Страница 28, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

?

Назовите начало отсчёта и единичный отрезок на координатной прямой (рис. 1.29).

Какую координату имеют точки D, К, R (рис. 1.29)?

Каким числам соответствуют точки L, С, Y (рис. 1.29)?

Приведите примеры приборов со шкалами.

Приборы со шкалами — это измерительные инструменты, которые имеют градуированную шкалу для определения значения измеряемой величины. Шкала представляет собой ряд отметок (делений) и соответствующих им числовых значений. Вот несколько примеров таких приборов:

• Линейка или рулетка используются для измерения длины. Их шкалы нанесены в сантиметрах, миллиметрах или дюймах.
• Термометр (градусник) предназначен для измерения температуры. Его шкала может быть в градусах Цельсия ($°C$), Фаренгейта ($°F$) или в кельвинах ($K$).
• Весы служат для измерения массы. Шкала на механических весах может быть в граммах ($г$), килограммах ($кг$) или тоннах ($т$).
• Часы с аналоговым циферблатом — это прибор для измерения времени, где шкала разделена на часы, минуты и секунды.
• Спидометр в автомобиле показывает скорость движения, его шкала обычно в километрах в час ($км/ч$) или милях в час ($mph$).

Ответ: линейка, термометр, весы, часы, спидометр.

Сколько килограммов в одном центнере; одной тонне?

Центнер и тонна являются внесистемными единицами измерения массы, которые широко используются в сельском хозяйстве и промышленности. Они определяются через основную единицу массы в системе СИ — килограмм.

Один центнер равен 100 килограммам.

$1 \text{ центнер (ц)} = 100 \text{ кг}$

Одна тонна равна 1000 килограммов.

$1 \text{ тонна (т)} = 1000 \text{ кг}$

Ответ: в одном центнере 100 килограммов; в одной тонне 1000 килограммов.

Назовите начало отсчёта и единичный отрезок на координатной прямой (рис. 1.29).

На координатной прямой начало отсчёта — это точка, которой соответствует число 0. На рисунке 1.29 это точка $O$.

Единичный отрезок — это отрезок, длина которого принимается за единицу измерения. На данной координатной прямой это расстояние между двумя соседними целыми числами, например, между 0 и 1, или между 1 и 2. На рисунке 1.29 единичным отрезком является отрезок $OE$.

Ответ: начало отсчёта — точка $O$; единичный отрезок — отрезок $OE$.

Какую координату имеют точки D, K, R (рис. 1.29)?

Координата точки на прямой — это число, которое соответствует этой точке. Чтобы найти координату точки, нужно посмотреть, на какой отметке шкалы она находится.

• Точка $D$ расположена на отметке 3. Следовательно, её координата равна 3. Записывается как $D(3)$.
• Точка $K$ расположена на отметке 6. Следовательно, её координата равна 6. Записывается как $K(6)$.
• Точка $R$ расположена на отметке 7. Следовательно, её координата равна 7. Записывается как $R(7)$.

Ответ: точка $D$ имеет координату 3, точка $K$ — координату 6, точка $R$ — координату 7.

Каким числам соответствуют точки L, C, Y (рис. 1.29)?

Чтобы определить, какому числу соответствует точка на координатной прямой, нужно найти это число на шкале.

• Точка $L$ находится на отметке 2.
• Точка $C$ находится на отметке 5.
• Точка $Y$ находится на следующей целой отметке после точки $R(7)$. Поскольку деления на шкале идут последовательно (0, 1, 2, 3, ...), следующая отметка после 7 соответствует числу 8.

Ответ: точка $L$ соответствует числу 2, точка $C$ — числу 5, точка $Y$ — числу 8.

1.126 Назовите температуру на каждом термометре (рис. 1.30). Какую температуру покажут эти термометры, если их столбики:

а) поднимутся на 7 делений;

б) опустятся на 2 деления;

в) поднимутся на 4 деления;

г) опустятся на 7 делений;

д) поднимутся на 7 делений, потом опустятся на 5 делений?

