Страница 35, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1.171 Отметьте на координатной прямой все натуральные числа, которые:

а) меньше 7;

б) меньше 15, но больше 9.

а) меньше 7;

Натуральные числа — это числа, которые используются при счете: 1, 2, 3, 4 и так далее. Нам необходимо найти все натуральные числа, которые удовлетворяют условию "меньше 7". Математически это записывается в виде неравенства $x < 7$, где $x$ — натуральное число.

Этому условию соответствуют следующие натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

На координатной прямой эти числа будут расположены между 0 и 7. Чтобы их отметить, нужно нарисовать прямую с началом отсчета (0) и единичным отрезком, а затем выделить точки, соответствующие найденным числам.

Ниже приведена координатная прямая с отмеченными числами (выделены синими точками).

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

б) меньше 15, но больше 9;

В этом случае нам нужно найти все натуральные числа, которые одновременно удовлетворяют двум условиям: они должны быть меньше 15 и больше 9. Это можно записать в виде двойного неравенства: $9 < x < 15$, где $x$ — натуральное число.

Этому условию соответствуют натуральные числа, которые находятся строго между 9 и 15: 10, 11, 12, 13, 14.

На координатной прямой нужно выделить точки, соответствующие этим числам.

Ниже приведена координатная прямая с отмеченными числами (выделены синими точками).

Ответ: 10, 11, 12, 13, 14.

1.172 Какое число задумала Лена, если оно оканчивается цифрой 5 и больше 355, но меньше 370?

355 < 365 < 370

Пусть искомое число — это $x$. По условию задачи, оно должно удовлетворять трём требованиям.

1. Число оканчивается на цифру 5.

2. Число больше 355. В виде неравенства это записывается как $x > 355$.

3. Число меньше 370. В виде неравенства это записывается как $x < 370$.

Объединим второе и третье условия в одно двойное неравенство. Искомое число $x$ должно быть строго между 355 и 370:

$355 < x < 370$

Теперь нам нужно найти в этом интервале число, которое удовлетворяет первому условию, то есть оканчивается на цифру 5. Выпишем все целые числа от 356 до 369 и найдём среди них нужное:

356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369.

Единственное число в этом списке, которое оканчивается на 5, — это 365. Оно удовлетворяет всем условиям задачи: оно больше 355, меньше 370 и оканчивается на 5.

Ответ: 365

1.173 В таблице указано расстояние от Москвы по прямой до некоторых городов. Назовите расстояния от Москвы до этих городов в порядке:

а) уменьшения;

б) увеличения.

а) уменьшения;

Для того чтобы расположить расстояния от Москвы до указанных городов в порядке уменьшения, необходимо сравнить числовые значения этих расстояний и расположить их от самого большого к самому маленькому.
Выпишем данные из таблицы:Смоленск – 369 км, Тула – 173 км, Липецк – 372 км, Владивосток – 6417 км, Курск – 457 км, Новосибирск – 2811 км.
Сравним эти значения и упорядочим их по убыванию:$6417 > 2811 > 457 > 372 > 369 > 173$.
Эта последовательность чисел соответствует следующему порядку городов: Владивосток, Новосибирск, Курск, Липецк, Смоленск, Тула.

Ответ: Владивосток (6417 км), Новосибирск (2811 км), Курск (457 км), Липецк (372 км), Смоленск (369 км), Тула (173 км).

б) увеличения.

Чтобы расположить расстояния в порядке увеличения, необходимо выполнить те же действия, но в обратном порядке: от наименьшего значения к наибольшему. Этот порядок будет обратным тому, что был найден в пункте а).
Сравним значения и упорядочим их по возрастанию:$173 < 369 < 372 < 457 < 2811 < 6417$.
Эта последовательность чисел соответствует следующему порядку городов: Тула, Смоленск, Липецк, Курск, Новосибирск, Владивосток.

Ответ: Тула (173 км), Смоленск (369 км), Липецк (372 км), Курск (457 км), Новосибирск (2811 км), Владивосток (6417 км).

1.174 Правильно ли записаны равенства и неравенства:

а) 896 - 269 = 227;

б) 67 • 45 = 2875;

в) 32 • 55 = 7040;

г) 1001 : 13 = 100 - 23;

д) 24 • 26 < 630;

е) 1551 : 47 > 35?

