Страница 24, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1.95 Отметьте точки К и L и проведите прямую KL.

а) Отметьте точку Р на прямой KL, не лежащую на отрезке KL.

б) Отметьте на отрезке KL точку М. Лежит ли эта точка на прямой KL?

Ответ: точка М лежит на прямой KL.

1.96 Проведите прямую и отметьте на ней точки М, В и С. Запишите все возможные обозначения прямой.

MB, BM, MC, CM, BC, CB.

Для решения этой задачи сначала нужно представить прямую линию. Согласно условию, на этой прямой расположены три различные точки: M, B и C.

В евклидовой геометрии прямая может быть обозначена любыми двумя точками, которые ей принадлежат. Порядок указания точек в обозначении не имеет значения, то есть прямая, проходящая через точки X и Y, может быть названа как XY или YX.

Имея на прямой три точки (M, B, C), мы можем составить из них пары, чтобы обозначить прямую. Найдем все возможные уникальные пары точек:

1. Пара точек M и B. Эта пара дает два обозначения для прямой: MB и BM.
2. Пара точек M и C. Эта пара дает два обозначения для прямой: MC и CM.
3. Пара точек B и C. Эта пара дает два обозначения для прямой: BC и CB.

Таким образом, мы перечислили все возможные способы обозначения прямой, проходящей через три заданные точки. Всего получилось 6 различных обозначений.

Ответ: MB, BM, MC, CM, BC, CB.

1.97 Проведите прямую и постройте на ней отрезок MN длиной 5 см. Отложите на прямой отрезок МК длиной 4 см так, чтобы точки N и К были по разные стороны от точки М. Есть ли на прямой МК точка, находящаяся от точки N на расстоянии 1 км?

MN = 5 см
MK = 4 см

Ответ: на прямой MK есть точка, находящаяся от точки N на расстоянии 1 км.

1.98 Проведите прямые AB, CD и MN, которые пересекаются в точке О. На сколько частей делят плоскость три пересекающиеся прямые?

Ответ: три пересекающиеся прямые делят плоскость на 6 частей.

1.99 Отметьте три точки М, N и К, не лежащие на одной прямой. На сколько частей делят плоскость прямые MN, МК и NK?

Ответ: прямые MN, MK и NK делят плоскость на 7 частей.

1.100 Назовите: 4 точки, 3 отрезка, 3 луча и прямую на рисунке 1.19.

Точки: A, B, C, D.

Отрезки: AK, BK, AB.

Лучи: AB, KA, KB.

Прямые: AB.

Поскольку в условии задачи отсутствует рисунок 1.19, для решения будем исходить из предположения, что на нем изображена прямая, на которой последовательно отмечены четыре точки. Обозначим эти точки заглавными латинскими буквами A, B, C и D.

Точка — это основной, простейший геометрический объект, не имеющий частей. На нашем условном рисунке точки обозначены буквами. Мы можем назвать следующие четыре точки: A, B, C, D.

Ответ: Точки A, B, C, D.

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками, которые называются его концами. Отрезок включает в себя оба конца и все точки прямой, лежащие между ними. Отрезок обозначается двумя заглавными буквами, соответствующими его концам. На нашей прямой можно выделить несколько отрезков. Выберем три из них: отрезок с концами в точках A и B ($AB$), отрезок с концами в точках B и C ($BC$) и отрезок с концами в точках C и D ($CD$).

Ответ: Отрезки $AB$, $BC$, $CD$.

Луч (или полупрямая) — это часть прямой, которая имеет начальную точку и не имеет конца, то есть продолжается бесконечно в одном направлении. Луч обозначается двумя точками: первая — его начало, а вторая — любая другая точка, принадлежащая лучу. Выберем три различных луча на нашей прямой: луч с началом в точке B, проходящий через точку C (луч $BC$); луч с началом в точке C, проходящий через точку A (луч $CA$); и луч с началом в точке D, проходящий через точку B (луч $DB$).

Ответ: Лучи $BC$, $CA$, $DB$.

Прямая — это линия, которая не имеет ни начала, ни конца, она бесконечна в обе стороны. Прямую можно обозначить с помощью любых двух точек, которые ей принадлежат. Так как все четыре точки A, B, C, D лежат на одной прямой, ее можно обозначить любой парой этих точек.

Ответ: Прямая $AD$ (также можно назвать $AB$, $BD$, $CD$ и т.д.).

1.101 Отложите на луче ОМ от его начала последовательно 4 отрезка, по 3 см каждый. Можно ли на этом луче отложить 1001 такой отрезок?

Ответ: на луче ОМ можно отложить 1001 отрезок, так как у луча не конца.

Отложите на луче OM от его начала последовательно 4 отрезка, по 3 см каждый.

Это задание описывает выполнимое действие. Луч — это часть прямой, которая имеет начальную точку (в данном случае, точку $O$) и простирается бесконечно в одном направлении. Чтобы отложить на нем 4 отрезка по 3 см каждый, мы последовательно отмеряем от начала луча отрезки указанной длины.
Общая длина, которая потребуется на луче для размещения четырех таких отрезков, вычисляется как произведение количества отрезков на длину одного отрезка:
$4 \times 3 = 12$ см.
Поскольку луч имеет бесконечную длину, на нем можно отложить отрезок любой конечной длины. Длина 12 см является конечной, следовательно, это действие возможно.

Можно ли на этом луче отложить 1001 такой отрезок?

Да, на луче можно отложить 1001 такой отрезок.
Рассуждения аналогичны предыдущему пункту. Сначала необходимо вычислить, какая общая длина потребуется для последовательного размещения 1001 отрезка, каждый из которых имеет длину 3 см.
Общая длина $L$ составит:
$L = 1001 \times 3 = 3003$ см.

