Страница 17, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

?

Сколько существует отрезков с концами в точках А и В? Согласно аксиомам геометрии, через две различные точки можно провести только одну прямую. Отрезок — это часть прямой, ограниченная этими двумя точками. Следовательно, с концами в заданных точках A и B может существовать только один отрезок. Ответ: Существует только один отрезок.

Можно ли отрезок PR обозначить как RP? Да, можно. Отрезок определяется двумя своими концами, и порядок их записи не влияет на сам отрезок. Отрезки PR и RP — это обозначения одного и того же геометрического объекта. Ответ: Да, можно.

Как можно сравнить два отрезка? Два отрезка можно сравнить, измерив их длины. Тот отрезок, длина которого больше, считается большим. Также можно сравнить отрезки методом наложения: совместить один из концов одного отрезка с одним из концов другого и расположить их на одной прямой. Если вторые концы совпадут, отрезки равны. Если второй конец одного отрезка окажется между концами другого, то второй отрезок длиннее. Ответ: Два отрезка можно сравнить путем измерения их длин или методом наложения.

Назовите единицы измерения длин. Основными единицами измерения длины в метрической системе являются: миллиметр (мм), сантиметр (см), дециметр (дм), метр (м), километр (км). Ответ: Миллиметр, сантиметр, дециметр, метр, километр.

Сколько сантиметров в метре? Сколько миллиметров в дециметре? В одном метре 100 сантиметров ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$). В одном дециметре 10 сантиметров, а в каждом сантиметре — 10 миллиметров. Таким образом, в одном дециметре $10 \times 10 = 100$ миллиметров ($1 \text{ дм} = 100 \text{ мм}$). Ответ: В метре 100 сантиметров, в дециметре 100 миллиметров.

Сколько метров в километре? В одном километре содержится 1000 метров. Приставка «кило» в названии единицы измерения означает умножение на тысячу. Ответ: В одном километре 1000 метров ($1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$).

Найдите среди предметов, окружающих вас, те, которые дают представление об отрезке, многоугольнике. Представление об отрезке могут дать такие предметы, как карандаш, натянутая нить, край стола или книги. Представление о многоугольнике дают: поверхность стола (прямоугольник), лист бумаги (прямоугольник), плитка на полу (квадрат или шестиугольник), некоторые дорожные знаки (треугольник, восьмиугольник). Ответ: Примеры предметов, дающих представление об отрезке: карандаш, край стола. Примеры предметов, дающих представление о многоугольнике: лист бумаги, поверхность столешницы.

Что такое периметр многоугольника? Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон. Если многоугольник имеет стороны с длинами $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$, то его периметр $P$ вычисляется по формуле: $P = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n$. Ответ: Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон.

5.67 Вычислите.

а)

Выполним вычисления по порядку:

1. $55 - 47 = 8$

2. $8 \cdot 9 = 72$

3. $72 - 34 = 38$

4. $38 : 19 = 2$

5. $2 \cdot 24 = 48$

Ответ: 48

б)

Выполним вычисления по порядку:

1. $91 : 13 = 7$

2. $7 \cdot 80 = 560$

3. $560 + 240 = 800$

4. $800 - 500 = 300$

5. $300 : 15 = 20$

Ответ: 20

в)

Выполним вычисления по порядку:

1. $75 - 66 = 9$

2. $9 \cdot 9 = 81$

3. $81 - 27 = 54$

4. $54 + 18 = 72$

5. $72 : 18 = 4$

Ответ: 4

г)

Выполним вычисления по порядку:

1. $98 : 14 = 7$

2. $7 \cdot 70 = 490$

3. $490 + 210 = 700$

4. $700 : 35 = 20$

5. $20 \cdot 15 = 300$

Ответ: 300

д)

Выполним вычисления по порядку:

1. $84 - 78 = 6$

2. $6 \cdot 8 = 48$

3. $48 + 12 = 60$

4. $60 : 5 = 12$

5. $12 \cdot 30 = 360$

Ответ: 360

5.68 Сотую часть миллиона уменьшили на 1000 и результат уменьшили в сто раз. Сколько получили?

