Номер 5.8, страница 8, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

25. Окружность, круг, шар, цилиндр. § 5. Обыкновенные дроби. Глава 2. Дробные числа. ч. 2 - номер 5.8, страница 8.

5.8 Развивай мышление и воображение. На какое наибольшее число частей можно разделить тремя разрезами (разрез делается от края до края по прямой):

а) блин;

б) торт?

а) блин

Блин представляет собой двумерный объект (плоскость). Чтобы получить максимальное количество частей, каждый следующий разрез должен пересекать все предыдущие разрезы в разных точках.

1. Первый разрез делит блин на 2 части.

2. Второй разрез, чтобы дать максимум новых частей, должен пересечь первый. При пересечении он разделит две уже существующие части, добавив 2 новые. Итого: $2 + 2 = 4$ части.

3. Третий разрез должен пересечь два предыдущих разреза (в двух разных точках). Он пройдет через 3 уже существующие области, разделив каждую из них на две. Таким образом, он добавит 3 новые части. Итого: $4 + 3 = 7$ частей.

Это задача о делении плоскости прямыми. Максимальное число частей $L(n)$, на которое можно разделить плоскость $n$ прямыми, вычисляется по формуле: $L(n) = \frac{n(n+1)}{2} + 1$.

Для трех разрезов ($n=3$): $L(3) = \frac{3(3+1)}{2} + 1 = \frac{3 \cdot 4}{2} + 1 = 6 + 1 = 7$.

Ответ: 7

б) торт

Торт является трехмерным объектом, поэтому разрезы — это плоскости. Принцип тот же: чтобы получить максимальное количество частей, каждая следующая разрезающая плоскость должна пересекать все предыдущие плоскости.

1. Первый разрез (плоскость) делит торт на 2 части.

2. Второй разрез (плоскость) пересекает первую плоскость. Линия их пересечения делит вторую плоскость на две части, каждая из которых разрезает по одному куску от первого разреза. Таким образом, добавляется 2 новые части. Итого: $2 + 2 = 4$ части. (Представьте два вертикальных разреза, пересекающихся крест-накрест).

3. Третья плоскость должна пересечь две предыдущие. Линии пересечения с первыми двумя плоскостями (если они не параллельны) будут пересекаться на третьей плоскости, деля ее на 4 области. Каждая из этих 4-х областей разрежет уже существующий кусок торта, добавив 4 новые части. Итого: $4 + 4 = 8$ частей.

Самый простой способ это представить — сделать два вертикальных разреза крест-накрест (получаем 4 части), а затем один горизонтальный разрез посередине торта. Горизонтальный разрез разделит каждую из 4-х частей пополам, что даст в итоге $4 \cdot 2 = 8$ частей.

Максимальное число частей $C(n)$, на которое можно разделить пространство $n$ плоскостями, вычисляется по формуле: $C(n) = \frac{n^3+5n+6}{6}$.

Для трех разрезов ($n=3$): $C(3) = \frac{3^3 + 5 \cdot 3 + 6}{6} = \frac{27 + 15 + 6}{6} = \frac{48}{6} = 8$.

Ответ: 8