I: 26°C
а) 26 + 7 = 33°C
б) 26 - 2 = 24°C
в) 26 + 4 = 30°C
г) 26 - 7 = 19°C
д) (26 + 7) - 5 = 33 - 5 = 28°C

II: 25°C
а) 25 + 7 = 32°C
б) 25 - 2 = 23°C
в) 25 + 4 = 29°C
г) 25 - 7 = 18°C
д) (25 + 7) - 5 = 32 - 5 = 27°C

III: 10°C
а) 10 + 7 = 17°C
б) 10 - 2 = 8°C
в) 10 + 4 = 14°C
г) 10 - 7 = 3°C
д) (10 + 7) - 5 = 17 - 5 = 12°C

IV: 34°C
а) 34 + 7 = 41°C
б) 34 - 2 = 32°C
в) 34 + 4 = 38°C
г) 34 - 7 = 27°C
д) (34 + 7) - 5 = 41 - 5 = 36°C

5.147 а) Найдите сумму 56 числа 72 и 29 числа 72.

б) Найдите разность 23 числа 60 и 25 числа 40.

в) Найдите произведение 34 числа 56 и 43 числа 36.

г) Найдите частное 58 числа 64 и 25 числа 25.

а) Чтобы найти сумму, сначала вычислим каждое слагаемое отдельно. Это действие называется "нахождение дроби от числа" и выполняется умножением.

1. Найдем $\frac{5}{6}$ от числа 72:

$\frac{5}{6} \cdot 72 = \frac{5 \cdot 72}{6} = 5 \cdot 12 = 60$

2. Найдем $\frac{2}{9}$ от числа 72:

$\frac{2}{9} \cdot 72 = \frac{2 \cdot 72}{9} = 2 \cdot 8 = 16$

3. Теперь сложим полученные значения:

$60 + 16 = 76$

Ответ: 76

б) Чтобы найти разность, сначала вычислим уменьшаемое и вычитаемое.

1. Найдем $\frac{2}{3}$ от числа 60:

$\frac{2}{3} \cdot 60 = \frac{2 \cdot 60}{3} = 2 \cdot 20 = 40$

2. Найдем $\frac{2}{5}$ от числа 40:

$\frac{2}{5} \cdot 40 = \frac{2 \cdot 40}{5} = 2 \cdot 8 = 16$

3. Теперь найдем разность полученных значений:

$40 - 16 = 24$

Ответ: 24

в) Чтобы найти произведение, сначала вычислим каждый множитель.

1. Найдем $\frac{3}{4}$ от числа 56:

$\frac{3}{4} \cdot 56 = \frac{3 \cdot 56}{4} = 3 \cdot 14 = 42$

2. Найдем $\frac{4}{3}$ от числа 36:

$\frac{4}{3} \cdot 36 = \frac{4 \cdot 36}{3} = 4 \cdot 12 = 48$

3. Теперь перемножим полученные значения:

$42 \cdot 48 = 2016$

Ответ: 2016

г) Чтобы найти частное, сначала вычислим делимое и делитель.

1. Найдем делимое, которое равно $\frac{5}{8}$ от числа 64:

$\frac{5}{8} \cdot 64 = \frac{5 \cdot 64}{8} = 5 \cdot 8 = 40$

2. Найдем делитель, который равен $\frac{2}{5}$ от числа 25:

$\frac{2}{5} \cdot 25 = \frac{2 \cdot 25}{5} = 2 \cdot 5 = 10$

3. Теперь разделим первое значение на второе:

$40 \div 10 = 4$

Ответ: 4

5.148 Найдите число, если:

а) четверть числа равна 17;

б) треть числа равна 23;

в) три четверти числа равны 45;

г) две трети числа равны 48.

а) $\frac{1}{4}$ числа равна 17

?

17

$17·4 = 68$

б) $\frac{1}{3}$ числа равна 23

?

23

$23·3 = 69$

в) $\frac{3}{4}$ числа равна 45

?

45

$45 : 3·4 = 15·4 = 60$

г) $\frac{2}{3}$ числа равна 48

?