Полученная длина 3003 см (что равно 30 метрам и 3 сантиметрам) является конечной величиной. Главное свойство луча — его бесконечная протяженность. Это означает, что на нем можно отложить отрезок любой конечной длины, какой бы большой она ни была.
Так как требуемая длина в 3003 см конечна, а луч бесконечен, то на нем найдется достаточно места, чтобы отложить 1001 такой отрезок.

Ответ: Да, можно.

1.102 Вычислите.

1.103 Заполните таблицу.

1.104 Вычислите и объясните приём вычислений:

а) 320 : 8;

б) 1326 : 13;

в) 400 • 7;

г) 602 • 6.

а) 320 : 8 = (32 · 10) : 8 = (32 : 8) · 10 = 4 · 10 = 40;

б) 1326 : 13 = (1300 + 26) : 13 = 1300 : 13 + 26 : 13 = 100 + 2 = 102;

в) 400 · 7 = (4 · 100) · 7 = (4 · 7) · 100 = 28 · 100 = 2800;

г) 602 · 6 = (600 + 2) : 6 = 600 · 6 + 2 · 6 = 3600 + 12 = 3612.

а) $320 : 8$

Приём вычислений: Для деления круглого числа (числа, оканчивающегося на нули) на однозначное число, можно представить делимое в виде произведения числа без нулей и разрядной единицы (10, 100 и т.д.). Затем, используя свойство деления произведения на число, разделить число без нулей на делитель и умножить результат на разрядную единицу.

Представим 320 как 32 десятка. Делим 32 на 8, получаем 4. Так как мы делили десятки, то и в результате получаем 4 десятка, то есть 40.

Математически это можно записать так: $320 : 8 = (32 \cdot 10) : 8 = (32 : 8) \cdot 10 = 4 \cdot 10 = 40$.

Ответ: 40

б) $1326 : 13$

Приём вычислений: Используем приём разложения делимого на удобные слагаемые, каждое из которых легко делится на делитель. Этот приём основан на распределительном свойстве деления относительно сложения: $(a + b) : c = a : c + b : c$.

Представим число 1326 в виде суммы слагаемых, которые делятся на 13. Удобно разложить 1326 на 1300 и 26, так как оба числа делятся на 13 без остатка.

Выполним деление каждого слагаемого на 13 и сложим результаты: $1326 : 13 = (1300 + 26) : 13 = 1300 : 13 + 26 : 13 = 100 + 2 = 102$.

Ответ: 102

в) $400 \cdot 7$

Приём вычислений: Для умножения круглого числа на однозначное, можно выполнить умножение без учёта нулей, а затем приписать отброшенные нули к полученному произведению.

Умножаем 4 на 7, получаем 28. У числа 400 было два нуля, поэтому к результату 28 приписываем справа два нуля, получая 2800.

Математически это можно записать, используя сочетательное свойство умножения: $400 \cdot 7 = (4 \cdot 100) \cdot 7 = (4 \cdot 7) \cdot 100 = 28 \cdot 100 = 2800$.

Ответ: 2800

г) $602 \cdot 6$

Приём вычислений: Используем приём разложения одного из множителей на сумму разрядных слагаемых. Этот приём основан на распределительном свойстве умножения относительно сложения: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.

Представим число 602 в виде суммы разрядных слагаемых: $602 = 600 + 2$.

Теперь умножим каждое слагаемое на 6 и сложим полученные произведения: $(600 + 2) \cdot 6 = 600 \cdot 6 + 2 \cdot 6 = 3600 + 12 = 3612$.

Ответ: 3612

1.105 Существуют ли два числа, разность которых равна их сумме?

Существуют. Это любое натуральное число и число 0. Например: 5 + 0 = 5 - 0.

Да, такие числа существуют. Чтобы доказать это, воспользуемся алгебраическим подходом.

Пусть искомые числа — это $a$ и $b$.

Сумма этих чисел записывается как $a + b$.

Разность этих чисел записывается как $a - b$.

Согласно условию задачи, разность должна быть равна сумме. Запишем это в виде уравнения:

$a - b = a + b$

Теперь решим это уравнение относительно одной из переменных. Вычтем из обеих частей уравнения $a$:

$a - b - a = a + b - a$

$-b = b$

Это равенство справедливо только в одном случае: когда $b=0$. Если мы прибавим $b$ к обеим частям уравнения, мы получим:

$0 = b + b$

$0 = 2b$

$b = 0$

Таким образом, мы выяснили, что одно из чисел должно быть равно нулю. При этом на значение числа $a$ никаких ограничений не накладывается, оно может быть любым.

Проверим наше решение на примере. Пусть $a = 15$, а $b = 0$.

• Их сумма: $15 + 0 = 15$
• Их разность: $15 - 0 = 15$

Сумма равна разности ($15 = 15$), следовательно, условие выполняется.

Ответ: Да, существуют. Это любая пара чисел, в которой одно из чисел равно 0, а другое — любое число (включая 0).

1.106 Найдите, сколько цифр будет в частном, не вычисляя его:

а) 972 : 6;

б) 3100 : 25;

в) 11514 : 38;

г) 608 328 : 63.

а) 972 : 6

В частности будет 3 цифры, так как 9 : 6 - 1 цифра и ещё две цифры 7 и 2.

б) 3 100 : 25

В частности будет 3 цифры, так как 31 : 25 - 1 цифра и еще две цифры 0 и 0.

в) 11 514 : 38

В частности будет 3 цифры, так как 115 : 38 - 1 цифра и ещё две цифры 1 и 4.

г) 608 328 : 63

В частности будет 4 цифры, так как 608 : 63 - 1 цифра и ещё три цифры 3, 2 и 8.

Чтобы определить количество цифр в частном, не выполняя вычислений, нужно найти первое неполное делимое. Оно даст одну цифру в частном. Затем нужно посчитать, сколько цифр осталось в делимом после первого неполного делимого — столько же цифр будет и в частном после первой.

