Страница 29, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1.127 Цена одного деления шкалы термометра составляет 2 градуса. На сколько градусов повысится или понизится температура, если столбик термометра:

а) опустится на 2 деления;

б) поднимется на 5 делений;

в) опустится на 9 делений;

г) поднимется на 6 делений;

д) поднимется на 8 и опустится на 6 делений;

е) опустится на 3 и поднимется на 5 делений?

а) 2 · 2 = 4°C - понизится на 4°C

б) 5 · 2 = 10°C - повысится на 10°C

в) 9 · 2 = 18°C - понизится на 18°C

г) 6 · 2 = 12°C- повысится на 12°C

С начало повысится на 16°C, потом понизится на 12°C. В итоге повысится на 4°C.

С начало понизится на 6°C, потом повысится на 10°C. В итоге повысится на 10 - 6 = 4°C.

По условию задачи, цена одного деления шкалы термометра составляет 2 градуса. Это означает, что смещение столбика термометра на одно деление соответствует изменению температуры на 2 градуса. Чтобы найти, на сколько градусов изменится температура, нужно умножить количество делений, на которое сместился столбик, на цену деления (2 градуса).

а) опустится на 2 деления;

Если столбик термометра опускается, температура понижается. Величина изменения температуры составит: $2 \text{ деления} \times 2 \frac{\text{градуса}}{\text{деление}} = 4$ градуса.

Ответ: температура понизится на 4 градуса.

б) поднимется на 5 делений;

Если столбик термометра поднимается, температура повышается. Величина изменения температуры составит: $5 \text{ делений} \times 2 \frac{\text{градуса}}{\text{деление}} = 10$ градусов.

Ответ: температура повысится на 10 градусов.

в) опустится на 9 делений;

Температура понижается. Величина изменения температуры составит: $9 \text{ делений} \times 2 \frac{\text{градуса}}{\text{деление}} = 18$ градусов.

Ответ: температура понизится на 18 градусов.

г) поднимется на 6 делений;

Температура повышается. Величина изменения температуры составит: $6 \text{ делений} \times 2 \frac{\text{градуса}}{\text{деление}} = 12$ градусов.

Ответ: температура повысится на 12 градусов.

д) поднимется на 8 и опустится на 6 делений;

Сначала найдем итоговое изменение положения столбика термометра в делениях. Подъем на 8 делений и опускание на 6 делений соответствуют результирующему подъему на $8 - 6 = 2$ деления. Поскольку итоговое смещение — это подъем, температура повысится. Величина изменения составит: $2 \text{ деления} \times 2 \frac{\text{градуса}}{\text{деление}} = 4$ градуса.

Ответ: температура повысится на 4 градуса.

е) опустится на 3 и поднимется на 5 делений?

Найдем итоговое изменение положения столбика термометра. Опускание на 3 деления и подъем на 5 делений соответствуют результирующему подъему на $5 - 3 = 2$ деления. Поскольку итоговое смещение — это подъем, температура повысится. Величина изменения составит: $2 \text{ деления} \times 2 \frac{\text{градуса}}{\text{деление}} = 4$ градуса.

Ответ: температура повысится на 4 градуса.

1.128 Какие числа соответствуют точкам L, М, N, С и К шкалы на рисунке 1.31?

L(22), M(25), N(30), C(35), K(37).

Цена одного деления - 1.

1.129 Посмотрите на рисунок 1.32 и определите, какой объект выше (ниже):

а) Троицкой башни Московского Кремля;

б) скульптуры «Родина-мать зовёт!» в Волгограде;

в) часовой башни Биг-Бен в Лондоне.

а) Выше: секвойя, скульптура «Родина - мать зовёт!», Биг-Бен.

Ниже: сибирский кедр.

б) Выше: секвойя, Биг-Бен.

Ниже: Троицкая башня, скульптура «Родина - мать зовёт!», сибирский кедр.

в) Выше: секвойя.

Ниже: Троицкая башня, скульптура «Родина - мать зовёт!», сибирский кедр.

а) Чтобы определить, какой объект выше или ниже Троицкой башни, сначала найдём её высоту по диаграмме. Вершина Троицкой башни (звезда) находится точно на линии, соответствующей $80$ метрам по вертикальной шкале. Теперь сравним высоты остальных объектов с высотой Троицкой башни.

