Номер 5.76, страница 17, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

26. Доли и дроби. Изображение дробей на координатной прямой. § 5. Обыкновенные дроби. Глава 2. Дробные числа. ч. 2 - номер 5.76, страница 17.

5.76 Проведите окружность с центром в точке О радиусом 1 см 5 мм (рис. 5.22). Отметьте такую точку Р, чтобы ОР = 3 см. Используя циркуль, постройте на окружности точки, удалённые от точки Р на 25 мм.

Для решения задачи выполним последовательность геометрических построений.

Проведите окружность с центром в точке O радиусом 1 см 5 мм.

С помощью циркуля и линейки выполним первое построение. Выберем на плоскости точку O, которая будет служить центром окружности. Установим на циркуле расстояние, равное заданному радиусу $r_1 = 1 \text{ см } 5 \text{ мм} = 15 \text{ мм}$. Поместив ножку циркуля в точку O, проведём окружность.

Отметьте такую точку P, чтобы OP = 3 см.

Проведём через точку O прямую или луч. С помощью линейки отложим на этом луче от точки O отрезок $OP$ длиной $3 \text{ см} = 30 \text{ мм}$. Отметим конец отрезка как точку P.

Используя циркуль, постройте на окружности точки, удалённые от точки P на 25 мм.

Искомые точки должны удовлетворять одновременно двум условиям: во-первых, они должны лежать на первой окружности (с центром в O и радиусом $15 \text{ мм}$), и во-вторых, они должны быть удалены от точки P на расстояние $25 \text{ мм}$.

Геометрическое место точек, равноудалённых от точки P на заданное расстояние, — это окружность с центром в точке P. В нашем случае радиус этой второй окружности равен $r_2 = 25 \text{ мм}$.

Таким образом, задача сводится к нахождению точек пересечения двух окружностей:

1. Окружности с центром в O и радиусом $r_1 = 15 \text{ мм}$.

2. Окружности с центром в P и радиусом $r_2 = 25 \text{ мм}$.

Для построения этих точек пересечения необходимо установить раствор циркуля на $25 \text{ мм} = 2.5 \text{ см}$, поместить ножку циркуля в точку P и провести дугу так, чтобы она пересекла первую окружность. Точки пересечения и будут искомыми.

Проверим, что такое пересечение возможно. Две окружности пересекаются в двух точках, если расстояние между их центрами $d$ больше модуля разности их радиусов, но меньше их суммы: $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$.

В нашем случае $d = OP = 30 \text{ мм}$, $r_1 = 15 \text{ мм}$, $r_2 = 25 \text{ мм}$.

Подставляем значения в неравенство:

$|15 - 25| < 30 < 15 + 25$

$|-10| < 30 < 40$

$10 < 30 < 40$

Так как неравенство верно, окружности пересекаются в двух различных точках.

Ответ: Искомые точки являются точками пересечения исходной окружности (с центром O и радиусом 15 мм) и вспомогательной окружности, построенной с центром в точке P и радиусом 25 мм. Задача имеет два решения (две такие точки).