а) 972 : 6
Делитель — 6 (однозначное число). Смотрим на первую цифру делимого 972 — это 9. Поскольку $9 > 6$, то первое неполное делимое — это 9. Оно даст первую цифру в частном. После цифры 9 в делимом остаются еще две цифры (7 и 2). Следовательно, в частном будет $1 + 2 = 3$ цифры.
Ответ: 3.

б) 3100 : 25
Делитель — 25 (двузначное число), поэтому смотрим на первые две цифры делимого 3100 — это 31. Поскольку $31 > 25$, то первое неполное делимое — это 31. Оно даст первую цифру в частном. После числа 31 в делимом остаются еще две цифры (0 и 0). Следовательно, в частном будет $1 + 2 = 3$ цифры.
Ответ: 3.

в) 11 514 : 38
Делитель — 38 (двузначное число). Смотрим на первые две цифры делимого 11 514 — это 11. Поскольку $11 < 38$, этого недостаточно. Берем первые три цифры делимого — 115. Так как $115 > 38$, то первое неполное делимое — 115. Оно даст первую цифру в частном. После числа 115 в делимом остаются еще две цифры (1 и 4). Следовательно, в частном будет $1 + 2 = 3$ цифры.
Ответ: 3.

г) 608 328 : 63
Делитель — 63 (двузначное число). Смотрим на первые две цифры делимого 608 328 — это 60. Поскольку $60 < 63$, этого недостаточно. Берем первые три цифры делимого — 608. Так как $608 > 63$, то первое неполное делимое — 608. Оно даст первую цифру в частном. После числа 608 в делимом остаются еще три цифры (3, 2 и 8). Следовательно, в частном будет $1 + 3 = 4$ цифры.
Ответ: 4.

1.107 Найдите сумму величин:

а) 2 м 55 см и 1 м 20 см;

6) 4 дм 12 см и 19 см;

в) 7 м 70 см и 4 м 60 см;

г) 3 км 250 м и 850 м.

а) 2 м 55 см + 1 м 20 см = 3 м 75 см;

б) 4 дм 12 см + 19 см = 4 дм 31 см = 4 дм + (30 см + 1 см) = 4 дм + (3 дм + 1 см) = (4 дм + 3 дм) + 1 см = 7 дм 1 см;

в) 7 м 70 см + 4 м 60 см = 11 м 130 см = 11 м + (100 см + 30 см) = 11 м + 1 м + 30 см = 12 м 30 см;

г) 3 км 250 м + 850 м = 3 км 1100 м = 3 км + (1000 + 100 м) = 3 км + 1 км + 100 м = 4 км 100 м.

а) Чтобы найти сумму 2 м 55 см и 1 м 20 см, мы можем сложить метры с метрами, а сантиметры с сантиметрами.
Сложение метров: $2 \text{ м} + 1 \text{ м} = 3 \text{ м}$.
Сложение сантиметров: $55 \text{ см} + 20 \text{ см} = 75 \text{ см}$.
Объединив результаты, получаем 3 м и 75 см.
Ответ: 3 м 75 см.

б) Чтобы найти сумму 4 дм 12 см и 19 см, удобно сначала всё перевести в сантиметры.
Зная, что $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$, переводим первую величину:
$4 \text{ дм } 12 \text{ см} = 4 \times 10 \text{ см} + 12 \text{ см} = 40 \text{ см} + 12 \text{ см} = 52 \text{ см}$.
Теперь складываем полученное значение с второй величиной:
$52 \text{ см} + 19 \text{ см} = 71 \text{ см}$.
Чтобы результат был представлен в дециметрах и сантиметрах, выполняем обратное преобразование:
$71 \text{ см} = 70 \text{ см} + 1 \text{ см} = 7 \text{ дм } 1 \text{ см}$.
Ответ: 7 дм 1 см.

в) Чтобы найти сумму 7 м 70 см и 4 м 60 см, сложим отдельно метры и сантиметры.
Складываем метры: $7 \text{ м} + 4 \text{ м} = 11 \text{ м}$.
Складываем сантиметры: $70 \text{ см} + 60 \text{ см} = 130 \text{ см}$.
В результате получаем 11 м 130 см. Так как $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$, мы можем преобразовать 130 см.
$130 \text{ см} = 100 \text{ см} + 30 \text{ см} = 1 \text{ м } 30 \text{ см}$.
Теперь прибавим это к метрам: $11 \text{ м} + 1 \text{ м } 30 \text{ см} = 12 \text{ м } 30 \text{ см}$.
Ответ: 12 м 30 см.

г) Чтобы найти сумму 3 км 250 м и 850 м, сложим метры с метрами.
Складываем метры: $250 \text{ м} + 850 \text{ м} = 1100 \text{ м}$.
Теперь у нас есть 3 км и 1100 м. Мы знаем, что $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$.
Преобразуем 1100 м в километры и метры: $1100 \text{ м} = 1000 \text{ м} + 100 \text{ м} = 1 \text{ км } 100 \text{ м}$.
Наконец, добавим это к исходным километрам: $3 \text{ км} + 1 \text{ км } 100 \text{ м} = 4 \text{ км } 100 \text{ м}$.
Ответ: 4 км 100 м.

1.108 На прямой последовательно отметьте точки А, В, С и D так, чтобы АВ = 4 см, ВС = 1 см 5 мм и CD = 3 см 2 мм. Чему равно расстояние между точками А и D?

AB = 4 см;
BC = 1 см 5 мм;
CD = 3 см 2 мм;
AD = AB + BC + CD = 4 см + 1 см 5 мм + 3 см 2 мм = 8 см 7 мм.

Ответ: 8 см 7 мм.

Согласно условию, точки A, B, C и D расположены на прямой последовательно. Это значит, что расстояние между точками A и D является суммой длин отрезков, на которые он разделен точками B и C. Таким образом, чтобы найти длину отрезка AD, нужно сложить длины отрезков AB, BC и CD.