48

$48 : 2·3 = 24·3 = 72$

а) Четверть числа — это одна из четырех равных частей целого. Если одна такая часть равна 17, то чтобы найти целое число, нужно значение этой части умножить на 4.
$17 \cdot 4 = 68$
Ответ: 68

б) Треть числа — это одна из трех равных частей целого. Если одна такая часть равна 23, то чтобы найти целое число, нужно значение этой части умножить на 3.
$23 \cdot 3 = 69$
Ответ: 69

в) По условию, три четверти числа равны 45. Это означает, что три части из четырех составляют 45. Чтобы найти величину одной части (одной четверти), нужно 45 разделить на 3.
$45 \div 3 = 15$
Целое число состоит из четырех таких частей. Следовательно, чтобы найти число, нужно 15 умножить на 4.
$15 \cdot 4 = 60$
Ответ: 60

г) По условию, две трети числа равны 48. Это означает, что две части из трех составляют 48. Чтобы найти величину одной части (одной трети), нужно 48 разделить на 2.
$48 \div 2 = 24$
Целое число состоит из трех таких частей. Следовательно, чтобы найти число, нужно 24 умножить на 3.
$24 \cdot 3 = 72$
Ответ: 72

5.149 Какая часть четырёхугольника MNKH (рис. 5.37) закрашена? Какая часть - не закрашена?

Чтобы ответить на вопросы, необходимо определить, на сколько равных частей разделён четырёхугольник MNKH, а затем подсчитать, сколько из этих частей закрашены и сколько остались незакрашенными.

При рассмотрении рисунка можно увидеть, что вся фигура MNKH разделена на 8 маленьких треугольников. Визуально все эти треугольники имеют одинаковую площадь, поэтому мы можем считать их равными долями всей фигуры.

Какая часть четырёхугольника MNKH закрашена?

Сначала подсчитаем количество закрашенных (фиолетовых) треугольников. На рисунке их 4.

Общее количество равных треугольников в фигуре — 8.

Часть, которую составляют закрашенные треугольники от всей фигуры, можно выразить дробью, где в числителе — количество закрашенных частей, а в знаменателе — общее количество частей:

$$ \frac{4}{8} $$

Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 4:

$$ \frac{4 \div 4}{8 \div 4} = \frac{1}{2} $$

Следовательно, закрашена половина четырёхугольника.

Ответ: Закрашена $ \frac{1}{2} $ часть четырёхугольника.

Какая часть — не закрашена?

Теперь подсчитаем количество незакрашенных (белых) треугольников. Их также 4.

Часть, которую составляют незакрашенные треугольники от всей фигуры, можно найти аналогичным образом:

$$ \frac{4}{8} $$

Сократив дробь, мы получаем тот же результат:

$$ \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $$

Это означает, что незакрашенной также осталась половина фигуры. Этот результат можно было получить, вычтя из целого (1) закрашенную часть: $ 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $.

Ответ: Не закрашена $ \frac{1}{2} $ часть четырёхугольника.

5.150 Выразите в метрах:

а) 5 км 200 м; б) 3 км 20 м; в) 1 км 5 м; г) 13 км; д) 1 000 км 1 м.

а) $5\text{ км }200\text{ м} = 5200\text{ м}$

б) $3\text{ км }20\text{ м} = 3020\text{ м}$

в) $1\text{ км }5\text{ м} = 1005\text{ м}$

г) $13\text{ км} = 13000\text{ м}$

д) $1000\text{ км }1\text{ м} = 1000001\text{ м}$

Для решения этой задачи необходимо вспомнить соотношение между километрами (км) и метрами (м):

$1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$

Чтобы выразить заданные значения в метрах, нужно количество километров умножить на 1000 и прибавить к результату оставшиеся метры.

а) 5 км 200 м

1. Переводим километры в метры:
$5 \text{ км} = 5 \times 1000 \text{ м} = 5000 \text{ м}$

2. Складываем полученное значение с оставшимися метрами:
$5000 \text{ м} + 200 \text{ м} = 5200 \text{ м}$

Ответ: 5200 м.

б) 3 км 20 м

1. Переводим километры в метры:
$3 \text{ км} = 3 \times 1000 \text{ м} = 3000 \text{ м}$

2. Складываем с оставшимися метрами:
$3000 \text{ м} + 20 \text{ м} = 3020 \text{ м}$

Ответ: 3020 м.

в) 1 км 5 м

1. Переводим километры в метры:
$1 \text{ км} = 1 \times 1000 \text{ м} = 1000 \text{ м}$

2. Складываем с оставшимися метрами:
$1000 \text{ м} + 5 \text{ м} = 1005 \text{ м}$

Ответ: 1005 м.

г) 13 км

1. В этом случае нужно просто перевести километры в метры, так как остатка в метрах нет:
$13 \text{ км} = 13 \times 1000 \text{ м} = 13000 \text{ м}$

Ответ: 13000 м.