Решим задачу по действиям:

1. Сначала найдем сотую часть миллиона. Миллион — это $1 \, 000 \, 000$. Чтобы найти его сотую часть, нужно разделить это число на 100.

$1 \, 000 \, 000 : 100 = 10 \, 000$

2. Затем полученное число ( $10 \, 000$ ) нужно уменьшить на 1000. Уменьшить на — значит выполнить вычитание.

$10 \, 000 - 1000 = 9000$

3. Наконец, результат ( $9000$ ) нужно уменьшить в сто раз. Уменьшить в — значит выполнить деление.

$9000 : 100 = 90$

В результате всех действий мы получили число 90.

Ответ: 90.

5.69 Дополните утверждение: «Отрезок является радиусом, если он...»

Данное утверждение является определением радиуса. Чтобы его дополнить, необходимо указать, какие именно точки соединяет этот отрезок.

Определение радиуса

Радиус окружности (от лат. radius — луч, спица колеса) — это отрезок, который соединяет центр окружности с любой точкой, лежащей на этой окружности.

Таким образом, для того чтобы отрезок являлся радиусом, он должен удовлетворять двум условиям:
1. Один его конец должен совпадать с центром окружности (например, точка $O$).
2. Другой его конец должен лежать на линии окружности (например, точка $A$).

Отрезок $OA$ в таком случае будет радиусом. Длину этого отрезка также называют радиусом и обозначают буквой $r$ или $R$. Все радиусы одной и той же окружности равны между собой.

Исходя из этого, полное утверждение звучит так: «Отрезок является радиусом, если он соединяет центр окружности с любой точкой на этой окружности».

Ответ: ...соединяет центр окружности с любой точкой на этой окружности.

5.70 а) Есть ли такие две точки круга диаметром 12 см, расстояние между которыми равно 6 см, 1 мм, 14 см и 12 см?

б) Есть ли такие две точки окружности радиусом 6 см, расстояние между которыми равно 6 мм, 1 см, 14 см и 12 см?

а) Максимальное расстояние между двумя точками круга не превышает диаметра круга.

$6\text{см}<12\text{см}$ - точки есть

$1\text{см}<12\text{см}$ - точки есть

$14\text{см}>12\text{см}$ - точек нет

$12\text{см} = 12\text{см}$ - точки есть (это концы диаметра круга)

б) Если радиус окружности равен 6см, то диаметр окружности равен 12см. Максимальное расстояние между двумя точками окружности не превышает диаметр окружности.

$6\text{мм}<12\text{см}$ - точки есть

$1\text{см}<12\text{см}$ - точки есть

$14\text{см}>12\text{см}$ - точек нет

$12\text{см} = 12\text{см}$ - точки есть (это концы диаметра окружности)

а)

Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью, включая саму окружность. Диаметр круга — это максимальное возможное расстояние между любыми двумя его точками.

В данной задаче диаметр круга равен $d = 12$ см. Это означает, что расстояние между любыми двумя точками круга не может быть меньше 0 и не может превышать 12 см.

Рассмотрим каждое из предложенных расстояний:

- 6 см: Да, такие точки существуют. Расстояние $6$ см находится в диапазоне от 0 до 12 см ($0 \le 6 \le 12$). Например, это расстояние от центра круга до любой точки на его границе (окружности), так как радиус $r = d/2 = 12/2 = 6$ см.

- 1 мм: Да, такие точки существуют. Переведем миллиметры в сантиметры: $1$ мм $= 0.1$ см. Это расстояние также находится в диапазоне от 0 до 12 см ($0 \le 0.1 \le 12$). Можно взять две очень близкие точки внутри круга.

- 14 см: Нет, таких точек не существует. Расстояние $14$ см больше диаметра круга ($14 > 12$). Максимальное расстояние в круге равно его диаметру.

- 12 см: Да, такие точки существуют. Это расстояние равно диаметру круга. Такие точки являются концами любого диаметра и лежат на границе круга (на окружности).

Ответ: Да, существуют; да, существуют; нет, не существуют; да, существуют.