$AD = AB + BC + CD$

Даны длины отрезков:

• $AB = 4$ см
• $BC = 1$ см $5$ мм
• $CD = 3$ см $2$ мм

Для удобства вычислений переведем все длины в одну единицу измерения — миллиметры. Вспомним, что в одном сантиметре содержится 10 миллиметров ($1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$).

Переведем каждую длину в миллиметры:

• $AB = 4 \text{ см} = 4 \times 10 \text{ мм} = 40 \text{ мм}$
• $BC = 1 \text{ см } 5 \text{ мм} = 1 \times 10 \text{ мм} + 5 \text{ мм} = 15 \text{ мм}$
• $CD = 3 \text{ см } 2 \text{ мм} = 3 \times 10 \text{ мм} + 2 \text{ мм} = 32 \text{ мм}$

Теперь сложим полученные значения, чтобы найти искомое расстояние AD:

$AD = 40 \text{ мм} + 15 \text{ мм} + 32 \text{ мм} = 87 \text{ мм}$

Результат можно представить в сантиметрах и миллиметрах:

$87 \text{ мм} = 80 \text{ мм} + 7 \text{ мм} = 8 \text{ см } 7 \text{ мм}$

Ответ: $8$ см $7$ мм.

1.109 Выразите:

а) Чтобы выразить данные величины в сантиметрах, необходимо знать следующие соотношения единиц длины:

• 1 сантиметр (см) равен 10 миллиметрам (мм): $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
• 1 метр (м) равен 100 сантиметрам (см): $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.

Исходя из этого, выполним преобразования:

1. Для перевода миллиметров в сантиметры, делим значение на 10.

$60 \text{ мм} = \frac{60}{10} \text{ см} = 6 \text{ см}$

$320 \text{ мм} = \frac{320}{10} \text{ см} = 32 \text{ см}$

2. Для перевода метров в сантиметры, умножаем значение на 100.

$54 \text{ м} = 54 \times 100 \text{ см} = 5400 \text{ см}$

$600 \text{ м} = 600 \times 100 \text{ см} = 60000 \text{ см}$

Ответ: 6 см; 32 см; 5400 см; 60000 см.

б) Чтобы выразить данные величины в метрах, необходимо знать следующие соотношения единиц длины:

• 1 метр (м) равен 100 сантиметрам (см): $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.
• 1 метр (м) равен 10 дециметрам (дм): $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$.
• 1 километр (км) равен 1000 метрам (м): $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$.
• 1 метр (м) равен 1000 миллиметрам (мм): $1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$.

Выполним преобразования:

1. Для перевода сантиметров в метры, делим значение на 100.

$400 \text{ см} = \frac{400}{100} \text{ м} = 4 \text{ м}$

2. Для перевода дециметров в метры, делим значение на 10.

$200 \text{ дм} = \frac{200}{10} \text{ м} = 20 \text{ м}$

3. Для перевода километров в метры, умножаем значение на 1000.

$3 \text{ км} = 3 \times 1000 \text{ м} = 3000 \text{ м}$

4. Для смешанной величины сначала переводим километры в метры, а затем прибавляем оставшиеся метры.

$6 \text{ км } 50 \text{ м} = (6 \times 1000) \text{ м} + 50 \text{ м} = 6000 \text{ м} + 50 \text{ м} = 6050 \text{ м}$

5. Для перевода миллиметров в метры, делим значение на 1000.

$35000 \text{ мм} = \frac{35000}{1000} \text{ м} = 35 \text{ м}$

Ответ: 4 м; 20 м; 3000 м; 6050 м; 35 м.

1.110 Начертите шестиугольник ABCDEF. Отметьте точку К на стороне EF и точку L на стороне АВ. Проведите отрезок KL. Назовите получившиеся многоугольники.

ALKF - четырёхугольник;

BCDEKL - шестиугольник.

Для решения данной задачи выполним последовательные шаги построения и проанализируем результат.

1. Начертите шестиугольник ABCDEF.

   Изобразим на плоскости произвольный выпуклый шестиугольник и обозначим его вершины последовательно буквами $A, B, C, D, E, F$.

2. Отметьте точку K на стороне EF и точку L на стороне AB.

   Выберем произвольную точку $L$, лежащую на стороне $AB$ (между точками $A$ и $B$), и произвольную точку $K$, лежащую на стороне $EF$ (между точками $E$ и $F$).

3. Проведите отрезок KL. Назовите получившиеся многоугольники.

   Соединим точки $K$ и $L$ отрезком. Этот отрезок разделит исходный шестиугольник $ABCDEF$ на два новых многоугольника, как показано на рисунке ниже.

   Чтобы назвать получившиеся многоугольники, необходимо последовательно перечислить их вершины.

   • Первый многоугольник (на рисунке закрашен голубым) имеет вершины: $L, B, C, D, E, K$. Подсчитав количество вершин, получаем, что их шесть. Следовательно, это шестиугольник $LBCDEK$. Его стороны: $LB$ (часть $AB$), $BC$, $CD$, $DE$, $EK$ (часть $EF$) и $KL$.
   • Второй многоугольник (на рисунке закрашен желтым) имеет вершины: $A, L, K, F$. Подсчитав количество вершин, получаем, что их четыре. Следовательно, это четырехугольник $ALKF$. Его стороны: $AL$ (часть $AB$), $LK$, $KF$ (часть $EF$) и $FA$.

Ответ: В результате проведения отрезка $KL$ исходный шестиугольник $ABCDEF$ делится на два многоугольника: шестиугольник $LBCDEK$ и четырехугольник $ALKF$.

5.117 От семиметровой ленты отрезали 2 м. Какую часть ленты отрезали?

Для того чтобы определить, какую часть ленты отрезали, необходимо найти отношение длины отрезанного куска к первоначальной длине всей ленты.

Общая длина ленты по условию задачи составляет 7 метров.

Длина отрезанного куска составляет 2 метра.

Чтобы выразить отрезанную часть в виде дроби, мы помещаем длину отрезанного куска в числитель, а общую длину ленты — в знаменатель.

