, тарелка, крышка от банки.

в) цилиндра
Цилиндр — это объемное геометрическое тело, которое ограничено двумя параллельными кругами (основаниями) и цилиндрической поверхностью. Примеры предметов в форме цилиндра:

• Стакан или кружка
• Консервная банка
• Бочка
• Труба
• Свеча

Ответ: Стакан, консервная банка, труба.

г) шара
Шар — это объемное тело, образованное всеми точками пространства, находящимися на расстоянии не больше заданного от центра. Поверхность шара называется сферой. Примеры предметов шарообразной формы:

• Мяч (футбольный, теннисный)
• Апельсин или арбуз (приблизительно)
• Глобус
• Бильярдный шар
• Елочная игрушка

Ответ: Мяч, глобус, апельсин.

5.10 Практическая работа

Оборудование: циркуль, линейка, карандаш, нелинованный лист бумаги формата А4 (2-3 листа), швейная или вязальная нить, ножницы.

Порядок работы:

1) Начертите на нелинованной бумаге три окружности разных радиусов.

2) Проведите диаметр каждой окружности, измерьте его и запишите, чему он равен.

3) Аккуратно вырежьте по окружности каждый круг.

4) Положите один круг перед собой на парту и замерьте с помощью нити длину окружности. Найдите по линейке длину замеренной нити и запишите результат внутри круга.

5) Выполните аналогичные измерения и сделайте аналогичные записи для двух других кругов.

6) Вычислите приблизительно, во сколько раз длина каждой окружности больше её диаметра. Сделайте предположение об отношении длины окружности к её диаметру.

1) Начертите на нелинованной бумаге три окружности разных радиусов.

С помощью циркуля и карандаша на нелинованном листе бумаги начертим три окружности с произвольными, но разными радиусами. Для примера выберем следующие радиусы:

• Окружность 1: радиус $R_1 = 3$ см.
• Окружность 2: радиус $R_2 = 4,5$ см.
• Окружность 3: радиус $R_3 = 2,5$ см.

Ответ: На листе бумаги начерчены три окружности разных радиусов.

2) Проведите диаметр каждой окружности, измерьте его и запишите, чему он равен.

С помощью линейки в каждой окружности проведём диаметр (отрезок, проходящий через центр и соединяющий две точки на окружности). Измерим длину каждого диаметра. Теоретически диаметр $d$ в два раза больше радиуса $R$, что можно проверить по формуле $d = 2R$.

• Для окружности 1: $d_1 = 2 \cdot 3 \text{ см} = 6$ см.
• Для окружности 2: $d_2 = 2 \cdot 4,5 \text{ см} = 9$ см.
• Для окружности 3: $d_3 = 2 \cdot 2,5 \text{ см} = 5$ см.

Ответ: Диаметры окружностей равны 6 см, 9 см и 5 см.

3) Аккуратно вырежьте по окружности каждый круг.

Берём ножницы и аккуратно вырезаем все три круга по контуру начерченных окружностей.

Ответ: Три круга вырезаны.

4) Положите один круг перед собой на парту и замерьте с помощью нити длину окружности. Найдите по линейке длину замеренной нити и запишите результат внутри круга.

Возьмём первый круг (диаметр 6 см). Плотно обернём его по контуру нитью. Отметим на нити длину полного оборота. Затем распрямим нить и измерим её длину линейкой. Это значение является длиной окружности $C$. В результате измерений может возникнуть небольшая погрешность.

Предположим, что измерение для первого круга дало результат $C_1 \approx 18,9$ см. Запишем это значение на бумажном круге.

Ответ: Длина первой окружности измерена и составляет приблизительно 18,9 см.

5) Выполните аналогичные измерения и сделайте аналогичные записи для двух других кругов.

Повторим процедуру измерения длины окружности с помощью нити для оставшихся двух кругов.

• Для второго круга (диаметр 9 см) измерение длины окружности дало результат $C_2 \approx 28,3$ см.
• Для третьего круга (диаметр 5 см) измерение длины окружности дало результат $C_3 \approx 15,7$ см.

Запишем эти значения на соответствующих кругах.

Ответ: Длины второй и третьей окружностей измерены и составляют приблизительно 28,3 см и 15,7 см.

6) Вычислите приблизительно, во сколько раз длина каждой окружности больше её диаметра. Сделайте предположение об отношении длины окружности к её диаметру.