а) 896 - 269 = 227 - неверно

б) 67 · 45 = 2875 - невверно

в) 32 · 55 = 7040 - неверно

г) 1001 : 13 = 100 - 23 - верно

д) 24 · 26 < 630 - верно

624 < 630

е) 1551 : 47 > 35 - неврно

33 > 35 - неверно

а) Чтобы проверить правильность равенства $896 - 269 = 227$, выполним вычитание.
$896 - 269 = 627$.
Поскольку $627 \neq 227$, равенство записано неверно.
Ответ: неправильно.

б) Проверим равенство $67 \cdot 45 = 2875$, выполнив умножение.
$67 \cdot 45 = 67 \cdot (40 + 5) = 67 \cdot 40 + 67 \cdot 5 = 2680 + 335 = 3015$.
Поскольку $3015 \neq 2875$, равенство записано неверно.
Ответ: неправильно.

в) Проверим равенство $32 \cdot 55 = 7040$, выполнив умножение.
$32 \cdot 55 = 32 \cdot (50 + 5) = 32 \cdot 50 + 32 \cdot 5 = 1600 + 160 = 1760$.
Поскольку $1760 \neq 7040$, равенство записано неверно.
Ответ: неправильно.

г) Проверим равенство $1001 : 13 = 100 - 23$. Для этого вычислим значения левой и правой частей.
Левая часть: $1001 : 13 = 77$.
Правая часть: $100 - 23 = 77$.
Поскольку $77 = 77$, левая и правая части равны. Равенство записано верно.
Ответ: правильно.

д) Проверим неравенство $24 \cdot 26 < 680$. Сначала вычислим произведение.
$24 \cdot 26 = 624$.
Теперь сравним результат с числом 680: $624 < 680$.
Неравенство является верным.
Ответ: правильно.

е) Проверим неравенство $1551 : 47 > 35$. Сначала выполним деление.
$1551 : 47 = 33$.
Теперь подставим результат в неравенство: $33 > 35$.
Это утверждение ложно, так как 33 меньше 35. Неравенство записано неверно.
Ответ: неправильно.

1.175 Используя циркуль-измеритель, сравните отрезки (рис. 1.37). Запишите эти отрезки в порядке убывания их длины.

EF, OP, CD, AB, KL.

Для сравнения длин отрезков, изображенных на рисунке, и их упорядочивания по убыванию длины, необходимо использовать циркуль-измеритель. Процесс сравнения заключается в последовательном сопоставлении длин отрезков.

1. Сначала выберем один из отрезков в качестве эталона, например, самый длинный на вид отрезок — $EF$. Установим ножки циркуля на его концы E и F.

2. Не меняя раствора циркуля, сравним его с остальными отрезками. Прикладывая одну ножку циркуля к одному из концов каждого отрезка, мы увидим, что вторая ножка выходит за пределы другого конца. Это показывает, что отрезок $EF$ длиннее всех остальных отрезков.

3. Теперь из оставшихся отрезков ($CD$, $OP$, $AB$, $KL$) выберем следующий для сравнения, например, $CD$. Установим раствор циркуля по длине отрезка $CD$. Сравнивая его с отрезками $OP$, $AB$ и $KL$, мы обнаружим, что $CD$ длиннее каждого из них. Таким образом, $CD$ — второй по длине отрезок.

4. Продолжим сравнение для оставшихся отрезков: $OP$, $AB$ и $KL$. Установим раствор циркуля по длине отрезка $OP$. Сравнение покажет, что отрезок $OP$ длиннее отрезков $AB$ и $KL$.

5. Наконец, сравним два последних отрезка: $AB$ и $KL$. Установив раствор циркуля по длине отрезка $AB$, мы увидим, что он длиннее отрезка $KL$.

Таким образом, мы установили следующий порядок длин отрезков от наибольшего к наименьшему: $EF > CD > OP > AB > KL$.

Ответ: $EF, CD, OP, AB, KL$.

1.176 Точка К лежит на отрезке MN между точками М и N, а точка S — между точками М и К. Какой отрезок короче:

a) MN или KS;

б) MS или МК;

в) KS или КМ?

а) KS короче MN;
б) MS короче MK;
в) KS короче KM.

