Страница 34, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

?

Что значит сравнить два различных натуральных числа?

Сравнить два различных натуральных числа, значит, определить какое из чисел меньше, а какое – больше.

Какое из натуральных чисел наименьшее?

Наименьшее натуральное число – это единица.

Какое число из двух расположено правее на координатной прямой?

На координатной прямой точка с большей координатой расположена правее точки с меньшей координатой.

Как называется запись сравнения чисел с помощью знаков > и <?

Запись сравнения чисел с помощью знаков > и < называется неравенством.

Какое число меньше любого натурального числа?

Число 0 меньше любого натурального числа.

Какое число больше – двузначное или четырёхзначное?

Четырёхзначное число больше, так как в записи этого числа больше цифр.

Как определить, какое из натуральных чисел с одинаковым количеством знаков больше?

Если в записи чисел одинаковое число цифр, больше то число, у которого больше цифра наивысшего (первого слева в записи числа) разряда. Если цифры наивысшего разряда чисел одинаковые, то больше число, у которого больше цифра следующего разряда, и т. д.

Что значит сравнить два различных натуральных числа? Сравнить два различных натуральных числа — значит определить, какое из них больше, а какое меньше, то есть установить между ними отношение порядка. Например, при сравнении чисел 7 и 12 мы устанавливаем, что 7 меньше 12, что записывается как $7 < 12$, или что 12 больше 7, что записывается как $12 > 7$.
Ответ: Определить, какое из них больше, а какое меньше.

Какое из натуральных чисел наименьшее? Натуральные числа — это числа, которые используются при счете предметов: 1, 2, 3, 4 и так далее. Самым первым и, следовательно, наименьшим в этом ряду является число 1. Множество натуральных чисел имеет наименьший элемент, но не имеет наибольшего.
Ответ: 1.

Какое число из двух расположено правее на координатной прямой? На стандартной горизонтальной координатной (числовой) прямой числа располагаются в порядке возрастания слева направо. Поэтому из двух различных чисел правее всегда будет расположено то, которое больше. Например, в паре чисел 5 и 9, число 9 больше, чем 5 ($9 > 5$), и на координатной прямой оно находится правее.
Ответ: Большее число.

Как называется запись сравнения чисел с помощью знаков > и <? Запись, которая показывает результат сравнения двух чисел или математических выражений с использованием знаков «больше» ($>$) или «меньше» ($<$), называется строгим неравенством. В общем случае любые записи с такими знаками, а также знаками $\ge$ (больше или равно) и $\le$ (меньше или равно), называются неравенствами.
Ответ: Неравенство (или строгое неравенство).

Какое число меньше любого натурального числа? По стандартному определению, натуральные числа — это целые положительные числа, то есть $1, 2, 3, ...$. Число 0 не является натуральным, но оно меньше любого натурального числа, так как $0 < 1$.
Ответ: 0.

Какое число больше — двузначное или четырёхзначное? При сравнении двух натуральных чисел, у которых разное количество цифр (знаков), большим всегда является то число, у которого цифр больше. Двузначное число содержит две цифры (например, 56), а четырёхзначное — четыре (например, 3481). Так как 4 > 2, любое четырёхзначное число всегда будет больше любого двузначного. Например, самое маленькое четырёхзначное число 1000 больше самого большого двузначного числа 99.
Ответ: Четырёхзначное.

Как определить, какое из натуральных чисел с одинаковым количеством знаков больше? Если у двух натуральных чисел одинаковое количество знаков, то для их сравнения нужно поразрядно сравнивать их цифры, двигаясь слева направо (от старших разрядов к младшим). Большим будет то число, у которого первая несовпавшая цифра (считая слева) окажется больше. Например, сравним числа 845 и 839. Первая цифра слева (разряд сотен) у них одинаковая: 8. Вторая цифра (разряд десятков) разная: у первого числа это 4, а у второго 3. Так как $4 > 3$, то и число $845 > 839$.
Ответ: Сравнивать их цифры по разрядам слева направо; больше то число, у которого первая отличающаяся цифра больше.

1.163 Какая из точек М и N лежит правее на координатной прямой:

а) M(1) или N(6);

б) M(28) или N(38);

в) M(1) или N(О);

г) M(41) или N(13);

д) M(423) или N(432);

е) M(583) или N(539)?

а) N(6);
б) N(38);
в) M(1);
г) M(41);
д) N(432);
е) M(583).

На координатной прямой правее расположена та точка, координата которой больше. Чтобы определить, какая из двух точек, M или N, лежит правее, необходимо сравнить их координаты.

а) Сравниваем координаты точек M(1) и N(6).
Поскольку $6 > 1$, координата точки N больше координаты точки M. Следовательно, точка N лежит правее.

Ответ: N(6).

б) Сравниваем координаты точек M(28) и N(38).
Поскольку $38 > 28$, координата точки N больше координаты точки M. Следовательно, точка N лежит правее.

Ответ: N(38).

в) Сравниваем координаты точек M(1) и N(0).
Поскольку $1 > 0$, координата точки M больше координаты точки N. Следовательно, точка M лежит правее.

Ответ: M(1).

г) Сравниваем координаты точек M(41) и N(13).
Поскольку $41 > 13$, координата точки M больше координаты точки N. Следовательно, точка M лежит правее.

Ответ: M(41).

д) Сравниваем координаты точек M(423) и N(432).
Поскольку $432 > 423$, координата точки N больше координаты точки M. Следовательно, точка N лежит правее.

Ответ: N(432).