Таким образом, искомая часть ленты равна дроби $ \frac{2}{7} $.

Ответ: отрезали $ \frac{2}{7} $ часть ленты.

5.118 У светофора остановилось 15 машин: 3 автобуса, 4 легковых автомобиля и 8 грузовых. Какую часть всех машин составляют:

а) автобусы;

б) легковые автомобили;

в) грузовые автомобили;

г) автобусы и легковые автомобили;

д) легковые и грузовые автомобили?

В условии задачи дано, что всего у светофора остановилось 15 машин. Это число является целым, от которого мы будем находить часть. Часть от целого находится как отношение количества интересующих нас объектов к общему количеству всех объектов.

а) автобусы;

Количество автобусов равно 3. Чтобы найти, какую часть от всех машин составляют автобусы, нужно разделить количество автобусов на общее количество машин.
$ \frac{3}{15} $
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:
$ \frac{3 \div 3}{15 \div 3} = \frac{1}{5} $
Ответ: $ \frac{1}{5} $

б) легковые автомобили;

Количество легковых автомобилей равно 4. Часть, которую они составляют от всех машин, равна:
$ \frac{4}{15} $
Эта дробь несократимая, так как у числителя 4 и знаменателя 15 нет общих делителей, кроме 1.
Ответ: $ \frac{4}{15} $

в) грузовые автомобили;

Количество грузовых автомобилей равно 8. Часть, которую они составляют от всех машин, равна:
$ \frac{8}{15} $
Эта дробь также является несократимой.
Ответ: $ \frac{8}{15} $

г) автобусы и легковые автомобили;

Сначала найдем общее количество автобусов и легковых автомобилей, сложив их количества:
$ 3 + 4 = 7 $
Теперь найдем, какую часть от всех машин они составляют вместе:
$ \frac{7}{15} $
Эта дробь несократимая.
Ответ: $ \frac{7}{15} $

д) легковые и грузовые автомобили?

Сначала найдем общее количество легковых и грузовых автомобилей:
$ 4 + 8 = 12 $
Теперь найдем, какую часть от всех машин они составляют вместе:
$ \frac{12}{15} $
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:
$ \frac{12 \div 3}{15 \div 3} = \frac{4}{5} $
Ответ: $ \frac{4}{5} $

5.119 Школьная экскурсия в музей длилась 5 ч. На дорогу было потрачено 25 этого времени.

а) Сколько времени было потрачено на дорогу?

б) Сколько времени было потрачено на экскурсию по музею, если 15 мин школьники потратили на покупку сувениров?

а) Сколько времени было потрачено на дорогу?

Вся экскурсия длилась 5 часов. Согласно условию, на дорогу было потрачено $ \frac{2}{5} $ этого времени. Чтобы найти, сколько часов это составляет, нужно общее время умножить на эту дробь.

Выполним вычисление:

$ 5 \text{ ч} \times \frac{2}{5} = \frac{5 \times 2}{5} = 2 \text{ ч} $

Следовательно, время, потраченное на дорогу, составляет 2 часа.

Ответ: 2 часа.

б) Сколько времени было потрачено на экскурсию по музею, если 15 мин школьники потратили на покупку сувениров?

Сначала определим общее время, которое школьники провели в музее. Для этого из общей продолжительности экскурсии (5 часов) вычтем время, потраченное на дорогу (2 часа).

$ 5 \text{ ч} - 2 \text{ ч} = 3 \text{ ч} $

Таким образом, на пребывание в музее (экскурсия и покупка сувениров) ушло 3 часа.

Из этих 3 часов 15 минут было потрачено на покупку сувениров. Чтобы найти время, потраченное непосредственно на экскурсию, вычтем 15 минут из 3 часов.

Представим 3 часа как 2 часа и 60 минут для удобства вычитания:

$ 3 \text{ ч} = 2 \text{ ч} \, 60 \text{ мин} $

Теперь вычтем время на сувениры:

$ 2 \text{ ч} \, 60 \text{ мин} - 15 \text{ мин} = 2 \text{ ч} \, 45 \text{ мин} $

Значит, на экскурсию по музею было потрачено 2 часа 45 минут.

Ответ: 2 часа 45 минут.

5.120 На парковке стояло 15 автомобилей. Из них 7 автомобилей - такси. Какую часть всех автомобилей составляли остальные машины?

1. Найдем количество машин, которые не являются такси.
Всего на парковке стояло 15 автомобилей. Известно, что 7 из них — такси. Чтобы найти количество остальных машин, нужно из общего числа автомобилей вычесть количество такси.

$15 - 7 = 8$ (автомобилей)

Таким образом, на парковке было 8 машин, не являющихся такси.

2. Определим, какую часть от всех автомобилей составляют остальные машины.
Чтобы найти, какую часть одно число составляет от другого, нужно составить дробь. В числитель дроби мы поставим количество "остальных" машин (это часть), а в знаменатель — общее количество автомобилей на парковке (это целое).

Часть = $\frac{\text{количество остальных машин}}{\text{общее количество автомобилей}} = \frac{8}{15}$

Эта дробь показывает, что остальные машины составляют 8 из 15 всех автомобилей.

Ответ: $\frac{8}{15}$

5.121 При чистке аквариума из него отлили 56 объёма воды. Сколько литров воды вмещает аквариум, если отлили 30 л?

Пусть $V$ — это полный объём аквариума в литрах.

Согласно условию задачи, из аквариума отлили $\frac{5}{6}$ его объёма, и этот объём составил 30 литров. Это можно записать в виде уравнения:
$\frac{5}{6} \cdot V = 30$

Чтобы найти полный объём $V$ (целое), необходимо известную часть (30 литров) разделить на дробь, которая выражает эту часть ($\frac{5}{6}$):
$V = 30 : \frac{5}{6}$

Деление на обыкновенную дробь равносильно умножению на обратную ей дробь (в данном случае на $\frac{6}{5}$):
$V = 30 \cdot \frac{6}{5}$

Выполним вычисление, предварительно сократив 30 и 5:
$V = \frac{30}{5} \cdot 6 = 6 \cdot 6 = 36$ (л)

Следовательно, полный объём аквариума составляет 36 литров.