- Выше Троицкой башни:
- Секвойя: её вершина расположена выше отметки $100$ м. Следовательно, секвойя выше Троицкой башни ($ \approx 105 \text{ м} > 80 \text{ м}$).
- Скульптура «Родина-мать зовёт!»: кончик меча находится выше отметки $80$ м (примерно $85$ м). Следовательно, скульптура выше Троицкой башни ($85 \text{ м} > 80 \text{ м}$).
- Биг-Бен: его вершина находится заметно выше отметки $80$ м, почти у отметки $100$ м (примерно $96$ м). Следовательно, Биг-Бен выше Троицкой башни ($96 \text{ м} > 80 \text{ м}$).
- Ниже Троицкой башни:
- Сибирский кедр: его вершина находится на отметке $20$ м. Следовательно, сибирский кедр ниже Троицкой башни ($20 \text{ м} < 80 \text{ м}$).

Ответ: Выше Троицкой башни находятся секвойя, скульптура «Родина-мать зовёт!» и Биг-Бен. Ниже Троицкой башни находится сибирский кедр.

б) Определим высоту скульптуры «Родина-мать зовёт!». Верхняя точка скульптуры (кончик меча) находится немного выше отметки $80$ м. Примем её высоту примерно равной $85$ м. Теперь сравним с другими объектами.

- Выше скульптуры «Родина-мать зовёт!»:
- Секвойя (около $105$ м): $105 \text{ м} > 85 \text{ м}$, значит, секвойя выше.
- Биг-Бен (около $96$ м): $96 \text{ м} > 85 \text{ м}$, значит, Биг-Бен выше.
- Ниже скульптуры «Родина-мать зовёт!»:
- Троицкая башня ($80$ м): $80 \text{ м} < 85 \text{ м}$, значит, Троицкая башня ниже.
- Сибирский кедр ($20$ м): $20 \text{ м} < 85 \text{ м}$, значит, сибирский кедр ниже.

Ответ: Выше скульптуры «Родина-мать зовёт!» находятся секвойя и Биг-Бен. Ниже скульптуры находятся Троицкая башня и сибирский кедр.

в) Определим высоту часовой башни Биг-Бен. Её вершина на диаграмме расположена между отметками $80$ м и $100$ м, но значительно ближе к $100$ м. Её примерная высота составляет $96$ м. Сравним эту высоту с высотами остальных объектов.

- Выше часовой башни Биг-Бен:
- Секвойя (около $105$ м): $105 \text{ м} > 96 \text{ м}$, значит, секвойя выше.
- Ниже часовой башни Биг-Бен:
- Троицкая башня ($80$ м): $80 \text{ м} < 96 \text{ м}$, значит, Троицкая башня ниже.
- Скульптура «Родина-мать зовёт!» (около $85$ м): $85 \text{ м} < 96 \text{ м}$, значит, скульптура ниже.
- Сибирский кедр ($20$ м): $20 \text{ м} < 96 \text{ м}$, значит, сибирский кедр ниже.

Ответ: Выше часовой башни Биг-Бен находится секвойя. Ниже часовой башни Биг-Бен находятся Троицкая башня, скульптура «Родина-мать зовёт!» и сибирский кедр.

1.130 Выразите в килограммах:

а) 4 т 200 кг;

б) 50 т 20 кг;

в) 1 т 7 ц;

г) 6 ц 80 кг;

д) 9 т 4 ц 30 кг;

е) 27 ц 4 кг.

а) 4 т 200 кг = 4 т + 200 кг = 4000 кг + 200 кг = 4200 кг;

б) 50 т 20 кг = 50 т + 20 кг = 50000 кг + 20 кг = 50020 кг;

в) 1 т 7 ц = 1 т + 7 ц = 1000 кг + 700 кг = 1700 кг;

г) 6 ц 80 кг = 6 ц + 80 кг = 600 кг + 80 кг = 680 кг;

д) 9 т 4 ц 30 кг = 9 т + 4 ц + 30 кг = 9000 кг + 400 кг + 30 кг = 9430 кг;

е) 27 ц 4 кг = 27 ц + 4 кг = 2700 кг + 4 кг = 2704 кг.