е) Сравниваем координаты точек M(583) и N(539).
Поскольку $583 > 539$, координата точки M больше координаты точки N. Следовательно, точка M лежит правее.

Ответ: M(583).

1.164 Какая из точек Р и Q лежит левее на координатной прямой:

а) P(3) или Q(2);

б) P(21) или Q(27);

в) P(75) или Q(57);

г) P(143) или Q(243);

д) P(203) или Q(230);

е) P(2990) или Q(2989)?

а) Q(2);
б) P(21);
в) Q(57);
г) P(143);
д) P(203);
е) P(2989).

Чтобы определить, какая из двух точек лежит левее на координатной прямой, необходимо сравнить их координаты. Точка с меньшей координатой всегда находится левее точки с большей координатой.

а) P(3) или Q(2);

Сравниваем координаты данных точек: координата точки P равна 3, а координата точки Q равна 2.

Так как $2 < 3$, точка Q(2) лежит левее точки P(3).

Ответ: Q(2).

б) P(21) или Q(27);

Сравниваем координаты данных точек: координата точки P равна 21, а координата точки Q равна 27.

Так как $21 < 27$, точка P(21) лежит левее точки Q(27).

Ответ: P(21).

в) P(75) или Q(57);

Сравниваем координаты данных точек: координата точки P равна 75, а координата точки Q равна 57.

Так как $57 < 75$, точка Q(57) лежит левее точки P(75).

Ответ: Q(57).

г) P(143) или Q(243);

Сравниваем координаты данных точек: координата точки P равна 143, а координата точки Q равна 243.

Так как $143 < 243$, точка P(143) лежит левее точки Q(243).

Ответ: P(143).

д) P(203) или Q(230);

Сравниваем координаты данных точек: координата точки P равна 203, а координата точки Q равна 230.

Так как $203 < 230$, точка P(203) лежит левее точки Q(230).

Ответ: P(203).

е) P(2990) или Q(2989)?

Сравниваем координаты данных точек: координата точки P равна 2990, а координата точки Q равна 2989.

Так как $2989 < 2990$, точка Q(2989) лежит левее точки P(2990).

Ответ: Q(2989).

1.165 Запишите с помощью знака >, какое из чисел больше:

Прочитайте получившиеся неравенства.

а) 21 > 0;
б) 38 > 17;
в) 231 > 213;
г) 22383 > 22369
д) 3249005 > 3249002;
е) 5343974215 > 5342974215.

а) двадцать один больше нуля;
б) тридцать восемь больше семнадцати;
в) двести тридцать один больше двести тринадцати;
г) двадцать две тысячи триста восемьдесят три больше двадцати двух тысяч триста шестидесяти девяти;
д) три миллиона двести сорок девять тысяч пять больше трёх миллионов двести сорока девяти тысяч двух;
е) пять миллиордов триста сорок три миллиона девятьсот семьдесят четыре тысячи двести пятнадцать больше миллиардов триста сорока двух миллионов семидесяти пяти тысяч двести пятнадцати.

Для того чтобы определить, какое из двух натуральных чисел больше, необходимо сравнить их поразрядно, начиная со старшего разряда (самого левого). То число будет больше, у которого цифра в старшем из несовпадающих разрядов больше. Если у чисел разное количество разрядов, то больше то число, у которого разрядов больше.

а) Сравниваем числа 0 и 21. Число 21 — это натуральное положительное число, а 0 не является натуральным числом. Любое натуральное число больше нуля.

Таким образом, $21 > 0$.

Это неравенство читается: "двадцать один больше нуля".

Ответ: $21 > 0$.

б) Сравниваем числа 38 и 17. Оба числа двузначные. Сравниваем цифры в старшем разряде — разряде десятков. У числа 38 в разряде десятков стоит цифра 3, а у числа 17 — цифра 1. Так как $3 > 1$, то и число 38 больше, чем 17.

Таким образом, $38 > 17$.

Это неравенство читается: "тридцать восемь больше семнадцати".

Ответ: $38 > 17$.

в) Сравниваем числа 231 и 213. Оба числа трехзначные. Цифры в старшем разряде сотен у них одинаковы и равны 2. Переходим к следующему разряду — разряду десятков. У числа 231 в разряде десятков стоит цифра 3, а у числа 213 — цифра 1. Так как $3 > 1$, то число 231 больше, чем 213.

Таким образом, $231 > 213$.

Это неравенство читается: "двести тридцать один больше двухсот тринадцати".

Ответ: $231 > 213$.

г) Сравниваем числа 22 383 и 22 369. Оба числа пятизначные. Начинаем сравнение со старшего разряда. Цифры в разрядах десятков тысяч, тысяч и сотен у этих чисел совпадают (2, 2 и 3 соответственно). Сравниваем цифры в разряде десятков. У числа 22 383 в этом разряде стоит цифра 8, а у числа 22 369 — цифра 6. Так как $8 > 6$, то число 22 383 больше, чем 22 369.

Таким образом, $22\;383 > 22\;369$.

Это неравенство читается: "двадцать две тысячи триста восемьдесят три больше двадцати двух тысяч трёхсот шестидесяти девяти".

Ответ: $22\;383 > 22\;369$.

д) Сравниваем числа 3 249 005 и 3 249 002. Оба числа семизначные. Сравнивая поразрядно слева направо, видим, что первые шесть цифр у них совпадают (3, 2, 4, 9, 0, 0). Различие находится в последнем, младшем разряде — разряде единиц. У числа 3 249 005 в разряде единиц стоит цифра 5, а у числа 3 249 002 — цифра 2. Так как $5 > 2$, то число 3 249 005 больше, чем 3 249 002.