Для решения этой задачи воспользуемся аксиомой измерения отрезков. Если точка лежит на отрезке между его концами, то длина всего отрезка равна сумме длин частей, на которые он делится этой точкой. Длина любой части отрезка меньше длины всего отрезка.

По условию, точка K лежит на отрезке MN. Это значит, что отрезок MN состоит из двух частей: MK и KN. Таким образом, длина отрезка MN равна сумме длин отрезков MK и KN:

$MN = MK + KN$

Из этого следует, что отрезок MK короче отрезка MN ($MK < MN$), и отрезок KN короче отрезка MN ($KN < MN$).

Также по условию, точка S лежит на отрезке MK. Это значит, что отрезок MK состоит из двух частей: MS и SK. Таким образом, длина отрезка MK равна сумме длин отрезков MS и SK:

$MK = MS + SK$

Из этого следует, что отрезок MS короче отрезка MK ($MS < MK$), и отрезок SK короче отрезка MK ($SK < MK$).

Точки на прямой располагаются в последовательности M, S, K, N.

а) MN или KS

Мы знаем, что $MN = MK + KN$. Также мы знаем, что $MK > KS$. Заменим в первом равенстве $MK$ на $KS$ и учтем, что $MK = MS + KS$. $MN = (MS + KS) + KN = MS + KS + KN$. Поскольку длины отрезков $MS$ и $KN$ являются положительными числами, то очевидно, что $MN > KS$. Следовательно, отрезок KS короче, чем MN.
Ответ: KS.

б) MS или MK

По условию, точка S лежит между точками M и K. Это означает, что отрезок MS является частью отрезка MK. Длина отрезка MK равна сумме длин отрезков MS и SK: $MK = MS + SK$. Так как длина отрезка $SK$ положительна, то $MK > MS$. Следовательно, отрезок MS короче, чем MK.
Ответ: MS.

в) KS или KM

Отрезок KM — это тот же самый отрезок, что и MK. Как было установлено ранее, точка S лежит на отрезке MK (или KM), поэтому $KM = KS + SM$. Так как длина отрезка $SM$ положительна, то $KM > KS$. Следовательно, отрезок KS короче, чем KM.
Ответ: KS.

1.177 Вычислите.

а)
$51 + 27 = 78$
$44 + 36 = 80$
$86 + 16 = 102$
$74 + 29 = 103$
$38 + 24 = 62$
Ответ: 78; 80; 102; 103; 62.

б)
$31 - 13 = 18$
$46 - 23 = 23$
$33 - 18 = 15$
$74 - 37 = 37$
$43 - 24 = 19$
Ответ: 18; 23; 15; 37; 19.

в)
$21 \cdot 4 = 84$
$49 \cdot 0 = 0$
$17 \cdot 2 = 34$
$15 \cdot 8 = 120$
$39 \cdot 1 = 39$
Ответ: 84; 0; 34; 120; 39.

г)
$560 : 8 = 70$
$200 : 5 = 40$
$490 : 7 = 70$
$720 : 9 = 80$
$700 : 1 = 700$
Ответ: 70; 40; 70; 80; 700.

1.178 На луче АВ отложите отрезки AM, МК, KD и DH, длины которых равны 1 см

а) На этом луче возможно отложить 100 таких отрезков?

б) Чему равна длина отрезков АК, AD и АН?

AN = MK = KD = DH = 1 см

а) Возможно отложить 100 таких отрезков;

а) Да, на луче возможно отложить 100 таких отрезков. Луч представляет собой часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца, то есть он бесконечен в одном направлении. Поскольку луч обладает свойством бесконечности, на нем можно последовательно отложить любое конечное число отрезков заданной длины. В данном случае, 100 отрезков по 1 см займут общую длину $100 \times 1 \text{ см} = 100 \text{ см}$. Эта длина является конечной, поэтому она легко умещается на бесконечном луче.
Ответ: Да, возможно.