д) 1000 км 1 м

1. Переводим километры в метры:
$1000 \text{ км} = 1000 \times 1000 \text{ м} = 1000000 \text{ м}$

2. Складываем с оставшимся метром:
$1000000 \text{ м} + 1 \text{ м} = 1000001 \text{ м}$

Ответ: 1000001 м.

5.151 Расположите дроби 1213, 413, 213, 1013, 913, 813 и 713 в порядке:

а) возрастания;

б) убывания.

а) возрастания;

Чтобы расположить дроби с одинаковыми знаменателями в порядке возрастания, необходимо сравнить их числители. Та дробь будет меньше, у которой числитель меньше.

Даны дроби: $\frac{12}{13}, \frac{4}{13}, \frac{2}{13}, \frac{10}{13}, \frac{9}{13}, \frac{8}{13}, \frac{7}{13}$.

Сравним их числители: $12, 4, 2, 10, 9, 8, 7$.

Расположим числители в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему): $2 < 4 < 7 < 8 < 9 < 10 < 12$.

Соответственно, дроби в порядке возрастания будут располагаться так же.

Ответ: $\frac{2}{13}, \frac{4}{13}, \frac{7}{13}, \frac{8}{13}, \frac{9}{13}, \frac{10}{13}, \frac{12}{13}$.

б) убывания;

Чтобы расположить дроби с одинаковыми знаменателями в порядке убывания, необходимо сравнить их числители. Та дробь будет больше, у которой числитель больше.

Расположим числители в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему): $12 > 10 > 9 > 8 > 7 > 4 > 2$.

Соответственно, дроби в порядке убывания будут располагаться так же.

Ответ: $\frac{12}{13}, \frac{10}{13}, \frac{9}{13}, \frac{8}{13}, \frac{7}{13}, \frac{4}{13}, \frac{2}{13}$.

5.152 Запишите пять дробей, которые:

а) меньше 11000

б) больше 11000

Разделим целое на 10 равных долей и возьмём одну долю. Это значит, что взяли $\frac{1}{10}$ часть от целого.

Разделим это же целое на 5 равных долей и возьмём одну долю. Это значит, что взяли $\frac{1}{5}$ часть от целого.

На рисунке видно, что $\frac{1}{10}<\frac{1}{5}$

Вывод: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше, и меньше та дробь, у которой знаменатель больше.

Таким образом,

а) дроби, которые меньше $\frac{1}{1000}$ имеют знаменатель больше, чем 1000.

$\frac{1}{1001};\frac{1}{1002};\frac{1}{1003};\frac{1}{1004};\frac{1}{1005}$

б) Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше. Запишем дроби, которые больше $\frac{1}{1000}$

$\frac{2}{1000};\frac{3}{1000};\frac{4}{1000};\frac{5}{1000};\frac{9}{1000}$

а)

Чтобы найти дроби, которые меньше дроби $\frac{1}{1000}$, можно воспользоваться правилом сравнения дробей с одинаковыми числителями: из двух дробей с одинаковыми положительными числителями меньше та, у которой знаменатель больше.

Следовательно, нам нужно выбрать дроби, у которых числитель равен 1, а знаменатель — любое число, большее 1000. Таких дробей бесконечно много. В качестве примера запишем пять таких дробей:

$\frac{1}{1001}, \frac{1}{1002}, \frac{1}{2000}, \frac{1}{5000}, \frac{1}{10000}$

Каждая из этих дробей меньше $\frac{1}{1000}$, потому что их знаменатели (1001, 1002, 2000, 5000, 10000) больше, чем 1000.

Ответ: $\frac{1}{1001}, \frac{1}{1002}, \frac{1}{2000}, \frac{1}{5000}, \frac{1}{10000}$.

б)

Чтобы найти дроби, которые больше дроби $\frac{1}{1000}$, можно использовать два основных подхода.

Первый подход: оставить числитель равным 1, а знаменатель сделать меньше 1000 (но больше 0). Согласно правилу сравнения дробей с одинаковыми числителями, из двух дробей больше та, у которой знаменатель меньше.

Второй подход: оставить знаменатель равным 1000, а числитель сделать больше 1. Согласно правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, из двух дробей больше та, у которой числитель больше.