б)

Окружность — это замкнутая кривая, все точки которой равноудалены от центра. В отличие от круга, окружность не включает внутреннюю область. Расстояние между двумя точками на окружности — это длина хорды, соединяющей эти точки.

В данной задаче радиус окружности равен $r = 6$ см. Диаметр окружности равен $d = 2r = 2 \cdot 6 = 12$ см. Минимальное расстояние между двумя точками на окружности равно 0 (если точки совпадают), а максимальное равно диаметру. Таким образом, любое возможное расстояние (длина хорды) должно быть в диапазоне от 0 до 12 см.

Рассмотрим каждое из предложенных расстояний:

- 6 мм: Да, такие точки существуют. Переведем в сантиметры: $6$ мм $= 0.6$ см. Так как $0 \le 0.6 \le 12$, хорда такой длины существует.

- 1 см: Да, такие точки существуют. Так как $0 \le 1 \le 12$, хорда такой длины существует.

- 14 см: Нет, таких точек не существует. Расстояние $14$ см больше диаметра окружности ($14 > 12$). Самая длинная хорда в окружности — это её диаметр.

- 12 см: Да, такие точки существуют. Это расстояние равно диаметру. Точки, находящиеся на таком расстоянии, являются концами диаметра.

Ответ: Да, существуют; да, существуют; нет, не существуют; да, существуют.

5.71 Является ли полукруг сектором?

5.71

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо сравнить определения кругового сектора и полукруга.

Круговой сектор — это часть круга, которая ограничена дугой и двумя радиусами, соединяющими концы этой дуги с центром круга.

Полукруг — это половина круга, ограниченная диаметром и дугой, стягивающей этот диаметр (т.е. полуокружностью).

Рассмотрим диаметр, который является границей полукруга. Диаметр можно представить как два радиуса, лежащих на одной прямой и исходящих из центра круга в противоположных направлениях. Угол между этими радиусами является развернутым и равен $180^\circ$.

Таким образом, полукруг ограничен двумя радиусами (образующими диаметр) и дугой между их концами. Это полностью соответствует определению кругового сектора. Получается, что полукруг — это частный случай сектора, у которого центральный угол равен $180^\circ$.

Ответ: да, полукруг является сектором.

5.72 Сколько секунд в:

а) шестой доле минуты;

б) четверти минуты;

в) трети минуты;

г) пятнадцатой доле минуты;

д) двенадцатой доле минуты;

е) пятой доле четверти минуты?

а) шестой доле минуты;

В одной минуте содержится 60 секунд. Чтобы найти, сколько секунд в шестой доле минуты, нужно общее количество секунд в минуте разделить на 6.
$60 \text{ с} \div 6 = 10 \text{ с}$

Ответ: 10 секунд.

б) четверти минуты;

Четверть минуты — это одна четвертая часть минуты. Чтобы найти количество секунд, нужно 60 секунд разделить на 4.
$60 \text{ с} \div 4 = 15 \text{ с}$

Ответ: 15 секунд.

в) трети минуты;

Треть минуты — это одна третья часть минуты. Чтобы найти количество секунд, нужно 60 секунд разделить на 3.
$60 \text{ с} \div 3 = 20 \text{ с}$

Ответ: 20 секунд.

г) пятнадцатой доле минуты;

Пятнадцатая доля минуты — это одна пятнадцатая часть минуты. Чтобы найти количество секунд, нужно 60 секунд разделить на 15.
$60 \text{ с} \div 15 = 4 \text{ с}$

Ответ: 4 секунды.

д) двенадцатой доле минуты;

Двенадцатая доля минуты — это одна двенадцатая часть минуты. Чтобы найти количество секунд, нужно 60 секунд разделить на 12.
$60 \text{ с} \div 12 = 5 \text{ с}$

Ответ: 5 секунд.

е) пятой доле четверти минуты?