Таким образом, $3\;249\;005 > 3\;249\;002$.

Это неравенство читается: "три миллиона двести сорок девять тысяч пять больше трёх миллионов двухсот сорока девяти тысяч двух".

Ответ: $3\;249\;005 > 3\;249\;002$.

е) Сравниваем числа 5 342 075 215 и 5 343 974 215. Оба числа являются одиннадцатизначными. Начинаем сравнение со старшего разряда. Цифры в классе миллиардов (5) и в разрядах сотен и десятков миллионов (3 и 4) совпадают. Различие появляется в разряде единиц миллионов. У числа 5 342 075 215 в этом разряде стоит цифра 2, а у числа 5 343 974 215 — цифра 3. Так как $2 < 3$, то второе число больше первого.

Таким образом, $5\;343\;974\;215 > 5\;342\;075\;215$.

Это неравенство читается: "пять миллиардов триста сорок три миллиона девятьсот семьдесят четыре тысячи двести пятнадцать больше пяти миллиардов трёхсот сорока двух миллионов семидесяти пяти тысяч двухсот пятнадцати".

Ответ: $5\;343\;974\;215 > 5\;342\;075\;215$.

1.166 Запишите с помощью знака <, какое из чисел меньше:

а) 1 < 71;
б) 499 < 562;
в) 402 < 4032;
г) 9345 < 9354;
д) 5456991 < 5459000;
е) 98000542000 < 98000561002.

а) Для сравнения двух натуральных чисел, сначала необходимо сравнить количество цифр (разрядов) в них. Число, у которого меньше разрядов, будет меньшим. Число $1$ состоит из одной цифры (однозначное). Число $71$ состоит из двух цифр (двузначное). Так как у числа $1$ меньше разрядов, чем у числа $71$, то $1$ меньше $71$.
Ответ: $1 < 71$

б) Сравниваем числа $562$ и $499$. Оба числа имеют одинаковое количество разрядов (три). В таком случае, сравнение производят поразрядно, слева направо, начиная со старшего разряда. В разряде сотен у числа $562$ стоит цифра $5$, а у числа $499$ — цифра $4$. Поскольку $4 < 5$, то и число $499$ меньше числа $562$.
Ответ: $499 < 562$

в) Сравниваем числа $4032$ и $402$. В числе $4032$ четыре разряда. В числе $402$ три разряда. Число, в котором меньше разрядов, является меньшим. Следовательно, $402$ меньше, чем $4032$.
Ответ: $402 < 4032$

г) Сравниваем числа $9354$ и $9345$. Оба числа четырехзначные, поэтому сравниваем их поразрядно слева направо. Цифры в разряде тысяч совпадают: $9 = 9$. Цифры в разряде сотен совпадают: $3 = 3$. Цифры в разряде десятков различаются: у числа $9354$ это $5$, а у числа $9345$ это $4$. Так как $4 < 5$, то число $9345$ меньше числа $9354$.
Ответ: $9345 < 9354$

д) Сравниваем числа $5\;459\;000$ и $5\;456\;991$. Оба числа имеют одинаковое количество разрядов. Сравниваем их поразрядно слева направо. Первые три разряда (миллионы, сотни тысяч, десятки тысяч) совпадают: $5=5, 4=4, 5=5$. В разряде тысяч у числа $5\;459\;000$ стоит цифра $9$, а у числа $5\;456\;991$ — цифра $6$. Поскольку $6 < 9$, то число $5\;456\;991$ меньше, чем $5\;459\;000$.
Ответ: $5\;456\;991 < 5\;459\;000$

е) Сравниваем числа $98\;000\;542\;000$ и $98\;000\;561\;002$. Оба числа двенадцатизначные. Сравниваем их поразрядно слева направо до первой различающейся цифры. Первые шесть цифр ($9, 8, 0, 0, 0, 5$) совпадают. Седьмая цифра слева (соответствует разряду десятков тысяч) у числа $98\;000\;542\;000$ — это $4$, а у числа $98\;000\;561\;002$ — это $6$. Так как $4 < 6$, то число $98\;000\;542\;000$ меньше, чем $98\;000\;561\;002$.
Ответ: $98\;000\;542\;000 < 98\;000\;561\;002$

1.167 Прочитайте записи:

а) 23 < 25 < 30;

б) 232 < 284 < 300.

а) 23 < 25 < 30

Двадцать пять больше двадцати трёх и меньше тридцати.

б) 232 < 284 < 300

Двести восемьдесят четыре больше двухсот тридцати двух и меньше трёхсот.

а)

Запись $23 < 25 < 30$ — это двойное неравенство. Оно означает, что число 25 одновременно больше, чем 23, и меньше, чем 30. Таким образом, число 25 находится на числовой прямой между числами 23 и 30.
Прочитать это неравенство можно несколькими способами. Наиболее распространенный способ — начать со среднего числа: «Двадцать пять больше двадцати трех и меньше тридцати».
Также можно прочитать последовательно слева направо: «Двадцать три меньше двадцати пяти, которое, в свою очередь, меньше тридцати».

Ответ: Двадцать пять больше двадцати трех и меньше тридцати.