Воспользуемся первым подходом и выберем пять дробей с числителем 1 и знаменателем меньше 1000:

$\frac{1}{999}, \frac{1}{500}, \frac{1}{100}, \frac{1}{10}, \frac{1}{2}$

Каждая из этих дробей больше $\frac{1}{1000}$, потому что их знаменатели (999, 500, 100, 10, 2) меньше, чем 1000.

Ответ: $\frac{1}{999}, \frac{1}{500}, \frac{1}{100}, \frac{1}{10}, \frac{1}{2}$.

5.153 Построите квадрат, сторона которого равна 6 клеткам. Покажите: 1036 квадрата; 518 квадрата. Сравните площади этих частей квадрата. Объясните полученный результат.

Сначала построим квадрат со стороной 6 клеток и вычислим его площадь. Площадь квадрата ($S$) определяется по формуле $S = a^2$, где $a$ — это длина стороны.

В нашем задании $a = 6$ клеток. Следовательно, площадь квадрата составляет:

$S = 6^2 = 36$ квадратных клеток.

Весь квадрат состоит из 36 маленьких клеток.

Покажите: $\frac{10}{36}$ квадрата

Чтобы определить, сколько клеток составляет $\frac{10}{36}$ от всего квадрата, нужно умножить общую площадь (36 клеток) на эту дробь.

Площадь первой части: $36 \times \frac{10}{36} = 10$ клеток.

Для наглядного представления этой части на квадрате 6x6, следует закрасить любые 10 клеток из 36.

Ответ: Часть квадрата, соответствующая дроби $\frac{10}{36}$, равна 10 клеткам.

Покажите: $\frac{5}{18}$ квадрата

Аналогично вычислим, сколько клеток составляет $\frac{5}{18}$ от всего квадрата.

Площадь второй части: $36 \times \frac{5}{18} = \frac{36 \times 5}{18} = 2 \times 5 = 10$ клеток.

Эта часть также равна 10 клеткам, которые можно закрасить на квадрате.

Ответ: Часть квадрата, соответствующая дроби $\frac{5}{18}$, равна 10 клеткам.

Сравните площади этих частей квадрата. Объясните полученный результат.

Сравним полученные площади:

Площадь первой части ($\frac{10}{36}$ квадрата) — 10 клеток.

Площадь второй части ($\frac{5}{18}$ квадрата) — 10 клеток.

Вывод: площади этих двух частей равны.

Объяснение результата заключается в том, что дроби, которые определяют эти части, равны между собой. Чтобы это доказать, выполним сокращение дроби $\frac{10}{36}$.

Разделим числитель и знаменатель дроби $\frac{10}{36}$ на их наибольший общий делитель, который равен 2:

$\frac{10}{36} = \frac{10 \div 2}{36 \div 2} = \frac{5}{18}$

Поскольку $\frac{10}{36} = \frac{5}{18}$, то и части, взятые от одной и той же величины (площади квадрата), равны.

Ответ: Площади частей равны (10 клеток), потому что дроби $\frac{10}{36}$ и $\frac{5}{18}$ являются равными.

5.154 За сезон с первого поля собрали в 2 раза больше клубники, чем со второго, а с третьего - на 6 т больше, чем со второго. Сколько тонн клубники собрали с каждого поля, если общий урожай составил 54 т?

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение. Пусть $x$ тонн — количество клубники, которое собрали со второго поля.

Исходя из условий задачи, выразим урожай с других полей через $x$:
С первого поля собрали в 2 раза больше, чем со второго, то есть $2x$ тонн.
С третьего поля собрали на 6 тонн больше, чем со второго, то есть $x + 6$ тонн.

Общий урожай с трех полей равен 54 тоннам. Сложим урожай с каждого поля и приравняем к общему количеству:

$2x + x + (x + 6) = 54$

Теперь решим полученное уравнение:

$4x + 6 = 54$

$4x = 54 - 6$

$4x = 48$

$x = \frac{48}{4}$

$x = 12$

Мы нашли, что $x = 12$. Теперь определим, сколько тонн клубники было собрано с каждого поля.

С первого поля:
Было собрано $2x = 2 \cdot 12 = 24$ тонны.
Ответ: 24 тонны.

Со второго поля:
Было собрано $x = 12$ тонн.
Ответ: 12 тонн.