Для решения этой задачи необходимо знать соотношения между такими единицами массы, как тонна (т), центнер (ц) и килограмм (кг).

1 тонна равна 1000 килограммов: $1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$.

1 центнер равен 100 килограммам: $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$.

а) 4 т 200 кг

Чтобы выразить данное значение в килограммах, мы переводим тонны в килограммы и прибавляем к ним указанное количество килограммов.

Переводим 4 тонны в килограммы: $4 \text{ т} = 4 \times 1000 \text{ кг} = 4000 \text{ кг}$.

Теперь складываем полученное значение с оставшимися килограммами: $4000 \text{ кг} + 200 \text{ кг} = 4200 \text{ кг}$.

Ответ: 4200 кг.

б) 50 т 20 кг

Действуем аналогично предыдущему пункту: переводим тонны в килограммы и складываем.

Переводим 50 тонн в килограммы: $50 \text{ т} = 50 \times 1000 \text{ кг} = 50000 \text{ кг}$.

Складываем килограммы: $50000 \text{ кг} + 20 \text{ кг} = 50020 \text{ кг}$.

Ответ: 50020 кг.

в) 1 т 7 ц

В этом случае нужно перевести в килограммы и тонны, и центнеры, а затем сложить результаты.

Переводим 1 тонну в килограммы: $1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$.

Переводим 7 центнеров в килограммы: $7 \text{ ц} = 7 \times 100 \text{ кг} = 700 \text{ кг}$.

Суммируем полученные значения: $1000 \text{ кг} + 700 \text{ кг} = 1700 \text{ кг}$.

Ответ: 1700 кг.

г) 6 ц 80 кг

Переводим центнеры в килограммы и прибавляем оставшиеся килограммы.

Переводим 6 центнеров в килограммы: $6 \text{ ц} = 6 \times 100 \text{ кг} = 600 \text{ кг}$.

Складываем килограммы: $600 \text{ кг} + 80 \text{ кг} = 680 \text{ кг}$.

Ответ: 680 кг.

д) 9 т 4 ц 30 кг

Здесь необходимо перевести в килограммы все единицы (тонны и центнеры) и сложить с данным количеством килограммов.

Переводим 9 тонн в килограммы: $9 \text{ т} = 9 \times 1000 \text{ кг} = 9000 \text{ кг}$.

Переводим 4 центнера в килограммы: $4 \text{ ц} = 4 \times 100 \text{ кг} = 400 \text{ кг}$.

Теперь складываем все три значения: $9000 \text{ кг} + 400 \text{ кг} + 30 \text{ кг} = 9430 \text{ кг}$.

Ответ: 9430 кг.

е) 27 ц 4 кг

Переводим центнеры в килограммы и прибавляем оставшиеся килограммы.

Переводим 27 центнеров в килограммы: $27 \text{ ц} = 27 \times 100 \text{ кг} = 2700 \text{ кг}$.

Складываем килограммы: $2700 \text{ кг} + 4 \text{ кг} = 2704 \text{ кг}$.

Ответ: 2704 кг.

1.131 Выразите в граммах:

а) 7 кг 350 г;

б) 12 кг 30 г;

в) 5 кг 43 г;

г) 102 кг;

д) 2 ц 20 кг 500 г;

с) 3 ц 3 кг 70 г.

а) 7 кг 350 г = 7 кг + 350 г = 7000 г + 350 г = 7350 г;

б) 12 кг 30 г = 12 кг + 30 г = 12000 г + 30 г = 12030 г;

в) 5 кг 43 г = 5 кг + 43 г = 5000 г + 43 г = 5043 г;

г) 102 кг = 102000 г;

д) 2 ц 20 кг 500 г = 2 ц + 20 кг + 500 г = 200 кг + 20 кг 500 г = 220 кг + 500 г = 222000 г + 500 г = 220500 г;

е) 3 ц 3 кг 70 г = 300 кг + 3 кг + 70 г = 303 кг + 70 г = 303000 г + 70 г = 303070 г.

Для решения этой задачи необходимо выразить все указанные величины в граммах. Для этого будем использовать следующие соотношения единиц массы:

$1 \text{ килограмм (кг)} = 1000 \text{ грамм (г)}$

$1 \text{ центнер (ц)} = 100 \text{ килограмм (кг)}$

а) Чтобы выразить 7 кг 350 г в граммах, нужно перевести килограммы в граммы и прибавить к ним указанное количество граммов.