б) Согласно условию задачи, на луче $AB$ от его начала (точки $A$) последовательно отложены отрезки $AM$, $MK$, $KD$ и $DH$. Длина каждого из этих отрезков составляет 1 см. Точки на луче располагаются в следующем порядке: A, M, K, D, H. Чтобы найти длину отрезка, начинающегося в точке A и заканчивающегося в другой точке на луче, нужно сложить длины всех промежуточных отрезков.
1. Найдем длину отрезка $AK$. Он состоит из двух последовательных отрезков: $AM$ и $MK$.
$AK = AM + MK = 1 \text{ см} + 1 \text{ см} = 2 \text{ см}$.
2. Найдем длину отрезка $AD$. Он состоит из трех последовательных отрезков: $AM$, $MK$ и $KD$. Также можно сказать, что $AD = AK + KD$.
$AD = AM + MK + KD = 1 \text{ см} + 1 \text{ см} + 1 \text{ см} = 3 \text{ см}$.
3. Найдем длину отрезка $AH$. Он состоит из четырех последовательных отрезков: $AM$, $MK$, $KD$ и $DH$. Также можно сказать, что $AH = AD + DH$.
$AH = AM + MK + KD + DH = 1 \text{ см} + 1 \text{ см} + 1 \text{ см} + 1 \text{ см} = 4 \text{ см}$.
Ответ: Длина отрезка $AK$ равна 2 см, длина отрезка $AD$ равна 3 см, длина отрезка $AH$ равна 4 см.

1.179 Назовите наименьшее число и наибольшее число среди:

а) двузначных чисел;

б) шестизначных чисел.

а) двузначных чисел;

Двузначные числа — это целые числа, для записи которых используются две цифры. Они находятся в диапазоне от 10 до 99 включительно.

Чтобы найти наименьшее двузначное число, нужно, чтобы цифра в старшем разряде (десятков) была минимально возможной, но не равной нулю. Такой цифрой является 1. Цифра в младшем разряде (единиц) должна быть минимально возможной, то есть 0. Таким образом, наименьшее двузначное число — это 10.

Чтобы найти наибольшее двузначное число, нужно, чтобы цифры в обоих разрядах были максимально возможными. Наибольшая цифра — это 9. Следовательно, наибольшее двузначное число состоит из двух девяток — это 99.

Ответ: наименьшее число — 10, наибольшее число — 99.

б) шестизначных чисел.

Шестизначные числа — это целые числа, для записи которых используются шесть цифр.

Для нахождения наименьшего шестизначного числа, самая левая (старшая) цифра должна быть наименьшей возможной, но не нулем, то есть 1. Все остальные пять цифр должны быть наименьшими возможными, то есть 0. Таким образом, наименьшее шестизначное число — это 100 000.

Для нахождения наибольшего шестизначного числа, все шесть цифр должны быть наибольшими возможными. Наибольшая цифра — это 9. Следовательно, наибольшее шестизначное число состоит из шести девяток — это 999 999.

Ответ: наименьшее число — 100 000, наибольшее число — 999 999.

1.180 Заполните таблицу.

72 : 9 = 8
6 · 8 = 48
64 : 32 = 2
120 · 10 = 1200
33 : 3 = 11
13 = 39 : 3
8 = 64 : 8
700 = 100 · 7

5.198 На одну новогоднюю маску было израсходовано 825 м ткани, а на другую — 725 м ткани.

а) Сколько ткани было израсходовано на обе маски?

б) На сколько метров больше ткани было израсходовано на первую маску, чем на вторую?

I - $\frac{8}{25}$ м

II - $\frac{7}{25}$ м

а) $\frac{8}{25} + \frac{7}{25} = \frac{8 + 7}{25} = \frac{15}{25}\text{м}$ ткани

израсходовано на обе маски

б) $\frac{8}{25} - \frac{7}{25} = \frac{8 - 7}{25} = \frac{1}{25}\text{м}$

Ответ: а) $\frac{15}{25}$ м; б) на $\frac{1}{25}$ м

а) Сколько ткани было израсходовано на обе маски?

Для того чтобы найти, сколько всего ткани было израсходовано на обе маски, необходимо сложить количество ткани, которое ушло на каждую маску. Согласно условию, на первую маску ушло $ \frac{8}{25} $ м ткани, а на вторую — $ \frac{7}{25} $ м.

Выполним сложение дробей. Так как у них одинаковый знаменатель, нужно просто сложить их числители:

$ \frac{8}{25} + \frac{7}{25} = \frac{8+7}{25} = \frac{15}{25} $ м.