Ответ: 36 литров.

5.122 Вычислите:

1) $(1\ 445\ 561 : 3587 - 208) \cdot 356 - 3580$

Решим по действиям. Сначала выполняем действия в скобках (деление, затем вычитание), потом умножение и в конце вычитание.

1. Деление в скобках:

$1\ 445\ 561 : 3587 = 403$

2. Вычитание в скобках:

$403 - 208 = 195$

3. Умножение:

$195 \cdot 356 = 69\ 420$

4. Вычитание:

$69\ 420 - 3580 = 65\ 840$

Таким образом, $(1\ 445\ 561 : 3587 - 208) \cdot 356 - 3580 = 65\ 840$.

Ответ: 65840.

2) $(1\ 420\ 288 : 4672 + 259) \cdot 234 - 1742$

Решим по действиям. Сначала выполняем действия в скобках (деление, затем сложение), потом умножение и в конце вычитание.

1. Деление в скобках:

$1\ 420\ 288 : 4672 = 304$

2. Сложение в скобках:

$304 + 259 = 563$

3. Умножение:

$563 \cdot 234 = 131\ 742$

4. Вычитание:

$131\ 742 - 1742 = 130\ 000$

Таким образом, $(1\ 420\ 288 : 4672 + 259) \cdot 234 - 1742 = 130\ 000$.

Ответ: 130000.

5.123 На координатной прямой с единичным отрезком, равным 22 клеткам, отметьте дроби:

$\frac{1}{11},$ $\frac{2}{11},$ $\frac{3}{11},$ $\frac{4}{11},$ $\frac{5}{11},$ $\frac{6}{11},$ $\frac{7}{11},$ $\frac{8}{11},$ $\frac{9}{11} \text{и} \frac{10}{11}.$

Для того чтобы отметить заданные дроби на координатной прямой, необходимо сначала определить, скольким клеткам будет соответствовать одна часть единичного отрезка.

По условию, единичный отрезок, то есть расстояние от 0 до 1, равен 22 клеткам. Все дроби, которые нужно отметить, имеют знаменатель 11. Это означает, что единичный отрезок следует разделить на 11 равных частей. Найдем длину одной такой части в клетках:
$22 \text{ клетки} \div 11 = 2 \text{ клетки}$.
Следовательно, каждая дробь вида $\frac{1}{11}$ соответствует отрезку длиной в 2 клетки на координатной прямой.

Теперь мы можем найти положение каждой дроби. Для этого нужно умножить числитель дроби на количество клеток, приходящихся на одну часть (т.е. на 2 клетки). Расстояние будем отсчитывать от точки 0.
- Дробь $\frac{1}{11}$ соответствует точке на расстоянии $1 \times 2 = 2$ клетки от 0.
- Дробь $\frac{2}{11}$ соответствует точке на расстоянии $2 \times 2 = 4$ клетки от 0.
- Дробь $\frac{3}{11}$ соответствует точке на расстоянии $3 \times 2 = 6$ клеток от 0.
- Дробь $\frac{4}{11}$ соответствует точке на расстоянии $4 \times 2 = 8$ клеток от 0.
- Дробь $\frac{5}{11}$ соответствует точке на расстоянии $5 \times 2 = 10$ клеток от 0.
- Дробь $\frac{6}{11}$ соответствует точке на расстоянии $6 \times 2 = 12$ клеток от 0.
- Дробь $\frac{7}{11}$ соответствует точке на расстоянии $7 \times 2 = 14$ клеток от 0.
- Дробь $\frac{8}{11}$ соответствует точке на расстоянии $8 \times 2 = 16$ клеток от 0.
- Дробь $\frac{9}{11}$ соответствует точке на расстоянии $9 \times 2 = 18$ клеток от 0.
- Дробь $\frac{10}{11}$ соответствует точке на расстоянии $10 \times 2 = 20$ клеток от 0.

Ответ: Для разметки прямой единичный отрезок в 22 клетки делится на 11 равных частей, каждая по $22 \div 11 = 2$ клетки. Точки, соответствующие дробям $\frac{1}{11}, \frac{2}{11}, \frac{3}{11}, \frac{4}{11}, \frac{5}{11}, \frac{6}{11}, \frac{7}{11}, \frac{8}{11}, \frac{9}{11}$ и $\frac{10}{11}$, следует отметить на расстоянии 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 и 20 клеток от начала координат (точки 0) соответственно.

5.124 Какой знак (< или >) надо поставить вместо знака вопроса, чтобы получилось верное неравенство:

а) Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить их числители. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше. В данном случае мы сравниваем дроби $\frac{3}{11}$ и $\frac{6}{11}$. Знаменатели у них одинаковые и равны 11. Сравниваем числители: 3 и 6. Так как $3 < 6$, то и дробь $\frac{3}{11}$ меньше дроби $\frac{6}{11}$.
Ответ: $\frac{3}{11} < \frac{6}{11}$

б) Сравниваем дроби $\frac{41}{208}$ и $\frac{31}{208}$. У этих дробей одинаковые знаменатели, равные 208. Применяем то же правило: сравниваем числители 41 и 31. Поскольку $41 > 31$, то дробь $\frac{41}{208}$ больше дроби $\frac{31}{208}$.
Ответ: $\frac{41}{208} > \frac{31}{208}$

в) Нужно сравнить дробь $\frac{17}{19}$ с нулём. Дробь, у которой числитель и знаменатель — положительные числа, является положительным числом. Любое положительное число всегда больше нуля. Следовательно, $\frac{17}{19}$ больше, чем 0.
Ответ: $\frac{17}{19} > 0$

г) Сравниваем два натуральных числа: 49 603 049 и 49 603 053. Сравнение многозначных чисел производится поразрядно, слева направо (начиная со старших разрядов). Сравниваем цифры в одинаковых разрядах:

• Разряды десятков миллионов: 4 = 4
• Разряды единиц миллионов: 9 = 9
• Разряды сотен тысяч: 6 = 6
• Разряды десятков тысяч: 0 = 0
• Разряды единиц тысяч: 3 = 3
• Разряды сотен: 0 = 0
• Разряды десятков: 4 и 5. Здесь мы находим первое различие.