б)

Запись $232 < 284 < 300$ — это также двойное неравенство. Оно показывает, что значение 284 находится в интервале между 232 и 300.
Чтение этого неравенства аналогично предыдущему пункту. Наиболее часто его читают так: «Двести восемьдесят четыре больше двухсот тридцати двух и меньше трёхсот».
Другой вариант прочтения: «Двести тридцать два меньше двухсот восьмидесяти четырех, а двести восемьдесят четыре меньше трёхсот».

Ответ: Двести восемьдесят четыре больше двухсот тридцати двух и меньше трёхсот.

1.168 Сравните числа (знаки вопроса обозначают неизвестные цифры) и запишите ответ с помощью одного из знаков > или <:

а) 83??9 или 86??1;

б) ??2? или 9?9.

а) 83??9 < 86??1;
б) ??2? > 9?9.

а) Сравним числа $83??9$ и $86??1$.

При сравнении многозначных чисел сравнение производят поразрядно, начиная со старшего разряда (самого левого). Оба числа являются пятизначными.

1. Сравниваем цифры в разряде десятков тысяч: $8 = 8$. Цифры равны, поэтому переходим к следующему разряду.

2. Сравниваем цифры в разряде тысяч: у первого числа это $3$, у второго — $6$.

Поскольку $3 < 6$, то первое число меньше второго, независимо от того, какие цифры скрываются за знаками вопроса. Даже если в первом числе неизвестные цифры будут максимальными (9), а во втором — минимальными (0), мы получим $83999 < 86001$.

Ответ: $83??9 < 86??1$

б) Сравним числа $??2?$ и $9?9$.

Для сравнения этих чисел в первую очередь нужно определить количество цифр (разрядов) в каждом из них.

1. Число $??2?$ состоит из четырех цифр, следовательно, оно является четырехзначным.

2. Число $9?9$ состоит из трех цифр, следовательно, оно является трехзначным.

Любое четырехзначное число всегда больше любого трехзначного числа. Наименьшее возможное четырехзначное число — 1000, а наибольшее возможное трехзначное — 999. Так как $1000 > 999$, то и в нашем случае первое число будет всегда больше второго.

Ответ: $??2? > 9?9$

1.169 Какие натуральные числа лежат на координатной прямой между числами:

а) 15 и 23 (рис. 1.36);

б) 3109 и 3111;

в) 51 и 52?

а) 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22;

б) 3110;

в) между числами 51 и 52 натуральных чисел нет.

а) Чтобы найти натуральные числа, которые лежат на координатной прямой между числами 15 и 23, нужно найти все натуральные числа $x$, которые удовлетворяют строгому двойному неравенству $15 < x < 23$. Это означает, что искомые числа должны быть больше 15 и меньше 23. Начнем перечислять натуральные числа, следующие за 15: это 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22. Следующее натуральное число — 23, но оно не удовлетворяет условию $x < 23$. Таким образом, мы нашли все натуральные числа в заданном промежутке.

Ответ: 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22.

б) Аналогично, ищем натуральные числа $x$ между 3109 и 3111. Эти числа должны удовлетворять неравенству $3109 < x < 3111$. Единственное целое число, которое больше 3109 и меньше 3111, — это число 3110. Так как 3110 является натуральным числом, оно и является решением.

Ответ: 3110.

в) Нам нужно найти натуральные числа $x$ между 51 и 52. Это соответствует неравенству $51 < x < 52$. Числа 51 и 52 — это два последовательных натуральных числа. Между двумя последовательными натуральными числами нет других натуральных чисел. Следовательно, в этом промежутке нет натуральных чисел.

Ответ: таких чисел нет.

1.170 Запишите с помощью двойного неравенства:

а) число 12 меньше 13, но больше 3;

б) число 9 больше 4, но меньше 21;

в) число 44 больше 39, а число 39 больше 34.

а) 3 <12 < 13;
б) 4 < 9 < 21;
в) 34 < 39 < 44.

а) Условие "число 12 меньше 13, но больше 3" состоит из двух частей. Первая часть, "число 12 меньше 13", записывается в виде неравенства $12 < 13$. Вторая часть, "число 12... больше 3", записывается как $12 > 3$. Чтобы объединить эти два неравенства в одно двойное неравенство, мы помещаем число 12 в середину. Слева от него ставим число, которое меньше 12 (это 3), а справа — число, которое больше 12 (это 13). В результате получаем: $3 < 12 < 13$. Это неравенство читается как "12 больше 3 и меньше 13".
Ответ: $3 < 12 < 13$.

б) Условие "число 9 больше 4, но меньше 21" также можно разбить на два неравенства. "Число 9 больше 4" записывается как $9 > 4$. "Число 9... меньше 21" записывается как $9 < 21$. Объединим их в двойное неравенство. Число 9 находится между 4 и 21. Записываем это, располагая числа в порядке возрастания слева направо: $4 < 9 < 21$. Это неравенство читается как "9 больше 4 и меньше 21".
Ответ: $4 < 9 < 21$.

в) Условие "число 44 больше 39, а число 39 больше 34" уже представляет собой два связанных неравенства. Первое неравенство: $44 > 39$. Второе неравенство: $39 > 34$. Поскольку в обоих неравенствах присутствует число 39, мы можем объединить их в одну цепочку. Так как 44 больше 39, а 39, в свою очередь, больше 34, мы можем записать это как $44 > 39 > 34$. Обычно двойные неравенства записывают в порядке возрастания чисел, используя знак "меньше". Для этого мы "переворачиваем" оба неравенства: $39 < 44$ и $34 < 39$. Теперь их можно объединить в одно: $34 < 39 < 44$.
Ответ: $34 < 39 < 44$.