Чтобы найти пятую долю от четверти минуты, можно сначала вычислить, сколько секунд в четверти минуты, а затем найти пятую часть от этого значения.
1. Найдем количество секунд в четверти минуты:
$60 \text{ с} \div 4 = 15 \text{ с}$
2. Теперь найдем пятую долю от 15 секунд:
$15 \text{ с} \div 5 = 3 \text{ с}$
Альтернативный способ — найти, какую долю от целой минуты составляет "пятая доля четверти", перемножив дроби $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{4}$, а затем вычислить эту долю от 60 секунд.
$\frac{1}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{20}$
$60 \text{ с} \times \frac{1}{20} = \frac{60}{20} \text{ с} = 3 \text{ с}$

Ответ: 3 секунды.

5.73 Сколько минут в:

а) 4 часах;

б) трети часа;

в) половине суток;

г) шестой доле часа;

д) четверти часа;

е) половине часа?

а) 4 часах;

Чтобы найти, сколько минут в 4 часах, необходимо количество часов умножить на 60, так как в одном часе содержится 60 минут.

$4 \times 60 = 240$ минут.

Ответ: 240 минут.

б) трети часа;

Треть часа — это одна третья часть часа ($\frac{1}{3}$). Чтобы найти соответствующее количество минут, нужно 60 минут разделить на 3.

$60 \div 3 = 20$ минут.

Ответ: 20 минут.

в) половине суток;

В одних сутках 24 часа. Следовательно, в половине суток будет в два раза меньше часов:

$24 \div 2 = 12$ часов.

Теперь переведем 12 часов в минуты, умножив на 60:

$12 \times 60 = 720$ минут.

Ответ: 720 минут.

г) шестой доле часа;

Шестая доля часа — это одна шестая часть часа ($\frac{1}{6}$). Чтобы найти количество минут, нужно 60 минут разделить на 6.

$60 \div 6 = 10$ минут.

Ответ: 10 минут.

д) четверти часа;

Четверть часа — это одна четвертая часть часа ($\frac{1}{4}$). Чтобы найти количество минут, необходимо 60 минут разделить на 4.

$60 \div 4 = 15$ минут.

Ответ: 15 минут.

е) половине часа?

Половина часа — это одна вторая часть часа ($\frac{1}{2}$). Чтобы найти количество минут, нужно 60 минут разделить на 2.

$60 \div 2 = 30$ минут.

Ответ: 30 минут.

5.74 Отражения часов в зеркале (рис. 5.21), показывают 7 ч. Какое время в действительности показывают часы, если их отражения показывают 3 ч, 2 ч, 12 ч 15 мин и 2 ч 20 мин? Когда время на часах и на их отражении совпадёт?

При отражении в плоском зеркале происходит симметрия относительно вертикальной оси. Для циферблата часов такой осью является линия, соединяющая цифры 12 и 6. Время, которое показывают стрелки часов, и время в их зеркальном отражении связаны простым соотношением. Если сложить реальное время ($T_{реальное}$) и время в отражении ($T_{отраженное}$), то их сумма всегда будет равна 12 часам (или 24 часам, если считать два полных оборота).

Для решения задачи будем использовать формулу: $T_{реальное} + T_{отраженное} = 12:00$. Отсюда, чтобы найти реальное время, нужно вычесть время в отражении из 12:00: $T_{реальное} = 12:00 - T_{отраженное}$. Если в отраженном времени есть минуты, для удобства вычислений можно представить 12:00 как 11 часов и 60 минут (11:60).

Какое время в действительности показывают часы, если их отражения показывают 3 ч
Используем формулу: $T_{реальное} = 12:00 - 3:00 = 9:00$.
Таким образом, если отражение показывает 3 часа, то на самом деле на часах 9 часов.
Ответ: 9 ч 00 мин.

Какое время в действительности показывают часы, если их отражения показывают 2 ч
Используем ту же формулу: $T_{реальное} = 12:00 - 2:00 = 10:00$.
Если отражение показывает 2 часа, реальное время — 10 часов.
Ответ: 10 ч 00 мин.