Полученную дробь $ \frac{15}{25} $ можно сократить. Наибольший общий делитель для числителя 15 и знаменателя 25 равен 5. Разделим числитель и знаменатель на 5:

$ \frac{15 \div 5}{25 \div 5} = \frac{3}{5} $ м.

Ответ: на обе маски было израсходовано $ \frac{3}{5} $ м ткани.

б) На сколько метров больше ткани было израсходовано на первую маску, чем на вторую?

Чтобы узнать, на сколько метров ткани больше ушло на первую маску по сравнению со второй, необходимо найти разность между количеством ткани, израсходованным на первую маску ($ \frac{8}{25} $ м), и количеством, израсходованным на вторую ($ \frac{7}{25} $ м).

Выполним вычитание дробей. Так как знаменатели одинаковы, вычитаем числители:

$ \frac{8}{25} - \frac{7}{25} = \frac{8-7}{25} = \frac{1}{25} $ м.

Ответ: на первую маску было израсходовано на $ \frac{1}{25} $ м ткани больше, чем на вторую.

5.199 Найдите сумму или разность:

а) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.
$ \frac{3}{13} + \frac{5}{13} = \frac{3 + 5}{13} = \frac{8}{13} $
Ответ: $ \frac{8}{13} $

б) Складываем числители дробей, так как знаменатели у них одинаковые. Знаменатель суммы будет таким же.
$ \frac{1}{6} + \frac{4}{6} = \frac{1 + 4}{6} = \frac{5}{6} $
Ответ: $ \frac{5}{6} $

в) Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменений.
$ \frac{6}{17} - \frac{3}{17} = \frac{6 - 3}{17} = \frac{3}{17} $
Ответ: $ \frac{3}{17} $

г) Вычитаем числители дробей, так как знаменатели у них одинаковые. Знаменатель разности будет таким же.
$ \frac{13}{35} - \frac{7}{35} = \frac{13 - 7}{35} = \frac{6}{35} $
Ответ: $ \frac{6}{35} $

5.200 Вычислите:

а) Чтобы сложить или вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, необходимо выполнить соответствующие действия с их числителями, а знаменатель оставить без изменений. В данном примере все дроби имеют знаменатель 13.
$\frac{5}{13} + \frac{2}{13} - \frac{4}{13} = \frac{5+2-4}{13}$
Выполним действия в числителе:
$5 + 2 = 7$
$7 - 4 = 3$
Таким образом, получаем:
$\frac{3}{13}$
Эта дробь является несократимой, так как у числителя 3 и знаменателя 13 нет общих делителей, кроме 1.
Ответ: $\frac{3}{13}$

б) Все дроби в этом выражении имеют одинаковый знаменатель 21. Сложим и вычтем их числители.
$\frac{7}{21} + \frac{12}{21} - \frac{9}{21} = \frac{7+12-9}{21}$
Выполним действия в числителе по порядку:
$7 + 12 = 19$
$19 - 9 = 10$
В результате получаем дробь:
$\frac{10}{21}$
Проверим, можно ли сократить эту дробь. У числителя 10 и знаменателя 21 нет общих делителей, кроме единицы, поэтому дробь несократимая.
Ответ: $\frac{10}{21}$

в) В данном примере знаменатели всех дробей равны 22. Выполним вычитание числителей.
$\frac{12}{22} - \frac{5}{22} - \frac{5}{22} = \frac{12-5-5}{22}$
Вычислим значение числителя:
$12 - 5 = 7$
$7 - 5 = 2$
Получилась дробь $\frac{2}{22}$.
Эту дробь можно сократить, так как и числитель (2), и знаменатель (22) делятся на 2.
$\frac{2 \div 2}{22 \div 2} = \frac{1}{11}$
Ответ: $\frac{1}{11}$

г) Знаменатели всех дробей в выражении равны 53. Выполним действия с числителями, оставляя знаменатель прежним.
$\frac{25}{53} - \frac{10}{53} + \frac{3}{53} = \frac{25-10+3}{53}$
Выполним вычисления в числителе:
$25 - 10 = 15$
$15 + 3 = 18$
В результате получаем дробь:
$\frac{18}{53}$
Число 53 является простым, оно делится только на 1 и на себя. Числитель 18 не делится на 53. Следовательно, данная дробь несократимая.
Ответ: $\frac{18}{53}$