5.186 Найдите периметр и площадь треугольника МВС, изображённого на рисунке 5.42.

1. Нахождение периметра треугольника MBC

Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон. Из рисунка известны длины сторон треугольника $MBC$:

• $MB = 4$ см
• $BC = 3$ см
• $MC = 5$ см

Периметр $P$ вычисляется по формуле: $P_{MBC} = MB + BC + MC$

Подставим числовые значения: $P_{MBC} = 4 + 3 + 5 = 12$ см.

Ответ: периметр треугольника $MBC$ равен 12 см.

2. Нахождение площади треугольника MBC

Для нахождения площади треугольника необходимо определить его тип. Проверим, является ли треугольник $MBC$ прямоугольным, используя теорему, обратную теореме Пифагора. Согласно ей, если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то треугольник является прямоугольным.

Сравним сумму квадратов сторон $MB$ и $BC$ с квадратом стороны $MC$: $MB^2 + BC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$

$MC^2 = 5^2 = 25$

Поскольку $MB^2 + BC^2 = MC^2$, треугольник $MBC$ является прямоугольным, где $\angle B = 90^\circ$. Стороны $MB$ и $BC$ являются его катетами, а $MC$ – гипотенузой.

Площадь $S$ прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S_{MBC} = \frac{1}{2} \cdot MB \cdot BC$

Подставим значения длин катетов: $S_{MBC} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = \frac{12}{2} = 6$ см$^2$.

Ответ: площадь треугольника $MBC$ равна 6 см$^2$.

5.187 Верно ли утверждение:

а) $\frac{131}{289}$меньше$\frac{289}{131};$

б) $\frac{121}{111}$больше $\frac{651}{651};$

а) $\frac{131}{289}$ меньше $\frac{289}{131}$
Для того чтобы определить, верно ли это утверждение, сравним каждую из дробей с 1.
Первая дробь $\frac{131}{289}$ является правильной, так как ее числитель 131 меньше знаменателя 289. Любая правильная дробь всегда меньше 1.
$131 < 289 \Rightarrow \frac{131}{289} < 1$.
Вторая дробь $\frac{289}{131}$ является неправильной, так как ее числитель 289 больше знаменателя 131. Такая дробь всегда больше 1.
$289 > 131 \Rightarrow \frac{289}{131} > 1$.
Поскольку первая дробь меньше 1, а вторая больше 1, то первая дробь определенно меньше второй.
$\frac{131}{289} < 1 < \frac{289}{131}$
Следовательно, утверждение является верным.
Ответ: да, утверждение верно.

б) $\frac{121}{111}$ больше $\frac{651}{651}$?
Проверим верность данного утверждения.
Рассмотрим первую дробь $\frac{121}{111}$. Это неправильная дробь, так как числитель 121 больше знаменателя 111. Следовательно, значение этой дроби больше 1.
$121 > 111 \Rightarrow \frac{121}{111} > 1$.
Рассмотрим вторую дробь $\frac{651}{651}$. В этой дроби числитель равен знаменателю. Любая дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна 1.
$\frac{651}{651} = 1$.
Теперь сравним полученные результаты: $\frac{121}{111} > 1$ и $\frac{651}{651} = 1$. Отсюда следует, что первая дробь больше второй.
$\frac{121}{111} > \frac{651}{651}$
Следовательно, утверждение является верным.
Ответ: да, утверждение верно.

5.188 При каких значениях a:

а) дробь a19 будет правильной;

б) дробь 7a будет неправильной?

а) дробь $\frac{a}{19}$ будет правильной;

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. В дроби $\frac{a}{19}$ числителем является $a$, а знаменателем — $19$.
Чтобы дробь была правильной, должно выполняться неравенство:
$a < 19$
Поскольку $a$ находится в числителе, оно должно быть натуральным числом (целым положительным числом). Таким образом, $a$ может принимать любые целые значения от $1$ до $18$ включительно.
Ответ: дробь будет правильной при любых натуральных значениях $a$ от $1$ до $18$, то есть $a \in \{1, 2, 3, \ldots, 18\}$.

б) дробь $\frac{7}{a}$ будет неправильной?

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. В дроби $\frac{7}{a}$ числителем является $7$, а знаменателем — $a$.
Чтобы дробь была неправильной, должно выполняться неравенство:
$7 \ge a$
Также следует помнить, что знаменатель дроби не может быть равен нулю ($a \neq 0$). Так как $a$ является знаменателем, оно должно быть натуральным числом.
Совмещая условия $7 \ge a$ и то, что $a$ — натуральное число, получаем, что $a$ может принимать любые целые значения от $1$ до $7$ включительно.
Ответ: дробь будет неправильной при любых натуральных значениях $a$ от $1$ до $7$, то есть $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.

5.189 На ремонт потратили 140 000 р. Мастерам за работу заплатили 37 этой суммы. Сколько заплатили мастерам?

Для того чтобы определить, сколько денег заплатили мастерам, необходимо найти $\frac{3}{7}$ от общей суммы, потраченной на ремонт, которая равна 140 000 р.

Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить это число на данную дробь.

Расчет можно выполнить в два действия:
1. Сначала найдем, чему равна одна седьмая часть ($\frac{1}{7}$) от общей суммы. Для этого разделим общую сумму на знаменатель дроби:
$140000 \div 7 = 20000$ р.

2. Теперь, зная величину одной части, найдем, чему равны три таких части ($\frac{3}{7}$). Для этого умножим результат первого действия на числитель дроби:
$20000 \cdot 3 = 60000$ р.