Какое время в действительности показывают часы, если их отражения показывают 12 ч 15 мин
В 12-часовом формате время 12:15 означает 15 минут после 12. Для расчетов удобнее считать 12 часов как 0 часов. $T_{реальное} = 12:00 - 00:15$.
Представим 12:00 как 11:60: $T_{реальное} = 11:60 - 00:15 = (11-0):(60-15) = 11:45$.
Когда отражение показывает 12:15, на часах на самом деле 11:45.
Ответ: 11 ч 45 мин.

Какое время в действительности показывают часы, если их отражения показывают 2 ч 20 мин
Используем представление 12:00 как 11:60: $T_{реальное} = 11:60 - 2:20 = (11-2):(60-20) = 9:40$.
Когда отражение показывает 2:20, реальное время на часах — 9:40.
Ответ: 9 ч 40 мин.

Когда время на часах и на их отражении совпадёт?
Время на часах и в отражении совпадет тогда, когда расположение стрелок будет симметрично относительно вертикальной оси 12-6. Это возможно только в том случае, если обе стрелки (часовая и минутная) находятся на этой оси.
1. Минутная стрелка на 12, часовая на 6. Время 6:00. В отражении минутная стрелка останется на 12, а часовая на 6. Время совпадет.
2. Обе стрелки на 12. Время 12:00. В отражении обе стрелки останутся на 12. Время также совпадет.
Математически, если $T_{реальное} = T_{отраженное}$, то из формулы $T_{реальное} + T_{отраженное} = 12:00$ следует: $2 \times T_{реальное} = 12:00$, откуда $T_{реальное} = 6:00$. Случай с 12:00 является особым, так как 12:00 + 12:00 = 24:00, что соответствует двум полным циклам по 12 часов.
Ответ: Время на часах и в отражении совпадет в 6:00 и в 12:00.

5.75 Проведите отрезок MN, равный 7 см. Постройте точки, удалённые от М и от N на 7 см.

Для решения этой геометрической задачи на построение мы будем использовать линейку и циркуль. Задача состоит из двух последовательных шагов.

Проведите отрезок MN, равный 7 см.

1. На плоскости (например, на листе бумаги) отмечаем произвольную точку и обозначаем её буквой M.
2. Прикладываем к точке M линейку так, чтобы её нулевая отметка совпала с точкой M.
3. Отмеряем вдоль линейки расстояние в 7 см и ставим вторую точку, которую обозначаем буквой N.
4. Соединяем точки M и N. В результате получаем искомый отрезок MN, длина которого составляет $MN = 7$ см.

Постройте точки, удалённые от M и от N на 7 см.

Нам необходимо найти все точки, которые находятся на расстоянии 7 см от точки M и одновременно на расстоянии 7 см от точки N.

Геометрическое место точек, равноудалённых от заданной точки, — это окружность.
- Множество всех точек, удалённых от точки M на 7 см, — это окружность с центром в M и радиусом $R_M = 7$ см.
- Множество всех точек, удалённых от точки N на 7 см, — это окружность с центром в N и радиусом $R_N = 7$ см.

Следовательно, точки, удовлетворяющие обоим условиям, — это точки пересечения этих двух окружностей.

Алгоритм построения:
1. Возьмём циркуль и с помощью линейки установим его раствор равным 7 см.
2. Установим острие циркуля в точку M и проведём дугу окружности.
3. Не меняя раствора циркуля, установим его острие в точку N и проведём вторую дугу так, чтобы она пересекла первую.
4. Мы получим две точки пересечения. Обозначим их, например, буквами K и L.

Точки K и L и являются искомыми. По построению, они лежат на обеих окружностях, а значит, расстояние от каждой из них до точек M и N равно радиусу этих окружностей, то есть 7 см. Мы получили, что $MK = NK = 7$ см и $ML = NL = 7$ см.
Заметим, что треугольники $\triangle MNK$ и $\triangle MNL$ являются равносторонними, так как все их стороны равны по 7 см.
Ответ: Искомые точки — это две точки (K и L), которые являются точками пересечения двух окружностей с радиусами 7 см и с центрами в концах отрезка MN.