Так как $4 < 5$, то и всё число 49 603 049 меньше, чем число 49 603 053.
Ответ: 49 603 049 < 49 603 053

5.125 Какую часть года составляют:

а) шесть месяцев;

б) квартал?

а) Чтобы найти, какую часть года составляют шесть месяцев, нужно составить дробь. В числителе будет указанное количество месяцев (6), а в знаменателе — общее количество месяцев в году (12).

Составим дробь и сократим её:

$$ \frac{6}{12} $$

Наибольший общий делитель для числителя и знаменателя равен 6. Разделим числитель и знаменатель на 6:

$$ \frac{6 \div 6}{12 \div 6} = \frac{1}{2} $$

Таким образом, шесть месяцев составляют половину года.

Ответ: $ \frac{1}{2} $

б) Квартал (от лат. quartus — «четвёртый») — это четверть года. В году 4 квартала. Чтобы узнать, сколько месяцев в одном квартале, нужно общее количество месяцев в году (12) разделить на 4:

$$ 12 \div 4 = 3 $$

В одном квартале 3 месяца.

Теперь, чтобы найти, какую часть года составляет квартал, составим дробь, где в числителе — количество месяцев в квартале (3), а в знаменателе — общее количество месяцев в году (12).

$$ \frac{3}{12} $$

Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 3:

$$ \frac{3 \div 3}{12 \div 3} = \frac{1}{4} $$

Следовательно, один квартал составляет одну четвертую часть года.

Ответ: $ \frac{1}{4} $

5.126 Масса арбуза 6 кг 300 г. Найдите массу:

а) 13 арбуза;

б) 35 арбуза;

в) 37 арбуза;

г) 67 арбуза.

$6\text{кг}300\text{г} = 6300\text{г}$

а) $6300 : 3 = 2100\text{г}$

$2100\text{г} = 2\text{кг}100\text{г}$

б) $6300 : 5 = 1260\text{(г) - масса 1 части}$

$\begin{array}{ll}6300& 5\\ \text{–}5& 1260\\ \text{—}& \\ 13& \\ \text{–}10& \\ \text{—}& \\ 30& \\ \text{–}30& \\ \text{—}& \\ 0& \end{array}$

$1260 · 3 = 3780\text{(г)}$

$3780\text{г} = 3\text{кг}780\text{г}$

в) $6300 : 7 = 900\text{(г) - масса 1 части}$

$900 · 3 = 2700\text{(г)}$

$2700\text{г} = 2\text{кг}700\text{г}$

г) $6300 : 7 = 900\text{(г) - масса 1 части}$

$900 · 6 = 5400\text{(г)}$

$5400\text{г} = 5\text{кг}400\text{г}$

Для решения задачи сперва необходимо перевести массу арбуза в одну единицу измерения, например, в граммы. Поскольку в 1 килограмме 1000 граммов, масса арбуза составляет:

$6 \text{ кг } 300 \text{ г } = 6 \times 1000 \text{ г } + 300 \text{ г } = 6300 \text{ г}$.

Теперь найдем массу каждой части арбуза.

а) Чтобы найти массу $\frac{1}{3}$ арбуза, нужно общую массу умножить на эту дробь:
$6300 \text{ г } \times \frac{1}{3} = \frac{6300}{3} \text{ г } = 2100 \text{ г}$.
Переведем полученное значение обратно в килограммы и граммы: $2100 \text{ г } = 2 \text{ кг } 100 \text{ г}$.
Ответ: 2 кг 100 г.

б) Чтобы найти массу $\frac{3}{5}$ арбуза, нужно общую массу разделить на знаменатель 5 и умножить на числитель 3:
$(6300 \text{ г } : 5) \times 3 = 1260 \text{ г } \times 3 = 3780 \text{ г}$.
Переведем полученное значение обратно в килограммы и граммы: $3780 \text{ г } = 3 \text{ кг } 780 \text{ г}$.
Ответ: 3 кг 780 г.

в) Чтобы найти массу $\frac{3}{7}$ арбуза, нужно общую массу разделить на знаменатель 7 и умножить на числитель 3:
$(6300 \text{ г } : 7) \times 3 = 900 \text{ г } \times 3 = 2700 \text{ г}$.
Переведем полученное значение обратно в килограммы и граммы: $2700 \text{ г } = 2 \text{ кг } 700 \text{ г}$.
Ответ: 2 кг 700 г.

г) Чтобы найти массу $\frac{6}{7}$ арбуза, нужно общую массу разделить на знаменатель 7 и умножить на числитель 6:
$(6300 \text{ г } : 7) \times 6 = 900 \text{ г } \times 6 = 5400 \text{ г}$.
Переведем полученное значение обратно в килограммы и граммы: $5400 \text{ г } = 5 \text{ кг } 400 \text{ г}$.
Ответ: 5 кг 400 г.

5.127 Цветники занимают 112 всего садового участка. Найдите площадь участка, если площадь земли, занимаемой цветниками, равна 80 м².

Так как площадь земли, занимаемой

цветниками, равна $80{\text{м}}^2$, а это $\frac{1}{12}$

всей площади участка, то

$80·12 = 960\left({\text{м}}^2\right)$ - площадь участка.

Ответ: $960{\text{м}}^2$

В данной задаче нам известна часть от целого и значение этой части. Нам нужно найти целое.