$7 \text{ кг } 350 \text{ г} = 7 \times 1000 \text{ г} + 350 \text{ г} = 7000 \text{ г} + 350 \text{ г} = 7350 \text{ г}$.

Ответ: 7350 г.

б) Чтобы выразить 12 кг 30 г в граммах, выполним аналогичные действия.

$12 \text{ кг } 30 \text{ г} = 12 \times 1000 \text{ г} + 30 \text{ г} = 12000 \text{ г} + 30 \text{ г} = 12030 \text{ г}$.

Ответ: 12030 г.

в) Выразим 5 кг 43 г в граммах.

$5 \text{ кг } 43 \text{ г} = 5 \times 1000 \text{ г} + 43 \text{ г} = 5000 \text{ г} + 43 \text{ г} = 5043 \text{ г}$.

Ответ: 5043 г.

г) Выразим 102 кг в граммах.

$102 \text{ кг} = 102 \times 1000 \text{ г} = 102000 \text{ г}$.

Ответ: 102000 г.

д) Чтобы выразить 2 ц 20 кг 500 г в граммах, сначала переведем центнеры в килограммы, сложим их, а затем общую массу в килограммах переведем в граммы, прибавив остаток.

Общая масса в килограммах: $2 \text{ ц} + 20 \text{ кг} = 2 \times 100 \text{ кг} + 20 \text{ кг} = 220 \text{ кг}$.

Теперь переведем в граммы: $220 \text{ кг} + 500 \text{ г} = 220 \times 1000 \text{ г} + 500 \text{ г} = 220000 \text{ г} + 500 \text{ г} = 220500 \text{ г}$.

Ответ: 220500 г.

е) Выразим 3 ц 3 кг 70 г в граммах, действуя аналогично предыдущему пункту.

Общая масса в килограммах: $3 \text{ ц} + 3 \text{ кг} = 3 \times 100 \text{ кг} + 3 \text{ кг} = 303 \text{ кг}$.

Переводим в граммы: $303 \text{ кг} + 70 \text{ г} = 303 \times 1000 \text{ г} + 70 \text{ г} = 303000 \text{ г} + 70 \text{ г} = 303070 \text{ г}$.

Ответ: 303070 г.

1.132 Заполните пропуски:

a) 5982 г = ... кг ... г;

б) 4031 г = ... кг ... г.

а) 5982 г = 5 кг 982 г;

б) 4031 г = 4 кг 31 г.

а)

Для того чтобы перевести граммы (г) в килограммы (кг), нужно знать основное соотношение этих единиц массы:
$1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$
Чтобы узнать, сколько полных килограммов содержится в 5982 граммах, необходимо разделить это число на 1000. Целая часть от деления покажет количество килограммов, а остаток — количество граммов.
$5982 \div 1000 = 5$ (остаток $982$)
Это означает, что в 5982 граммах содержится 5 полных килограммов и еще 982 грамма.
$5982 \text{ г} = 5 \times 1000 \text{ г} + 982 \text{ г} = 5 \text{ кг } 982 \text{ г}$.

Ответ: $5982 \text{ г} = 5 \text{ кг } 982 \text{ г}$.

б)

Используем тот же подход для числа 4031. Разделим 4031 на 1000, чтобы найти количество полных килограммов и оставшиеся граммы.
$4031 \div 1000 = 4$ (остаток $31$)
Таким образом, в 4031 грамме содержится 4 полных килограмма и 31 грамм.
$4031 \text{ г} = 4 \times 1000 \text{ г} + 31 \text{ г} = 4 \text{ кг } 31 \text{ г}$.

Ответ: $4031 \text{ г} = 4 \text{ кг } 31 \text{ г}$.

1.133 Заполните пропуски:

а) 71 500 кг = ... т ... кг;

б) 3040 кг = ... т ... кг.

а) 71500 кг = 71 т 500 кг;

б) 3040 кг = 3 т 40 кг.

Для решения этой задачи необходимо использовать соотношение между тоннами (т) и килограммами (кг). В одной тонне содержится 1000 килограммов.