С третьего поля:
Было собрано $x + 6 = 12 + 6 = 18$ тонн.
Ответ: 18 тонн.

5.155 Составьте условие задачи по уравнению:

а) (x + 12) - 2 = 25;

б) 2(m - 6) = 28;

в) 5(25 + n) + 25 = 225.

а) $(x + 12) - 2 = 25$

На остановке в автобус вошло 12 человек, а вышло 2. Сколько человек было в автобусе до остановки, если после остановки их стало 25?

б) $2(m - 6) = 28$

Маша задумала число, вычла из него 6, полученный результат удвоила и получила 28. Какое число задумала Маша?

в) $5(25 + n) + 25 = 225$

Цена альбома повысилась на 25р. Купили 5 альбомов и краски за 25р. За всю покупку заплатили 225р. Сколько стоил альбом до подорожания?

а) Условие задачи: В школьной столовой на подносе лежали пирожки. Повар добавил на поднос еще 12 пирожков, а затем ученик взял 2 пирожка. После этого на подносе осталось 25 пирожков. Сколько пирожков было на подносе первоначально?

Решение:

Пусть $x$ — это первоначальное количество пирожков на подносе. Согласно условию, после добавления 12 пирожков их стало $x + 12$. Когда ученик взял 2 пирожка, их количество стало $(x + 12) - 2$. Так как в итоге осталось 25 пирожков, мы можем составить следующее уравнение:

$(x + 12) - 2 = 25$

Для решения раскроем скобки:

$x + 12 - 2 = 25$

Выполним вычитание в левой части уравнения:

$x + 10 = 25$

Чтобы найти $x$, перенесем 10 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$x = 25 - 10$

$x = 15$

Ответ: первоначально на подносе было 15 пирожков.

б) Условие задачи: У двух сестер было одинаковое количество денег. Каждая из них купила по журналу за 6 рублей. После покупки у них вместе осталось 28 рублей. Сколько денег было у каждой сестры первоначально?

Решение:

Пусть $m$ — это количество денег, которое было у каждой сестры. После покупки журнала у каждой осталось $m - 6$ рублей. У обеих сестер вместе осталось $2 \cdot (m - 6)$ рублей. По условию, эта сумма равна 28 рублям. Составим и решим уравнение:

$2(m - 6) = 28$

Разделим обе части уравнения на 2:

$m - 6 = \frac{28}{2}$

$m - 6 = 14$

Чтобы найти $m$, перенесем -6 в правую часть с противоположным знаком:

$m = 14 + 6$

$m = 20$

Ответ: у каждой сестры первоначально было 20 рублей.

в) Условие задачи: Для украшения зала купили 5 одинаковых гирлянд. Каждая гирлянда состоит из 25 красных и $n$ синих лампочек. Также купили еще одну упаковку с 25 желтыми лампочками. Всего было куплено 225 лампочек. Сколько синих лампочек в каждой гирлянде?

Решение:

Пусть $n$ — это количество синих лампочек в одной гирлянде. Тогда общее количество лампочек в одной гирлянде равно $25 + n$. В пяти таких гирляндах будет $5(25 + n)$ лампочек. С учетом дополнительных 25 желтых лампочек общее количество составит $5(25 + n) + 25$. По условию задачи, всего 225 лампочек. Составим и решим уравнение:

$5(25 + n) + 25 = 225$

Перенесем 25 из левой части в правую с противоположным знаком:

$5(25 + n) = 225 - 25$

$5(25 + n) = 200$

Разделим обе части уравнения на 5:

$25 + n = \frac{200}{5}$

$25 + n = 40$

Чтобы найти $n$, перенесем 25 в правую часть с противоположным знаком:

$n = 40 - 25$

$n = 15$

Ответ: в каждой гирлянде 15 синих лампочек.

5.156 В первом букете а цветов, а во втором - b цветов. Из первого букета вынули r цветов, а из второго - z цветов.

а) Какой смысл имеют выражения:

б) Объясните, почему

Проверьте это равенство при a = 69, b = 27, r = 48, z = 13.

в) Используя равенство из пункта б), выполните действия:

(437 + 789) - (337 + 239);

(741 + 289) - (231 + 59).

I - a - r

II - b - z

а) $a + b$ - сколько цветов было в двух букетах первоначально.

$a - b$ - на сколько больше цветов было в I букете, чем во II.