5.201 Найдите корень уравнения:

а) $\frac{19}{30}-x=\frac{14}{30}-\frac{3}{30};$

б) $\frac{18}{25}-\frac{7}{25}+y=\frac{14}{25}.$

а) Исходное уравнение: $\frac{19}{30} - x = \frac{14}{30} - \frac{3}{30}$.
Сначала выполним действие в правой части уравнения. Так как знаменатели дробей одинаковы, вычитаем их числители:
$\frac{14}{30} - \frac{3}{30} = \frac{14 - 3}{30} = \frac{11}{30}$.
Теперь уравнение имеет вид:
$\frac{19}{30} - x = \frac{11}{30}$.
В этом уравнении $x$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого ($\frac{19}{30}$) вычесть разность ($\frac{11}{30}$):
$x = \frac{19}{30} - \frac{11}{30}$.
Выполним вычитание:
$x = \frac{19 - 11}{30} = \frac{8}{30}$.
Полученную дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:
$x = \frac{8 \div 2}{30 \div 2} = \frac{4}{15}$.
Ответ: $\frac{4}{15}$.

б) Исходное уравнение: $\frac{18}{25} - \frac{7}{25} + y = \frac{14}{25}$.
Сначала упростим левую часть уравнения, выполнив вычитание дробей с одинаковым знаменателем:
$\frac{18}{25} - \frac{7}{25} = \frac{18 - 7}{25} = \frac{11}{25}$.
Теперь уравнение выглядит так:
$\frac{11}{25} + y = \frac{14}{25}$.
В этом уравнении $y$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы ($\frac{14}{25}$) вычесть известное слагаемое ($\frac{11}{25}$):
$y = \frac{14}{25} - \frac{11}{25}$.
Выполним вычитание:
$y = \frac{14 - 11}{25} = \frac{3}{25}$.
Эта дробь является несократимой.
Ответ: $\frac{3}{25}$.

5.202 При подготовке к контрольной работе Андрей планировал решить 32 упражнения. В первый день он решил 516 всех упражнений, а во второй — 616 всех упражнений. Сколько упражнений он решил за два дня?

Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1. Пошаговое вычисление

1. Сначала определим, сколько упражнений Андрей решил в первый день. Для этого общее количество упражнений (32) умножим на часть, выполненную в первый день ($\frac{5}{16}$):

$32 \times \frac{5}{16} = \frac{32 \cdot 5}{16} = 2 \cdot 5 = 10$ (упражнений)

2. Затем определим, сколько упражнений он решил во второй день. Умножим общее количество упражнений на часть, выполненную во второй день ($\frac{6}{16}$):

$32 \times \frac{6}{16} = \frac{32 \cdot 6}{16} = 2 \cdot 6 = 12$ (упражнений)

3. Наконец, сложим количество упражнений, решенных за первый и второй день, чтобы найти общее количество:

$10 + 12 = 22$ (упражнения)

Ответ: за два дня Андрей решил 22 упражнения.

Способ 2. Сложение долей

1. Сначала найдем, какую общую часть упражнений Андрей решил за два дня. Для этого сложим доли за первый и второй день:

$\frac{5}{16} + \frac{6}{16} = \frac{5+6}{16} = \frac{11}{16}$ (всех упражнений)

2. Теперь найдем, сколько упражнений составляет эта общая часть от всего запланированного количества. Умножим общее количество упражнений на найденную долю:

$32 \times \frac{11}{16} = \frac{32 \cdot 11}{16} = 2 \cdot 11 = 22$ (упражнения)

Ответ: за два дня Андрей решил 22 упражнения.

5.203 От города до посёлка Поленово 32 км. Из них $\frac{3}{16}$ всего пути надо пройти пешком, а остальной путь можно проехать на автобусе (рис. 5.43). Сколько километров можно проехать на автобусе?

Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Способ 1. Найти расстояние, которое нужно пройти пешком, и вычесть его из общего расстояния.

1. Сначала найдём, какое расстояние нужно пройти пешком. В условии сказано, что это $\frac{3}{16}$ от всего пути, который составляет 32 км. Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить это число на дробь:

$32 \cdot \frac{3}{16} = \frac{32 \cdot 3}{16} = \frac{96}{16} = 6$ км.