$1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$

Чтобы перевести килограммы в тонны и килограммы, нужно разделить исходное число килограммов на 1000. Целая часть от деления будет количеством тонн, а остаток — количеством килограммов.

а)

Необходимо перевести 71 500 кг в тонны и килограммы.

Выполним деление с остатком:

$71 500 \div 1000 = 71 \text{ (остаток } 500)$

Это означает, что 71 500 кг состоят из 71 полной тонны и 500 килограммов.

Заполняем пропуски: $71 500 \text{ кг} = 71 \text{ т } 500 \text{ кг}$.

Ответ: 71 500 кг = 71 т 500 кг.

б)

Необходимо перевести 3040 кг в тонны и килограммы.

Выполним деление с остатком по тому же принципу:

$3040 \div 1000 = 3 \text{ (остаток } 40)$

Это означает, что 3040 кг состоят из 3 полных тонн и 40 килограммов.

Заполняем пропуски: $3040 \text{ кг} = 3 \text{ т } 40 \text{ кг}$.

Ответ: 3040 кг = 3 т 40 кг.

1.134 Заполните пропуски:

а) 1230 кг = ... ц ... кг;

б) 503 кг = ... ц ... кг.

а) 1230 кг = 12 ц 30 кг;

б) 503 кг = 5 ц 3 кг.

а)

Чтобы перевести килограммы (кг) в центнеры (ц), нужно помнить, что в одном центнере содержится 100 килограммов.
$1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$
Для того чтобы найти, сколько полных центнеров содержится в 1230 кг, необходимо разделить 1230 на 100. Целая часть от деления покажет количество центнеров, а остаток — количество килограммов.
$1230 \div 100 = 12$ (остаток $30$)
Это можно записать в виде равенства: $1230 \text{ кг} = 12 \times 100 \text{ кг} + 30 \text{ кг}$.
Следовательно, 1230 кг — это 12 центнеров и 30 килограммов.
Ответ: $1230 \text{ кг} = 12 \text{ ц } 30 \text{ кг}$.

б)

Аналогично первому пункту, переведем 503 кг в центнеры и килограммы. Используем то же соотношение: $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$.
Разделим 503 на 100, чтобы найти количество полных центнеров и остаток в килограммах.
$503 \div 100 = 5$ (остаток $3$)
Это можно записать в виде равенства: $503 \text{ кг} = 5 \times 100 \text{ кг} + 3 \text{ кг}$.
Следовательно, 503 кг — это 5 центнеров и 3 килограмма.
Ответ: $503 \text{ кг} = 5 \text{ ц } 3 \text{ кг}$.

1.135 Проведите отрезок ОК длиной 28 клеток. Под точкой О напишите 0, а под точкой К — 14. Разделите отрезок штрихами на 14 равных частей и отметьте на получившейся шкале числа: 5; 8; 9; 10; 11; 13.

1.136 Начертите координатную прямую, приняв за единичный отрезок длину одной клетки тетради. Отметьте на этой прямой числа:

а) 0; 4; 8; 12; 16; 20 24;

б) 1; 5; 10; 15; 20; 25.

5.157 Запишите шесть дробей, у которых:

а) знаменатель на 4 больше числителя;

б) знаменатель в 4 раза больше числителя.

а) знаменатель на 4 больше числителя;
Чтобы составить дробь, у которой знаменатель на 4 больше числителя, нужно выбрать любое число в качестве числителя, а затем прибавить к нему 4, чтобы получить знаменатель. Если обозначить числитель буквой $n$, то знаменатель будет равен $n + 4$. Таким образом, любая дробь вида $\frac{n}{n+4}$ (где $n+4 \neq 0$) будет удовлетворять условию.
Приведем шесть примеров таких дробей, выбирая разные значения для числителя $n$:
1. Пусть числитель $n=1$. Тогда знаменатель равен $1+4=5$. Дробь: $\frac{1}{5}$.
2. Пусть числитель $n=2$. Тогда знаменатель равен $2+4=6$. Дробь: $\frac{2}{6}$.
3. Пусть числитель $n=3$. Тогда знаменатель равен $3+4=7$. Дробь: $\frac{3}{7}$.
4. Пусть числитель $n=5$. Тогда знаменатель равен $5+4=9$. Дробь: $\frac{5}{9}$.
5. Пусть числитель $n=10$. Тогда знаменатель равен $10+4=14$. Дробь: $\frac{10}{14}$.
6. Пусть числитель $n=21$. Тогда знаменатель равен $21+4=25$. Дробь: $\frac{21}{25}$.