$r + z$ - сколько цветов вынули из двух букетов.

$r - z$ - на сколько больше цветов вынули из первого букета, чем из второго.

$(a + b) - (r + z)$ - сколько всего цветов осталось в двух букетах.

$(a - r) + (b - z)$ - сколько всего цветов осталось в двух букетах.

б) Используя свойство вычитания суммы из числа, получим

$(a + b) - (r + z) = (a + b - r) - z$

Используя свойство вычитания числа из суммы

$(a + b - r) - z = (a - r) + (b - z)$

С другой стороны,

$(a + b) - (r + z) = (a - r) + (b - z)$, так как они оба показывают сколько всего цветов осталось в двух букетах.

при $a = 69,b = 27,r = 48,z = 13$

$(69 + 27) - (48 + 13) = (69 - 48) + (27 - 13)$

$\begin{array}{rr} + & 69\\ & 27\\ & 96\end{array}\begin{array}{rr} + & 48\\ & 13\\ & 61\end{array}\begin{array}{rr} - & 96\\ & 61\\ & 35\end{array}\begin{array}{rr} - & 69\\ & 48\\ & 21\end{array}\begin{array}{rr} - & 27\\ & 13\\ & 14\end{array}\begin{array}{rr} + & 21\\ & 14\\ & 35\end{array}$

$96 - 61 = 21 + 14$

$35 = 35$ - верно

в) $(437 + 789) - (337 + 239) =$

$= (437 - 337) + (789 - 239) = 100 + 550 =$

$= 650$

$(741 + 289) - (231 + 59) = (741 - 231) +$

$+ (289 - 59) = 510 + 230 = 740$

Выражение $a + b$ означает общее количество цветов в двух букетах изначально.

Выражение $a - b$ означает, на сколько цветов в первом букете больше, чем во втором (имеет смысл, если $a \ge b$).

Выражение $r + z$ означает общее количество цветов, которое вынули из обоих букетов.

Выражение $r - z$ означает, на сколько больше цветов вынули из первого букета, чем из второго (имеет смысл, если $r \ge z$).

Выражение $(a + b) - (r + z)$ означает общее количество цветов, оставшихся в двух букетах. Это результат вычитания общего количества вынутых цветов из общего начального количества.

Выражение $(a - r) + (b - z)$ также означает общее количество оставшихся цветов. Это результат сложения цветов, оставшихся в каждом букете по отдельности.

Объяснение равенства $(a + b) - (r + z) = (a - r) + (b - z)$:

С точки зрения логики задачи, обе части равенства вычисляют одну и ту же величину — общее количество цветов, оставшихся в двух букетах.
Левая часть $(a + b) - (r + z)$ — это разность между общим числом цветов вначале и общим числом вынутых цветов.
Правая часть $(a - r) + (b - z)$ — это сумма цветов, оставшихся в первом букете, и цветов, оставшихся во втором букете.
Поскольку оба способа подсчета приводят к одному и тому же результату, выражения равны.

С точки зрения алгебры, можно раскрыть скобки в левой части, используя правило вычитания суммы:
$(a + b) - (r + z) = a + b - r - z$.
Далее, используя переместительное и сочетательное свойства сложения, можно перегруппировать члены:
$a + b - r - z = (a - r) + (b - z)$.
Это доказывает тождество. Условия $a > r$ и $b > z$ гарантируют, что количество оставшихся цветов в каждом букете является положительным числом.

Проверим это равенство при $a = 69, b = 27, r = 48, z = 13$.

Левая часть:
$(a + b) - (r + z) = (69 + 27) - (48 + 13) = 96 - 61 = 35$.

Правая часть:
$(a - r) + (b - z) = (69 - 48) + (27 - 13) = 21 + 14 = 35$.

Так как $35 = 35$, равенство подтверждается.

Ответ: При подстановке указанных значений обе части равенства равны 35, что подтверждает его верность.

Используя свойство вычитания суммы из суммы $(a + b) - (r + z) = (a - r) + (b - z)$, выполним вычисления:

1) $(437 + 789) - (337 + 239) = (437 - 337) + (789 - 239) = 100 + 550 = 650$.

2) $(741 + 289) - (231 + 59) = (741 - 231) + (289 - 59) = 510 + 230 = 740$.

Ответ: 650; 740.