Таким образом, 6 км нужно пройти пешком.

2. Теперь, чтобы найти оставшийся путь, который можно проехать на автобусе, вычтем из общего расстояния то расстояние, которое нужно пройти пешком:

$32 - 6 = 26$ км.

Ответ: 26 километров можно проехать на автобусе.

Способ 2. Найти, какую часть пути можно проехать на автобусе, и вычислить это расстояние в километрах.

1. Весь путь примем за единицу (1). Если пешком нужно пройти $\frac{3}{16}$ пути, то на автобусе можно проехать оставшуюся часть. Вычтем из единицы часть пути, которую нужно пройти пешком:

$1 - \frac{3}{16} = \frac{16}{16} - \frac{3}{16} = \frac{16-3}{16} = \frac{13}{16}$.

Следовательно, на автобусе можно проехать $\frac{13}{16}$ всего пути.

2. Теперь вычислим, сколько километров составляет эта часть пути. Умножим общее расстояние (32 км) на найденную дробь:

$32 \cdot \frac{13}{16} = \frac{32 \cdot 13}{16} = 2 \cdot 13 = 26$ км.

Ответ: 26 километров можно проехать на автобусе.

5.204 Из 12 дней зимних каникул Ярослав 5 дней посещал музеи. Какую часть каникул Ярослав посещал музеи?

Чтобы определить, какую часть от общего времени каникул Ярослав посещал музеи, необходимо составить дробь. Знаменателем этой дроби будет общее количество дней каникул, а числителем — количество дней, которые Ярослав провел в музеях.

Общее количество дней каникул — 12.

Количество дней, проведенных в музеях — 5.

Таким образом, искомая часть каникул выражается следующей дробью: $$ \frac{\text{дни посещения музеев}}{\text{все дни каникул}} = \frac{5}{12} $$

Дробь $ \frac{5}{12} $ является несократимой, так как числитель 5 и знаменатель 12 не имеют общих делителей, кроме 1.

Ответ: $ \frac{5}{12} $

5.205 Сколько надо взять молока для изготовления 15 кг масла, если масса масла составляет 120 массы использованного молока?

Для решения этой задачи необходимо найти целое по его части.

Пусть $x$ – это масса молока, которую необходимо взять. Согласно условию задачи, масса масла составляет $\frac{1}{20}$ от массы молока. Масса масла равна 15 кг.

Это можно выразить следующей формулой:

$15 = \frac{1}{20} \cdot x$

Чтобы найти $x$, нужно известную массу масла (часть) разделить на долю, которую она составляет от общей массы молока (целого). Это эквивалентно умножению массы масла на знаменатель дроби:

$x = 15 \div \frac{1}{20} = 15 \cdot 20$

Выполним вычисление:

$15 \cdot 20 = 300$ кг

Таким образом, для изготовления 15 кг масла потребуется 300 кг молока.

Ответ: 300 кг.

5.206 С трёх участков собрали 1280 кг клубники. С первых двух собрали 925 кг, причём со второго участка собрали на 119 кг больше, чем с третьего. Сколько клубники собрали с каждого участка?

Для решения задачи последовательно найдем количество клубники, собранное с каждого участка.

1. Вычислим, сколько клубники собрали с третьего участка. Для этого из общего урожая с трех участков вычтем урожай с первых двух участков:

$1280 - 925 = 355$ кг.

Итак, с третьего участка собрали 355 кг клубники.

2. Теперь найдем, сколько клубники собрали со второго участка. В условии сказано, что со второго участка собрали на 119 кг больше, чем с третьего:

$355 + 119 = 474$ кг.

Таким образом, со второго участка собрали 474 кг клубники.

3. Наконец, определим, сколько клубники собрали с первого участка. Мы знаем, что с первого и второго участков вместе собрали 925 кг. Вычтем из этого числа количество, собранное со второго участка:

$925 - 474 = 451$ кг.

Следовательно, с первого участка собрали 451 кг клубники.

Проведем проверку, сложив полученные значения: $451 + 474 + 355 = 1280$ кг. Общее количество совпадает с условием задачи.