Из условия известно, что цветники занимают $\frac{1}{12}$ всего садового участка. Площадь, которую занимают цветники, равна 80 м?.

Пусть $S$ — это общая площадь всего садового участка. Тогда, согласно условию, мы можем составить следующее уравнение:

$\frac{1}{12} \times S = 80$ м?

Чтобы найти общую площадь участка $S$, нужно число (значение части) разделить на соответствующую ему дробь.

$S = 80 \div \frac{1}{12}$

Разделить число на дробь — это то же самое, что умножить это число на дробь, обратную делителю:

$S = 80 \times 12$

Выполним вычисление:

$80 \times 12 = 80 \times (10 + 2) = 80 \times 10 + 80 \times 2 = 800 + 160 = 960$

Следовательно, площадь всего садового участка составляет 960 м?.

Ответ: 960 м?.

5.128 Два всадника отправились из одного пункта одновременно в одном направлении. Скорость одного всадника 210 м/мин, а другого - 180 м/мин. Через сколько минут расстояние между всадниками станет равным 1500 м?

Для решения этой задачи необходимо определить, как быстро увеличивается расстояние между всадниками. Поскольку они движутся в одном направлении, но с разной скоростью, расстояние между ними будет увеличиваться со скоростью, равной разности их скоростей. Эта величина называется скоростью удаления.

Скорость первого всадника $v_1 = 210$ м/мин.

Скорость второго всадника $v_2 = 180$ м/мин.

1. Сначала найдем скорость удаления всадников. Она показывает, на сколько метров первый, более быстрый всадник, обгоняет второго за каждую минуту.

$v_{удаления} = v_1 - v_2 = 210 \text{ м/мин} - 180 \text{ м/мин} = 30 \text{ м/мин}.$

2. Теперь, зная, что каждую минуту расстояние между всадниками увеличивается на 30 метров, мы можем найти время $t$, через которое это расстояние станет равным 1500 м. Для этого нужно требуемое расстояние $S$ разделить на скорость удаления $v_{удаления}$.

$t = \frac{S}{v_{удаления}} = \frac{1500 \text{ м}}{30 \text{ м/мин}} = 50 \text{ минут}.$

Таким образом, через 50 минут первый всадник опередит второго на 1500 метров.

Ответ: расстояние между всадниками станет равным 1500 м через 50 минут.

5.129 Масса пачки пряников 175 г, а масса пачки сушек 280 г. Что легче:

а) 11 пачек пряников или 7 пачек сушек;

б) 17 пачек пряников или 11 пачек сушек?

а) $175 · 11 = 1925\left(\mathrm{г}\right)$ - масса 11 пачек пряников

$280 · 7 = 1960\left(\mathrm{г}\right)$ - масса 7 пачек сушек

$1925<1960$

Ответ: легче 11 пачек пряников

б) $175 · 17 = 2975\left(\mathrm{г}\right)$ - масса 17 пачек пряников

$280 · 11 = 3080\left(\mathrm{г}\right)$ - масса 11 пачек сушек

$2975<3080$

Ответ: легче 17 пачек пряников

Чтобы определить, что легче в каждом случае, необходимо рассчитать общую массу пряников и сушек, а затем сравнить их.

Исходные данные:
Масса одной пачки пряников — $175$ г.
Масса одной пачки сушек — $280$ г.

а) 11 пачек пряников или 7 пачек сушек;

1. Вычислим общую массу 11 пачек пряников:
$11 \times 175 = 1925$ г.

2. Вычислим общую массу 7 пачек сушек:
$7 \times 280 = 1960$ г.

3. Сравним полученные значения массы:
$1925 \text{ г} < 1960 \text{ г}$.
Следовательно, 11 пачек пряников легче, чем 7 пачек сушек.
Ответ: 11 пачек пряников легче.

б) 17 пачек пряников или 11 пачек сушек?

1. Вычислим общую массу 17 пачек пряников:
$17 \times 175 = 2975$ г.

2. Вычислим общую массу 11 пачек сушек:
$11 \times 280 = 3080$ г.

3. Сравним полученные значения массы:
$2975 \text{ г} < 3080 \text{ г}$.
Следовательно, 17 пачек пряников легче, чем 11 пачек сушек.
Ответ: 17 пачек пряников легче.

5.130 В контейнере помещается 840 г риса или 820 г гречки. Что тяжелее:

а) 2 контейнера риса или 3 контейнера гречки;

б) 9 контейнеров риса или 10 контейнеров гречки?

Для решения задачи воспользуемся данными из условия: масса риса в одном контейнере составляет 840 г, а масса гречки — 820 г.

а) 2 контейнера риса или 3 контейнера гречки;

Чтобы сравнить, что тяжелее, нужно найти массу каждого варианта.

1. Найдем массу двух контейнеров риса. Для этого умножим количество контейнеров на массу риса в одном контейнере:

$2 \times 840 \text{ г} = 1680 \text{ г}$

2. Найдем массу трех контейнеров гречки. Для этого умножим количество контейнеров на массу гречки в одном контейнере:

$3 \times 820 \text{ г} = 2460 \text{ г}$

3. Теперь сравним полученные массы:

$1680 \text{ г} < 2460 \text{ г}$

Масса трех контейнеров гречки больше массы двух контейнеров риса.

Ответ: 3 контейнера гречки тяжелее.

б) 9 контейнеров риса или 10 контейнеров гречки?

Действуем аналогично предыдущему пункту.

1. Найдем массу девяти контейнеров риса:

$9 \times 840 \text{ г} = 7560 \text{ г}$

2. Найдем массу десяти контейнеров гречки:

$10 \times 820 \text{ г} = 8200 \text{ г}$

3. Сравним полученные массы:

$7560 \text{ г} < 8200 \text{ г}$

Масса десяти контейнеров гречки больше массы девяти контейнеров риса.

Ответ: 10 контейнеров гречки тяжелее.