Номер 5.77, страница 17, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

26. Доли и дроби. Изображение дробей на координатной прямой. § 5. Обыкновенные дроби. Глава 2. Дробные числа. ч. 2 - номер 5.77, страница 17.

5.77 Отметьте точки М и N на расстоянии 8 см друг от друга. Проведите окружности одинакового радиуса с центрами М и N так, чтобы они:

а) имели одну общую точку;

б) не имели общих точек;

в) пересекались в двух точках.

Обозначим расстояние между центрами окружностей $M$ и $N$ как $d$. По условию, $d = 8$ см. Пусть $R$ — радиус каждой из двух окружностей. Так как радиусы одинаковы, мы можем проанализировать взаимное расположение окружностей, сравнивая расстояние между центрами $d$ с удвоенным радиусом $2R$.

а) имели одну общую точку

Две окружности одинакового радиуса имеют одну общую точку, если они касаются друг друга внешним образом. Это происходит, когда расстояние между их центрами в точности равно сумме их радиусов. Математически это условие записывается как $d = R + R = 2R$. Подставим известное значение расстояния $d = 8$ см в это равенство: $8 = 2R$ Отсюда находим требуемый радиус $R$: $R = \frac{8}{2} = 4$ см. Таким образом, чтобы окружности имели одну общую точку, радиус каждой из них должен быть равен 4 см.

Ответ: радиус каждой окружности должен быть равен 4 см.

б) не имели общих точек

Две окружности одинакового радиуса не имеют общих точек, если одна находится полностью вне другой (они не пересекаются и не касаются). Это происходит, когда расстояние между их центрами больше, чем сумма их радиусов. Математически это условие записывается как $d > 2R$. Подставим значение $d = 8$ см: $8 > 2R$ Разделив обе части неравенства на 2, получаем: $4 > R$, или $R < 4$ см. Следовательно, чтобы окружности не имели общих точек, их радиус должен быть меньше 4 см. Например, можно выбрать радиус 3 см, 2.5 см или любое другое положительное значение, меньшее 4.

Ответ: радиус каждой окружности должен быть меньше 4 см (например, 3 см).

в) пересекались в двух точках

Две окружности пересекаются в двух различных точках, когда расстояние между их центрами меньше суммы их радиусов. Для окружностей одинакового радиуса этого условия достаточно (так как одна не может оказаться внутри другой, если только они не совпадают, что не наш случай). Математическое условие для пересечения: $|R - R| < d < R + R$, что упрощается до $0 < d < 2R$. Подставим известное значение $d = 8$ см в правую часть неравенства: $8 < 2R$ Разделив обе части на 2, получаем: $4 < R$, или $R > 4$ см. Следовательно, чтобы окружности пересекались в двух точках, их радиус должен быть больше 4 см. Например, можно выбрать радиус 5 см, 6 см или любое другое значение, большее 4.

Ответ: радиус каждой окружности должен быть больше 4 см (например, 5 см).