Ответ: с первого участка собрали 451 кг, со второго участка — 474 кг, с третьего участка — 355 кг.

5.207 Во время учений группа десантников 2 ч передвигалась на вертолёте, скорость которого 280 км/ч, и в течение 5 ч совершала марш-бросок. С какой скоростью передвигалась группа во время марш-броска, если всего она преодолела 600 км?

Для решения этой задачи необходимо выполнить последовательно несколько шагов. Сначала вычислим расстояние, которое десантники преодолели на вертолете, затем найдем расстояние, которое они прошли во время марш-броска, и в конце рассчитаем их скорость на этом участке пути.

1. Найдем расстояние, которое группа пролетела на вертолете.

Для этого используем формулу расстояния: $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время.

Скорость вертолета ($v_{вертолета}$) равна 280 км/ч, а время в пути ($t_{вертолета}$) — 2 ч.

Подставим значения в формулу:

$S_{вертолета} = 280 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 560 \text{ км}$.

2. Найдем расстояние, которое группа прошла во время марш-броска.

Общее расстояние ($S_{общ}$), которое преодолела группа, составляет 600 км. Это расстояние является суммой пути, проделанного на вертолете, и пути, пройденного во время марш-броска ($S_{марш-броска}$).

Чтобы найти расстояние марш-броска, вычтем из общего расстояния путь, пройденный на вертолете:

$S_{марш-броска} = S_{общ} - S_{вертолета} = 600 \text{ км} - 560 \text{ км} = 40 \text{ км}$.

3. Найдем скорость группы во время марш-броска.

Теперь мы знаем расстояние марш-броска ($S_{марш-броска} = 40$ км) и время, затраченное на него ($t_{марш-броска} = 5$ ч). Чтобы найти скорость ($v_{марш-броска}$), используем ту же формулу, выразив из нее скорость:

$v = S / t$

Подставим известные значения:

$v_{марш-броска} = 40 \text{ км} / 5 \text{ ч} = 8 \text{ км/ч}$.

Ответ: 8 км/ч.

5.208 Найдите значение выражения:

Для выражения а) составьте алгоритм и схему вычисления.

а) $87\,619 + 57\,994 : 271 - 15\,975 : 75$

Для нахождения значения выражения необходимо соблюдать правильный порядок действий. Сначала выполняются операции деления (слева направо), а затем — сложение и вычитание (также слева направо).

Выполним вычисления по действиям:

1. Выполним первое деление: $57\,994 : 271 = 214$.
2. Выполним второе деление: $15\,975 : 75 = 213$.
3. Теперь выражение выглядит так: $87\,619 + 214 - 213$. Выполним сложение: $87\,619 + 214 = 87\,833$.
4. Завершим вычисление, выполнив вычитание: $87\,833 - 213 = 87\,620$.

Алгоритм вычисления:

1. Найти частное от деления числа $57\,994$ на $271$.
2. Найти частное от деления числа $15\,975$ на $75$.
3. К числу $87\,619$ прибавить результат, полученный в первом действии.
4. Из результата, полученного в третьем действии, вычесть результат, полученный во втором действии.

Схема вычисления:

Схема показывает последовательность выполнения операций, где числа над знаками указывают порядок действий:

$87\,619 \overset{3}{+} 57\,994 \overset{1}{:} 271 \overset{4}{-} 15\,975 \overset{2}{:} 75$

Результаты по шагам:

1. $57\,994 : 271 = 214$
2. $15\,975 : 75 = 213$
3. $87\,619 + 214 = 87\,833$
4. $87\,833 - 213 = 87\,620$

Ответ: 87620.

б) $532 \cdot 109 - 48\,016 + 13\,631 : 43$

Соблюдаем порядок действий: сначала выполняются умножение и деление (слева направо), а затем вычитание и сложение (в порядке их следования).

Выполним вычисления по действиям:

1. Выполним умножение: $532 \cdot 109 = 57\,988$.
2. Выполним деление: $13\,631 : 43 = 317$.
3. Теперь выражение имеет вид: $57\,988 - 48\,016 + 317$. Выполним вычитание: $57\,988 - 48\,016 = 9\,972$.
4. Выполним сложение: $9\,972 + 317 = 10\,289$.

Ответ: 10289.