Теперь для каждого круга вычислим отношение длины его окружности $C$ к его диаметру $d$.

• Круг 1:
  Отношение: $\frac{C_1}{d_1} \approx \frac{18,9 \text{ см}}{6 \text{ см}} = 3,15$
• Круг 2:
  Отношение: $\frac{C_2}{d_2} \approx \frac{28,3 \text{ см}}{9 \text{ см}} \approx 3,144...$
• Круг 3:
  Отношение: $\frac{C_3}{d_3} \approx \frac{15,7 \text{ см}}{5 \text{ см}} = 3,14$

Как видно из вычислений, во всех трёх случаях длина окружности больше её диаметра примерно в 3,14 раза. Небольшие различия в результатах объясняются погрешностями при измерении нитью и линейкой.

Предположение:

Отношение длины окружности к её диаметру является постоянной величиной для любой окружности. Эта величина является иррациональным числом, которое в математике обозначается греческой буквой $\pi$ (пи). Его приближенное значение равно 3,14.

То есть, для любой окружности верно равенство: $\frac{C}{d} = \pi$, где $\pi \approx 3,14159...$

Ответ: Длина каждой окружности больше её диаметра приблизительно в 3,14 раза. Можно сделать предположение, что отношение длины окружности к её диаметру является постоянной величиной, не зависящей от размеров окружности. Эта величина известна как число $\pi$.

5.11 Найдите приблизительно длину окружности, если её диаметр равен:

а) 3 дм;

б) 2 см 5 мм.

Для нахождения приблизительной длины окружности $C$ используется формула $C = \pi d$, где $d$ — это диаметр окружности. В расчетах будем использовать приближенное значение числа $\pi \approx 3,14$.

а)

Дан диаметр окружности $d = 3$ дм.
Подставим значение диаметра в формулу и вычислим длину окружности:
$C = \pi d \approx 3,14 \cdot 3 \text{ дм} = 9,42 \text{ дм}.$
Ответ: приблизительно 9,42 дм.

б)

Дан диаметр окружности $d = 2$ см 5 мм.
Для удобства вычислений переведем значение диаметра в одну единицу измерения, например, в сантиметры.
Так как 1 см = 10 мм, то 5 мм = 0,5 см.
Таким образом, диаметр равен:
$d = 2 \text{ см} + 0,5 \text{ см} = 2,5 \text{ см}.$
Теперь подставим полученное значение в формулу и вычислим длину окружности:
$C = \pi d \approx 3,14 \cdot 2,5 \text{ см} = 7,85 \text{ см}.$
Ответ: приблизительно 7,85 см.

5.12 Найдите приблизительно диаметр окружности, если её длина равна:

а) 42 м;

б) 7 км 500 м.

Для решения задачи воспользуемся формулой, связывающей длину окружности $C$ и её диаметр $d$:

$C = \pi d$

Из этой формулы можно выразить диаметр:

$d = \frac{C}{\pi}$

Для приближенных вычислений будем использовать значение числа $\pi$ с некоторой точностью. Обычно используют $\pi \approx 3,14$ или $\pi \approx \frac{22}{7}$.

Дана длина окружности $C = 42$ м. Поскольку число 42 кратно 7, для удобства вычислений возьмем приближение $\pi \approx \frac{22}{7}$.

Подставим значения в формулу для диаметра:

$d \approx 42 \div \frac{22}{7} = 42 \cdot \frac{7}{22} = \frac{21 \cdot 7}{11} = \frac{147}{11} \approx 13,36$ м.

Округлив до десятых, получим $13,4$ м.

Ответ: приблизительно $13,4$ м.

Дана длина окружности $C = 7$ км 500 м. Сначала переведем это значение в метры, чтобы работать с одной единицей измерения:

$C = 7 \text{ км } 500 \text{ м } = 7 \cdot 1000 \text{ м } + 500 \text{ м } = 7500 \text{ м}$.

Теперь найдем диаметр, используя приближение $\pi \approx 3,14$.

Подставим значения в формулу:

$d \approx \frac{7500}{3,14} \approx 2388,535$ м.

Округлим результат до целого числа: $2389$ м. Это значение можно также представить в километрах и метрах.

$2389 \text{ м } = 2000 \text{ м } + 389 \text{ м } = 2 \text{ км } 389 \text{ м}$.