Ответ: $\frac{1}{5}, \frac{2}{6}, \frac{3}{7}, \frac{5}{9}, \frac{10}{14}, \frac{21}{25}$.

б) знаменатель в 4 раза больше числителя.
Чтобы составить дробь, у которой знаменатель в 4 раза больше числителя, нужно выбрать любое число в качестве числителя (кроме нуля), а затем умножить его на 4, чтобы получить знаменатель. Если обозначить числитель буквой $n$ (где $n \neq 0$), то знаменатель будет равен $4 \times n$. Таким образом, любая дробь вида $\frac{n}{4n}$ будет удовлетворять условию.
Приведем шесть примеров таких дробей, выбирая разные значения для числителя $n$:
1. Пусть числитель $n=1$. Тогда знаменатель равен $4 \times 1=4$. Дробь: $\frac{1}{4}$.
2. Пусть числитель $n=2$. Тогда знаменатель равен $4 \times 2=8$. Дробь: $\frac{2}{8}$.
3. Пусть числитель $n=3$. Тогда знаменатель равен $4 \times 3=12$. Дробь: $\frac{3}{12}$.
4. Пусть числитель $n=5$. Тогда знаменатель равен $4 \times 5=20$. Дробь: $\frac{5}{20}$.
5. Пусть числитель $n=7$. Тогда знаменатель равен $4 \times 7=28$. Дробь: $\frac{7}{28}$.
6. Пусть числитель $n=10$. Тогда знаменатель равен $4 \times 10=40$. Дробь: $\frac{10}{40}$.

Ответ: $\frac{1}{4}, \frac{2}{8}, \frac{3}{12}, \frac{5}{20}, \frac{7}{28}, \frac{10}{40}$.

5.158 При каких значениях a дробь 9a будет:

а) правильной;

б) неправильной?

$\frac{9}{a}$

а) правильная, если $a>9$, т.е. дробь, у которой числитель меньше знаменателя;

б) неправильная, если $a<9$ или $a = 9$, т.е. $a =$ 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Эта дробь, у которой числитель больше знаменателя.

а) правильной
Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя. В нашем случае числитель дроби $ \frac{9}{a} $ равен 9, а знаменатель равен $a$. Для того чтобы дробь была правильной, должно выполняться неравенство: $ 9 < a $. Поскольку $a$ является знаменателем дроби, оно должно быть натуральным числом (целым положительным числом). Следовательно, $a$ может быть любым натуральным числом, которое больше 9.
Ответ: при любом натуральном значении $a > 9$ (например, 10, 11, 12, ...).

б) неправильной
Дробь называется неправильной, если ее числитель больше или равен знаменателю. Для дроби $ \frac{9}{a} $ это условие записывается в виде неравенства: $ 9 \ge a $. Так как $a$ является знаменателем, оно должно быть натуральным числом, то есть $ a \ge 1 $. Объединяя оба условия, получаем, что $a$ может принимать натуральные значения от 1 до 9 включительно.
Ответ: при $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

5.159 Землянику можно выращивать в теплице круглый год. Начинающий фермер планировал собрать в теплице 180 кг земляники, а собрал 65 этого количества. Сколько килограммов земляники собрал фермер?

По условию задачи, начинающий фермер планировал собрать 180 кг земляники. Фактически он собрал $\frac{6}{5}$ от запланированного количества. Чтобы найти, сколько килограммов земляники собрал фермер, нам нужно вычислить значение этой дроби от числа 180.

Для этого необходимо умножить общее запланированное количество на дробь, представляющую фактический сбор:

$180 \cdot \frac{6}{5}$

Выполним вычисления. Сначала можно 180 разделить на знаменатель 5, а затем полученный результат умножить на числитель 6.

1) $180 \div 5 = 36$ (кг) — это составляет $\frac{1}{5}$ от запланированного количества.

2) $36 \cdot 6 = 216$ (кг) — это составляет $\frac{6}{5}$ от запланированного количества.