Таким образом, за работу мастерам заплатили 60 000 рублей.

Ответ: 60 000 р.

5.190 Поставьте знак > или < вместо знака вопроса, чтобы получилось верное неравенство:

а) Для сравнения двух дробей с одинаковыми знаменателями необходимо сравнить их числители. Та дробь больше, у которой числитель больше. Сравниваем числители $9$ и $13$. Так как $9 < 13$, то и дробь $\frac{9}{16}$ меньше дроби $\frac{13}{16}$.
Ответ: $\frac{9}{16} < \frac{13}{16}$.

б) Данные дроби имеют одинаковый знаменатель $9$. Сравниваем их числители: $14$ и $11$. Так как $14 > 11$, то дробь $\frac{14}{9}$ больше дроби $\frac{11}{9}$.
Ответ: $\frac{14}{9} > \frac{11}{9}$.

в) Сравниваем число $1$ и дробь $\frac{349}{759}$. Дробь, у которой числитель меньше знаменателя, называется правильной. Любая правильная дробь меньше единицы. В данном случае числитель $349$ меньше знаменателя $759$, следовательно, дробь $\frac{349}{759}$ является правильной и меньше $1$.
Ответ: $1 > \frac{349}{759}$.

г) Сравниваем дробь $\frac{59}{49}$ и число $1$. Дробь, у которой числитель больше знаменателя, называется неправильной. Любая неправильная дробь больше единицы. В данном случае числитель $59$ больше знаменателя $49$, следовательно, дробь $\frac{59}{49}$ является неправильной и больше $1$.
Ответ: $\frac{59}{49} > 1$.

д) Сравниваем дробь $\frac{101010101}{100000000}$ и число $0$. Данная дробь является положительным числом, так как её числитель и знаменатель — положительные числа. Любое положительное число больше нуля.
Ответ: $\frac{101010101}{100000000} > 0$.

е) Сравниваем дробь $\frac{1}{1\,000\,000\,000}$ и число $0$. Эта дробь также является положительным числом, так как её числитель ($1$) и знаменатель ($1\,000\,000\,000$) положительны. Следовательно, она больше нуля.
Ответ: $\frac{1}{1\,000\,000\,000} > 0$.

5.191 Найдите разность наибольшей и наименьшей площадей граней прямоугольного параллелепипеда, если его длина 9 м, ширина 7 м и высота 11 м.

Для решения задачи необходимо найти площади всех граней прямоугольного параллелепипеда, выбрать из них наибольшую и наименьшую, а затем вычислить их разность.

Прямоугольный параллелепипед имеет 6 граней, которые являются прямоугольниками. Противоположные грани равны, поэтому существует три пары граней с одинаковой площадью. Обозначим измерения параллелепипеда:
Длина $a = 9$ м
Ширина $b = 7$ м
Высота $c = 11$ м

1. Найдем площадь первой пары граней (например, оснований).
Площадь одной такой грани вычисляется как произведение длины на ширину:
$S_1 = a \times b = 9 \text{ м} \times 7 \text{ м} = 63 \text{ м}^2$.

2. Найдем площадь второй пары граней.
Площадь одной такой грани вычисляется как произведение длины на высоту:
$S_2 = a \times c = 9 \text{ м} \times 11 \text{ м} = 99 \text{ м}^2$.

3. Найдем площадь третьей пары граней.
Площадь одной такой грани вычисляется как произведение ширины на высоту:
$S_3 = b \times c = 7 \text{ м} \times 11 \text{ м} = 77 \text{ м}^2$.

4. Определим наибольшую и наименьшую площади и найдем их разность.
Площади граней равны $63 \text{ м}^2$, $77 \text{ м}^2$ и $99 \text{ м}^2$.
Наибольшая площадь: $S_{\text{наиб}} = 99 \text{ м}^2$.
Наименьшая площадь: $S_{\text{наим}} = 63 \text{ м}^2$.
Разность между наибольшей и наименьшей площадями составляет:
$S_{\text{наиб}} - S_{\text{наим}} = 99 - 63 = 36 \text{ м}^2$.

Ответ: $36 \text{ м}^2$.

5.192 а) Для изготовления 1 т бумаги используют 600 кг целлюлозы. Сколько центнеров бумаги можно получить из 70 м³ древесины, если из 1 м³ древесины получается 300 кг целлюлозы?

б) Сколько километров вискозной ткани можно получить из 20 м³ древесины, если из 1 м³ древесины получается 200 кг целлюлозы, а для изготовления 75 м вискозной ткани требуется 1 кг целлюлозы?

a)

Для решения этой задачи выполним следующие действия:

1. Найдем, сколько целлюлозы можно получить из 70 м? древесины. Так как из 1 м? древесины получается 300 кг целлюлозы, то из 70 м? получится:

$70 \, \text{м}^3 \times 300 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 21000 \, \text{кг}$ целлюлозы.

2. Рассчитаем, сколько бумаги можно изготовить из полученного количества целлюлозы. На 1 тонну бумаги уходит 600 кг целлюлозы. Значит, из 21000 кг целлюлозы можно произвести:

$\frac{21000 \, \text{кг}}{600 \, \text{кг/т}} = 35 \, \text{т}$ бумаги.

3. Переведем полученное значение в центнеры. В одной тонне 10 центнеров:

$35 \, \text{т} \times 10 \, \frac{\text{ц}}{\text{т}} = 350 \, \text{ц}$.

Ответ: 350 центнеров бумаги.