5.76 Проведите окружность с центром в точке О радиусом 1 см 5 мм (рис. 5.22). Отметьте такую точку Р, чтобы ОР = 3 см. Используя циркуль, постройте на окружности точки, удалённые от точки Р на 25 мм.

Построили окружность с центром в точке О и радиусом 1см 5мм.

Отложим от точки О отрезок $\mathrm{DP} = 3\mathrm{см}$.

Построили окружность с центром в точке Р и радиусом $25\mathrm{мм} = 2\mathrm{см}5\mathrm{мм}$.

Каждая точка этой окружности удалена от точки Р на 25 мм.

Окружности пересекаются в точках А и В. Эти точки лежат на окружности с центром в точке О и удалены от точки Р на 25 мм, т.е. $\mathrm{AP} = \mathrm{BP} = 25\mathrm{мм}$.

Для решения задачи выполним последовательность геометрических построений.

Проведите окружность с центром в точке O радиусом 1 см 5 мм.

С помощью циркуля и линейки выполним первое построение. Выберем на плоскости точку O, которая будет служить центром окружности. Установим на циркуле расстояние, равное заданному радиусу $r_1 = 1 \text{ см } 5 \text{ мм} = 15 \text{ мм}$. Поместив ножку циркуля в точку O, проведём окружность.

Отметьте такую точку P, чтобы OP = 3 см.

Проведём через точку O прямую или луч. С помощью линейки отложим на этом луче от точки O отрезок $OP$ длиной $3 \text{ см} = 30 \text{ мм}$. Отметим конец отрезка как точку P.

Используя циркуль, постройте на окружности точки, удалённые от точки P на 25 мм.

Искомые точки должны удовлетворять одновременно двум условиям: во-первых, они должны лежать на первой окружности (с центром в O и радиусом $15 \text{ мм}$), и во-вторых, они должны быть удалены от точки P на расстояние $25 \text{ мм}$.

Геометрическое место точек, равноудалённых от точки P на заданное расстояние, — это окружность с центром в точке P. В нашем случае радиус этой второй окружности равен $r_2 = 25 \text{ мм}$.

Таким образом, задача сводится к нахождению точек пересечения двух окружностей:

1. Окружности с центром в O и радиусом $r_1 = 15 \text{ мм}$.

2. Окружности с центром в P и радиусом $r_2 = 25 \text{ мм}$.

Для построения этих точек пересечения необходимо установить раствор циркуля на $25 \text{ мм} = 2.5 \text{ см}$, поместить ножку циркуля в точку P и провести дугу так, чтобы она пересекла первую окружность. Точки пересечения и будут искомыми.

Проверим, что такое пересечение возможно. Две окружности пересекаются в двух точках, если расстояние между их центрами $d$ больше модуля разности их радиусов, но меньше их суммы: $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$.

В нашем случае $d = OP = 30 \text{ мм}$, $r_1 = 15 \text{ мм}$, $r_2 = 25 \text{ мм}$.

Подставляем значения в неравенство:

$|15 - 25| < 30 < 15 + 25$

$|-10| < 30 < 40$

$10 < 30 < 40$

Так как неравенство верно, окружности пересекаются в двух различных точках.

Ответ: Искомые точки являются точками пересечения исходной окружности (с центром O и радиусом 15 мм) и вспомогательной окружности, построенной с центром в точке P и радиусом 25 мм. Задача имеет два решения (две такие точки).

5.77 Отметьте точки М и N на расстоянии 8 см друг от друга. Проведите окружности одинакового радиуса с центрами М и N так, чтобы они:

а) имели одну общую точку;

б) не имели общих точек;

в) пересекались в двух точках.

Обозначим расстояние между центрами окружностей $M$ и $N$ как $d$. По условию, $d = 8$ см. Пусть $R$ — радиус каждой из двух окружностей. Так как радиусы одинаковы, мы можем проанализировать взаимное расположение окружностей, сравнивая расстояние между центрами $d$ с удвоенным радиусом $2R$.

