Номер 5.4, страница 8, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

25. Окружность, круг, шар, цилиндр. § 5. Обыкновенные дроби. Глава 2. Дробные числа. ч. 2 - номер 5.4, страница 8.

5.4 а) Измерьте расстояния от точек А, Е, К и F до центра круга (рис. 5.7). Сравните эти расстояния с радиусом круга. Какое предположение можно сделать?

б) Пересекают ли отрезки АЕ, АВ и FA окружность (см. рис. 5.7)? Какое предположение можно сделать?

а)

Поскольку изображение с рисунком 5.7 недоступно, приведем общее решение, основанное на определениях круга и окружности. Пусть дан круг с центром в точке $O$ и радиусом $R$.

Задача просит измерить расстояния от точек $A, E, K$ и $F$ до центра круга и сравнить их с радиусом. В таких задачах точки обычно располагаются следующим образом:

• Одна точка внутри круга (например, $A$).
• Одна точка на окружности (например, $K$).
• Несколько точек вне круга (например, $E$ и $F$).

1. Измерение и сравнение расстояний:

Обозначим расстояние от произвольной точки $P$ до центра $O$ как $d(P, O)$.

• Для точки $A$, расположенной внутри круга, измерение покажет, что расстояние от нее до центра меньше радиуса: $d(A, O) < R$.
• Для точки $K$, расположенной на окружности, расстояние от нее до центра равно радиусу: $d(K, O) = R$.
• Для точек $E$ и $F$, расположенных вне круга, измерения покажут, что расстояния от них до центра больше радиуса: $d(E, O) > R$ и $d(F, O) > R$.

2. Предположение:

На основе этих сравнений можно сделать следующее предположение (которое является определением положения точки относительно круга):

• Если расстояние от точки до центра круга меньше радиуса, то эта точка лежит внутри круга.
• Если расстояние от точки до центра круга равно радиусу, то эта точка лежит на окружности, которая является границей круга.
• Если расстояние от точки до центра круга больше радиуса, то эта точка лежит вне круга.

Ответ: Расстояние от точки $A$ до центра меньше радиуса ($d(A, O) < R$). Расстояние от точки $K$ до центра равно радиусу ($d(K, O) = R$). Расстояния от точек $E$ и $F$ до центра больше радиуса ($d(E, O) > R$ и $d(F, O) > R$). Предположение: положение точки относительно круга (внутри, на границе или вне) определяется соотношением между расстоянием от этой точки до центра и радиусом круга.

б)

В этом пункте нужно определить, пересекают ли отрезки $AE, AB$ и $FA$ окружность. Для этого воспользуемся выводами из пункта а) и введем дополнительную точку $B$. Предположим, что точка $A$ находится внутри круга, а точки $E$ и $F$ — вне круга. Для точки $B$ рассмотрим два случая: она находится внутри круга или вне его.

1. Анализ пересечения отрезков с окружностью:

• Отрезок AE: Один конец отрезка (точка $A$) лежит внутри круга, а другой конец (точка $E$) — вне круга. Любая непрерывная линия, соединяющая внутреннюю и внешнюю области круга, обязана пересечь его границу — окружность. Следовательно, отрезок $AE$ пересекает окружность.
• Отрезок FA: Аналогично отрезку $AE$, точка $F$ лежит вне круга, а точка $A$ — внутри. Значит, отрезок $FA$ также пересекает окружность.
• Отрезок AB: Здесь возможны варианты в зависимости от положения точки $B$.
  • Если точка $B$ (как и $A$) лежит внутри круга, то весь отрезок $AB$ будет находиться внутри круга и, следовательно, не будет пересекать окружность.
  • Если точка $B$ лежит вне круга, то, по аналогии с $AE$, отрезок $AB$ будет пересекать окружность.
  В школьных задачах для демонстрации разных случаев обычно предполагается, что $A$ и $B$ находятся по одну сторону от границы (например, обе внутри).

2. Предположение:

Основываясь на анализе, можно сделать следующее предположение:

• Если один конец отрезка лежит внутри круга, а другой — вне круга, то этот отрезок пересекает окружность.
• Если оба конца отрезка лежат внутри круга, то отрезок не пересекает окружность.

Ответ: Отрезки $AE$ и $FA$ пересекают окружность, так как один их конец лежит внутри круга, а другой — снаружи. Отрезок $AB$ не пересекает окружность, если точка $B$ также лежит внутри круга. Предположение: отрезок пересекает окружность тогда и только тогда, когда его концы лежат в разных областях относительно круга (один внутри, другой — снаружи).