б)

Для решения этой задачи выполним следующие действия:

1. Найдем, сколько целлюлозы можно получить из 20 м? древесины. Из 1 м? древесины получается 200 кг целлюлозы, следовательно, из 20 м? получится:

$20 \, \text{м}^3 \times 200 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 4000 \, \text{кг}$ целлюлозы.

2. Рассчитаем, сколько метров вискозной ткани можно изготовить из этого количества целлюлозы. Для изготовления 75 м ткани требуется 1 кг целлюлозы. Значит, из 4000 кг целлюлозы можно изготовить:

$4000 \, \text{кг} \times 75 \, \frac{\text{м}}{\text{кг}} = 300000 \, \text{м}$ вискозной ткани.

3. Переведем полученную длину из метров в километры. В одном километре 1000 метров:

$\frac{300000 \, \text{м}}{1000 \, \text{м/км}} = 300 \, \text{км}$.

Ответ: 300 километров вискозной ткани.

5.193 Чтобы открыть кодовый замок, имеющий шесть кнопок, нужно набрать код, т. е. нажать все кнопки в определённом порядке. Сколько существует вариантов кода этого замка?

По условию задачи, чтобы открыть кодовый замок, нужно нажать все шесть кнопок в определённом порядке. Это означает, что каждый возможный код является уникальной последовательностью из шести различных кнопок. В комбинаторике такие упорядоченные наборы, в которых важен порядок элементов и используются все элементы набора, называются перестановками.

Следовательно, количество всех вариантов кода равно числу перестановок из 6 элементов. Число перестановок из $n$ различных элементов, обозначаемое как $P_n$, вычисляется по формуле факториала: $P_n = n!$.

В нашем случае количество кнопок $n=6$. Рассчитаем количество вариантов кода, вычислив факториал числа 6:
$P_6 = 6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$.

Ответ: 720.

5.194 Решите уравнение:

а) (z - 39) • 37 = 7955;

б) 789 • (t - 361) = 11 835;

в) (205 • 78 + m) : 9109 = 6;

г) 49 635 : (m - 973) = 1103;

д) 21z + 7z - 38 = 46;

е) 24t - 13t - 7 = 15.

а) $(z - 39) \cdot 37 = 7955$

В этом уравнении выражение в скобках $(z - 39)$ является неизвестным множителем. Чтобы найти его, разделим произведение $7955$ на известный множитель $37$.

$z - 39 = 7955 : 37$

$z - 39 = 215$

Теперь $z$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности $215$ прибавить вычитаемое $39$.

$z = 215 + 39$

$z = 254$

Ответ: $z = 254$.

б) $789 \cdot (t - 361) = 11835$

В данном уравнении выражение $(t - 361)$ — это неизвестный множитель. Найдем его, разделив произведение $11835$ на известный множитель $789$.

$t - 361 = 11835 : 789$

$t - 361 = 15$

Теперь $t$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы его найти, сложим разность $15$ и вычитаемое $361$.

$t = 15 + 361$

$t = 376$

Ответ: $t = 376$.

в) $(205 \cdot 78 + m) : 9109 = 6$

Выражение в скобках $(205 \cdot 78 + m)$ является неизвестным делимым. Чтобы найти его, умножим частное $6$ на делитель $9109$.

$205 \cdot 78 + m = 6 \cdot 9109$

Сначала вычислим произведения в обеих частях уравнения.

$15990 + m = 54654$

Теперь $m$ — неизвестное слагаемое. Чтобы его найти, вычтем из суммы $54654$ известное слагаемое $15990$.

$m = 54654 - 15990$

$m = 38664$

Ответ: $m = 38664$.

г) $49635 : (m - 973) = 1103$

Выражение в скобках $(m - 973)$ является неизвестным делителем. Чтобы найти его, разделим делимое $49635$ на частное $1103$.

$m - 973 = 49635 : 1103$

$m - 973 = 45$

Теперь $m$ — неизвестное уменьшаемое. Чтобы его найти, к разности $45$ прибавим вычитаемое $973$.

$m = 45 + 973$

$m = 1018$

Ответ: $m = 1018$.

д) $21z + 7z - 38 = 46$

Сначала упростим левую часть уравнения, приведя подобные слагаемые (выполним сложение членов, содержащих $z$).

$(21 + 7)z - 38 = 46$

$28z - 38 = 46$

Выражение $28z$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы его найти, к разности $46$ прибавим вычитаемое $38$.

$28z = 46 + 38$

$28z = 84$

Теперь $z$ — неизвестный множитель. Найдем его, разделив произведение $84$ на известный множитель $28$.

$z = 84 : 28$

$z = 3$

Ответ: $z = 3$.

е) $24t - 13t - 7 = 15$

Упростим левую часть уравнения, приведя подобные слагаемые (выполним вычитание членов, содержащих $t$).

$(24 - 13)t - 7 = 15$

$11t - 7 = 15$

Выражение $11t$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти его, к разности $15$ прибавим вычитаемое $7$.

$11t = 15 + 7$

$11t = 22$

Теперь $t$ — неизвестный множитель. Найдем его, разделив произведение $22$ на известный множитель $11$.

$t = 22 : 11$

$t = 2$

Ответ: $t = 2$.

5.195 1) Какая часть деталей была с браком, если из 400 изготовленных деталей 7 оказались бракованными?

2) Какую часть книги занимала повесть, если в книге было 160 страниц, а повесть занимала 97 страниц?