а) имели одну общую точку

Две окружности одинакового радиуса имеют одну общую точку, если они касаются друг друга внешним образом. Это происходит, когда расстояние между их центрами в точности равно сумме их радиусов. Математически это условие записывается как $d = R + R = 2R$. Подставим известное значение расстояния $d = 8$ см в это равенство: $8 = 2R$ Отсюда находим требуемый радиус $R$: $R = \frac{8}{2} = 4$ см. Таким образом, чтобы окружности имели одну общую точку, радиус каждой из них должен быть равен 4 см.

Ответ: радиус каждой окружности должен быть равен 4 см.

б) не имели общих точек

Две окружности одинакового радиуса не имеют общих точек, если одна находится полностью вне другой (они не пересекаются и не касаются). Это происходит, когда расстояние между их центрами больше, чем сумма их радиусов. Математически это условие записывается как $d > 2R$. Подставим значение $d = 8$ см: $8 > 2R$ Разделив обе части неравенства на 2, получаем: $4 > R$, или $R < 4$ см. Следовательно, чтобы окружности не имели общих точек, их радиус должен быть меньше 4 см. Например, можно выбрать радиус 3 см, 2.5 см или любое другое положительное значение, меньшее 4.

Ответ: радиус каждой окружности должен быть меньше 4 см (например, 3 см).

в) пересекались в двух точках

Две окружности пересекаются в двух различных точках, когда расстояние между их центрами меньше суммы их радиусов. Для окружностей одинакового радиуса этого условия достаточно (так как одна не может оказаться внутри другой, если только они не совпадают, что не наш случай). Математическое условие для пересечения: $|R - R| < d < R + R$, что упрощается до $0 < d < 2R$. Подставим известное значение $d = 8$ см в правую часть неравенства: $8 < 2R$ Разделив обе части на 2, получаем: $4 < R$, или $R > 4$ см. Следовательно, чтобы окружности пересекались в двух точках, их радиус должен быть больше 4 см. Например, можно выбрать радиус 5 см, 6 см или любое другое значение, большее 4.

Ответ: радиус каждой окружности должен быть больше 4 см (например, 5 см).

5.78 Для защиты набережной во время шторма сложили из блоков стену длиной 4800 дм, шириной 48 дм и высотой 60 дм. Сколько блоков потребовалось для этого, если бетонный блок имеет длину 12 дм, ширину 4 дм и высоту 6 дм?

1 способ:

1) $4800 · 48 · 60 = 13824000\left({\mathrm{дм}}^3\right)$ - объем стены

$\begin{array}{r}4800\\ · 48\\ \underset{¯}{¯}\\ 38400\\ + 192\\ \underset{¯}{¯}\\ 230400\end{array}$$\begin{array}{r}230400\\ · 60\\ \underset{¯}{¯}\\ 13824000\end{array}$

2) $12 · 4 · 6 = 48 · 6 = 288\left({\mathrm{дм}}^3\right)$ - объем блока

$\begin{array}{r}48\\ · 6\\ \underset{¯}{¯}\\ 288\end{array}$

3) $13824000:288 = 48000(\mathrm{бл}.)$

$\begin{array}{rl}13824000& |288\\ -\underset{¯}{1152}& |\overline{48000}\\ 2304& \\ -\underset{¯}{2304}\\ 0\end{array}$

2-й способ:

1) $4800:12 = 400\left(\mathrm{блоков}\right)$ по длине

2) $48:4 = 12\left(\mathrm{блоков}\right)$ по ширине

3) $60:6 = 10\left(\mathrm{блоков}\right)$ по высоте

4) $400 · 12 · 10 = 48000\left(\mathrm{блоков}\right)$

Ответ: 48000 блоков.

Для решения этой задачи нужно определить, какое количество бетонных блоков помещается в объеме, занимаемом стеной. Это можно сделать, вычислив, сколько блоков укладывается по каждому из трех измерений (длине, ширине и высоте), а затем перемножив полученные значения.

1. Сначала определим, сколько блоков требуется для одного ряда в длину стены. Для этого разделим длину стены на длину одного блока.
Длина стены: $4800$ дм.
Длина блока: $12$ дм.
Количество блоков в длину: $4800 \div 12 = 400$ блоков.