Ответ: приблизительно $2389$ м (или $2$ км $389$ м).

5.13 Прибор расхода топлива (рис. 5.8) показывает, сколько литров бензина в баке автомобиля.

а) Найдите цену деления этого прибора.

б) Какими будут показания прибора, если:

1) в бензобак дольют 15 л бензина;

2) израсходуют 25 л бензина?

а)

Для определения цены деления прибора необходимо найти разность значений двух соседних оцифрованных штрихов и разделить её на количество малых делений между ними.
Возьмём штрихи с отметками 20 л и 40 л.
Разность значений: $40 \text{ л} - 20 \text{ л} = 20$ л.
Количество делений между этими штрихами равно 4.
Цена деления (ЦД) составляет:
ЦД = $\frac{20 \text{ л}}{4} = 5$ л.

Ответ: 5 л.

б)

Прежде всего, определим текущее показание прибора. Стрелка указывает на второе деление после отметки «40».
Зная, что цена одного деления равна 5 л, можем рассчитать начальное количество бензина:
$40 \text{ л} + 2 \times 5 \text{ л} = 40 \text{ л} + 10 \text{ л} = 50$ л.
Итак, в баке изначально находится 50 л бензина.

1) в бензобак дольют 15 л бензина;

Если в бак долить 15 л бензина, то общее количество топлива станет:
$50 \text{ л} + 15 \text{ л} = 65$ л.

Ответ: Прибор будет показывать 65 л.

2) израсходуют 25 л бензина?

Если израсходовать 25 л бензина, то в баке останется:
$50 \text{ л} - 25 \text{ л} = 25$ л.

Ответ: Прибор будет показывать 25 л.

5.14 Часы показывают 2 ч (см. рис. 5.6). Какое время покажут часы, если минутная стрелка передвинется:

а) вперёд на 5 больших делений;

б) вперёд на 15 малых делений;

в) назад на 2 больших деления;

г) назад на 35 малых делений?

Для решения этой задачи необходимо разобраться, как устроены деления на циферблате аналоговых часов. Весь циферблат, представляющий один час (60 минут) для минутной стрелки, разделен на 60 малых делений и 12 больших делений.

• Малые деления: Всего их 60. Одно малое деление соответствует одной минуте.
• Большие деления: Всего их 12 (соответствуют цифрам от 1 до 12). Каждое большое деление содержит 5 малых делений, то есть одно большое деление для минутной стрелки соответствует 5 минутам.

Изначальное время — 2 часа ровно (2:00). В это время минутная стрелка указывает на цифру 12.

а) Минутная стрелка передвинется вперёд на 5 больших делений.

Одно большое деление равно 5 минутам. Следовательно, 5 больших делений равны:

$5 \text{ делений} \times 5 \text{ минут/деление} = 25 \text{ минут}$

Если к начальному времени 2:00 прибавить 25 минут, получится 2 часа 25 минут.

Ответ: 2 часа 25 минут.

б) Минутная стрелка передвинется вперёд на 15 малых делений.

Одно малое деление равно 1 минуте. Следовательно, 15 малых делений равны:

$15 \text{ делений} \times 1 \text{ минута/деление} = 15 \text{ минут}$

Если к начальному времени 2:00 прибавить 15 минут, получится 2 часа 15 минут.

Ответ: 2 часа 15 минут.

в) Минутная стрелка передвинется назад на 2 больших деления.

Два больших деления соответствуют:

$2 \text{ деления} \times 5 \text{ минут/деление} = 10 \text{ минут}$

Нужно отнять 10 минут от 2:00. Для этого представим 2:00 как 1 час и 60 минут.

$1 \text{ час } 60 \text{ минут} - 10 \text{ минут} = 1 \text{ час } 50 \text{ минут}$

Ответ: 1 час 50 минут.

г) Минутная стрелка передвинется назад на 35 малых делений.

Тридцать пять малых делений соответствуют 35 минутам.

$35 \text{ делений} \times 1 \text{ минута/деление} = 35 \text{ минут}$

Нужно отнять 35 минут от 2:00. Представим 2:00 как 1 час и 60 минут.

$1 \text{ час } 60 \text{ минут} - 35 \text{ минут} = 1 \text{ час } 25 \text{ минут}$

Ответ: 1 час 25 минут.