1) Чтобы найти, какую часть от общего количества составляют бракованные детали, необходимо разделить количество бракованных деталей на общее количество изготовленных деталей. В данном случае общее количество деталей (целое) равно 400, а количество бракованных деталей (часть) равно 7. Составим дробь, где в числителе будет количество бракованных деталей, а в знаменателе — общее количество деталей.
Часть бракованных деталей = $ \frac{\text{Количество бракованных деталей}}{\text{Общее количество деталей}} = \frac{7}{400} $
Эта дробь является несократимой, так как у числителя 7 и знаменателя 400 нет общих делителей, кроме 1.
Ответ: $ \frac{7}{400} $.

2) Чтобы определить, какую часть книги занимает повесть, нужно разделить количество страниц повести на общее количество страниц в книге. Общее количество страниц в книге (целое) составляет 160, а повесть (часть) занимает 97 страниц. Составим дробь, где в числителе будет количество страниц повести, а в знаменателе — общее количество страниц в книге.
Часть книги, которую занимает повесть = $ \frac{\text{Количество страниц повести}}{\text{Общее количество страниц в книге}} = \frac{97}{160} $
Эта дробь является несократимой, так как числитель 97 — это простое число, а знаменатель 160 на 97 не делится.
Ответ: $ \frac{97}{160} $.

5.196 Выполните действия деления и умножения:

1) 90 720 : (207 : 23 • 840);

2) 19 392 : 48 • (510 : 5);

3) 14 700 : 21 : 7 • 49;

4) 280 : 20 : (56 : 8) : (14 : 7).

1) $90720 : (207 : 23 \cdot 840)$

Для решения этого примера необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняются действия в скобках, а затем остальные действия по порядку.

1. Начнем с деления в скобках: $207 : 23$. Чтобы найти частное, подберем число, при умножении которого на 23 получится 207. Проверим число 9: $23 \cdot 9 = 207$. Значит, $207 : 23 = 9$.

2. Теперь выполним умножение в скобках: $9 \cdot 840$. $9 \cdot 800 = 7200$, $9 \cdot 40 = 360$. $7200 + 360 = 7560$.

3. Выражение принимает вид: $90720 : 7560$. Для удобства можно убрать нули: $9072 : 756$. Выполним деление: $9072 : 756 = 12$.

Проверка: $756 \cdot 12 = 756 \cdot (10 + 2) = 7560 + 1512 = 9072$.

Ответ: 12.

2) $19392 : 48 \cdot (510 : 5)$

Сначала выполним действие в скобках, затем деление и умножение слева направо.

1. Вычислим значение в скобках: $510 : 5 = 102$.

2. Теперь выполним деление: $19392 : 48$. Выполним деление столбиком:

$193$ делим на $48$, берем по $4$. $48 \cdot 4 = 192$. Остаток $1$.

Сносим $9$, получаем $19$. $19$ на $48$ не делится, пишем в частном $0$.

Сносим $2$, получаем $192$. $192$ делим на $48$, берем по $4$. $48 \cdot 4 = 192$. Остаток $0$.

Таким образом, $19392 : 48 = 404$.

3. Выполним умножение: $404 \cdot 102 = 404 \cdot (100 + 2) = 404 \cdot 100 + 404 \cdot 2 = 40400 + 808 = 41208$.

Ответ: 41 208.

3) $14700 : 21 : 7 \cdot 49$

В этом выражении нет скобок, а деление и умножение являются действиями одного порядка. Поэтому выполняем их последовательно слева направо.

1. Первое действие: $14700 : 21$. Поскольку $147 : 21 = 7$, то $14700 : 21 = 700$.

2. Второе действие: $700 : 7 = 100$.

3. Третье действие: $100 \cdot 49 = 4900$.

Ответ: 4900.

4) $280 : 20 : (56 : 8) : (14 : 7)$

Сначала выполняем действия в скобках, а затем оставшиеся деления по порядку слева направо.

1. Вычислим значение в первой скобке: $56 : 8 = 7$.

2. Вычислим значение во второй скобке: $14 : 7 = 2$.

3. Подставим полученные значения в исходное выражение: $280 : 20 : 7 : 2$.

4. Выполняем деления слева направо: $280 : 20 = 14$.

5. Следующее деление: $14 : 7 = 2$.

6. Последнее деление: $2 : 2 = 1$.

Ответ: 1.

5.197 За первый день было собрано 1019 всех фруктов, а за второй — 719 всех фруктов.

а) Какая часть фруктов была собрана за эти два дня?

б) На какую часть фруктов было собрано больше в первый день, чем во второй?

а) Чтобы найти, какая часть фруктов была собрана за эти два дня, нужно сложить части, собранные в первый и во второй день. В первый день собрали $ \frac{10}{19} $ всех фруктов, а во второй — $ \frac{7}{19} $. Сложим эти дроби:

$ \frac{10}{19} + \frac{7}{19} = \frac{10+7}{19} = \frac{17}{19} $

Таким образом, за два дня была собрана $ \frac{17}{19} $ часть всех фруктов.

Ответ: $ \frac{17}{19} $.

б) Чтобы найти, на какую часть фруктов было собрано больше в первый день, чем во второй, нужно из части, собранной в первый день, вычесть часть, собранную во второй день. Найдем разность этих дробей:

$ \frac{10}{19} - \frac{7}{19} = \frac{10-7}{19} = \frac{3}{19} $

Следовательно, в первый день было собрано на $ \frac{3}{19} $ часть фруктов больше, чем во второй.

Ответ: на $ \frac{3}{19} $.