2. Затем определим, сколько блоков требуется, чтобы выложить стену по ширине. Для этого разделим ширину стены на ширину одного блока.
Ширина стены: $48$ дм.
Ширина блока: $4$ дм.
Количество блоков в ширину: $48 \div 4 = 12$ блоков.

3. Теперь определим, сколько рядов блоков понадобится в высоту. Для этого разделим высоту стены на высоту одного блока.
Высота стены: $60$ дм.
Высота блока: $6$ дм.
Количество блоков в высоту: $60 \div 6 = 10$ блоков.

4. Наконец, чтобы найти общее количество блоков, необходимое для всей стены, перемножим количество блоков по каждому измерению.
Общее количество = (количество блоков в длину) $\times$ (количество блоков в ширину) $\times$ (количество блоков в высоту)
Общее количество = $400 \times 12 \times 10 = 48 \, 000$ блоков.

Ответ: 48 000 блоков.

5.79 Сколькими способами могут разместиться на скамейке 6 друзей?

Данная задача заключается в нахождении количества способов расположить 6 различных объектов (друзей) на 6 местах (на скамейке). Поскольку порядок расположения друзей важен (если два друга поменяются местами, это будет уже другой способ размещения), мы имеем дело с перестановками.

Количество перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$ (читается как "n факториал"), где $n!$ — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

В нашем случае количество друзей $n = 6$. Следовательно, нам нужно вычислить $6!$.

Распишем вычисление по шагам:

Для первого места на скамейке есть 6 кандидатов (любой из 6 друзей).

Когда один друг сел, для второго места остается 5 кандидатов.

Для третьего места — 4 кандидата.

Для четвертого — 3.

Для пятого — 2.

Для последнего, шестого места, остается только 1 кандидат.

Чтобы найти общее число способов, нужно перемножить все эти возможности:

$P_6 = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

Таким образом, 6 друзей могут разместиться на скамейке 720 различными способами.

Ответ: 720.

5.80 1) На двух участках поровну кустов смородины. Если на каждый участок добавить ещё по 3 куста, то всего на них будет 34 куста смородины. Сколько кустов смородины на каждом участке?

2) В трёх корзинах поровну яблок. Если в каждую корзину добавить ещё по 6 яблок, то всего в них будет 120 яблок. Сколько яблок в каждой корзине?

1) Пусть на каждом участке $x$ кустов смородины. После того как добавили по 3 куста, то на каждом участке стало $x + 3$ куста смородины. Составим уравнение:

Ответ: 14 кустов

2) Пусть $x$ яблок в каждой корзине. После того как добавить по 6 яблок, то в каждой корзине станет $x + 6$ яблок. Составим уравнение:

Ответ: 34 яблока

1)

Чтобы решить задачу, сначала найдём, сколько всего кустов добавили на оба участка. Поскольку на каждый из двух участков добавили по 3 куста, общее количество добавленных кустов составляет:
$2 \times 3 = 6$ (кустов)

Теперь мы можем определить, сколько кустов было на двух участках изначально. Мы знаем, что после добавления 6 кустов их общее число стало 34. Значит, первоначально на двух участках было:
$34 - 6 = 28$ (кустов)

Так как по условию на участках было поровну кустов смородины, разделим их общее начальное количество на 2, чтобы найти, сколько кустов было на каждом участке:
$28 \div 2 = 14$ (кустов)

Ответ: 14 кустов.

2)

Сначала определим, сколько всего яблок было добавлено во все корзины. В каждую из трёх корзин добавили по 6 яблок, следовательно, общее количество добавленных яблок равно:
$3 \times 6 = 18$ (яблок)

Теперь найдём, сколько яблок было в трёх корзинах изначально. После того, как добавили 18 яблок, их общее количество стало 120. Значит, до этого в корзинах было:
$120 - 18 = 102$ (яблока)

В условии сказано, что в каждой корзине было поровну яблок. Чтобы найти количество яблок в одной корзине, разделим общее начальное количество яблок на 3:
$102 \div 3 = 34$ (яблока)

Ответ: 34 яблока.