Таким образом, фермер собрал 216 кг земляники. Так как дробь $\frac{6}{5}$ больше единицы, собранное количество оказалось больше запланированного.

Ответ: 216 кг.

5.160 Группа учащихся отправилась в поход по местам боевой славы. В первый день они прошли 10 км, что составило 53 пути, пройденного во второй день. Какой путь преодолела группа учащихся за 2 дня?

1. Найдём расстояние, которое группа прошла во второй день.

Пусть $S_2$ — это расстояние, пройденное группой во второй день. Из условия задачи мы знаем, что расстояние, пройденное в первый день, составляет 10 км. Также известно, что эти 10 км составляют $\frac{5}{3}$ от расстояния, пройденного во второй день. Это можно записать в виде уравнения:

$10 = \frac{5}{3} \cdot S_2$

Чтобы найти $S_2$, выразим его из уравнения. Для этого нужно 10 разделить на дробь $\frac{5}{3}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь ($\frac{3}{5}$):

$S_2 = 10 \div \frac{5}{3} = 10 \cdot \frac{3}{5}$

$S_2 = \frac{10 \cdot 3}{5} = \frac{30}{5} = 6$ км.

Следовательно, во второй день группа прошла 6 км.

2. Найдём общий путь, пройденный группой за два дня.

Чтобы найти общий путь, нужно сложить расстояния, пройденные в первый и во второй день:

$10 \text{ км} + 6 \text{ км} = 16 \text{ км}$.

Ответ: за 2 дня группа учащихся преодолела 16 км.

5.161 Расстояние между Москвой и Краснодаром равно 1500 км. Из Москвы в Краснодар вышел скорый поезд со скоростью 96 км/ч, а через час из Краснодара в Москву вышел скоростной поезд со скоростью 150 км/ч. Найдите расстояние между поездами:

а) через 1 ч после выхода скоростного поезда;

б) через 3 ч после выхода скоростного поезда;

в) через 4 ч после выхода скорого поезда.

а) Так как скоростной поезд вышел через час после скорого поезда, то

1) $1 + 1 = 2$ (ч) был в пути скорый поезд

2) $96 · 2 = 192$ (км) — прошёл за 2 ч скорый поезд

3) $192 + 150 = 342$ (км) — прошли поезда

4) $1500 - 342 = 1158$ (км)

Ответ: 1158 км

б) Так как скоростной поезд вышел через час после скорого поезда, то

1) $1 + 3 = 4$ (ч) был в пути скорый поезд

2) $96 · 4 = 384$ (км) — прошёл за 4 ч скорый поезд

3) $150 · 3 = 450$ (км) — прошёл за 3 ч скоростной поезд

4) $384 + 450 = 834$ (км) — прошли поезда

5) $1500 - 834 = 666$ (км)

Ответ: 666 км

в) Так как скоростной поезд вышел через час после скорого поезда, то

1) $4 - 1 = 3$ (ч) был в пути скоростной поезд

2) $96 · 4 = 384$ (км) — прошёл за 4 ч скорый поезд

3) $150 · 3 = 450$ (км) — прошёл за 3 ч скоростной поезд

4) $384 + 450 = 834$ (км) — прошли поезда

5) $1500 - 834 = 666$ (км)

Ответ: 666 км

Задана в) аналогична задаче б)

Для решения задачи определим исходные данные:
- Расстояние между Москвой и Краснодаром: $S = 1500$ км.
- Скорость скорого поезда, следующего из Москвы в Краснодар: $v_1 = 96$ км/ч.
- Скорость скоростного поезда, следующего из Краснодара в Москву: $v_2 = 150$ км/ч.
- Скоростной поезд выехал на 1 час позже скорого.

а) через 1 ч после выхода скоростного поезда

К моменту, когда скоростной поезд будет в пути 1 час, скорый поезд (который выехал на 1 час раньше) будет находиться в пути $1 + 1 = 2$ часа.
1. Найдем расстояние, которое проехал за это время скорый поезд:
$S_1 = v_1 \cdot t_1 = 96 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 192$ км.
2. Найдем расстояние, которое проехал скоростной поезд:
$S_2 = v_2 \cdot t_2 = 150 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 150$ км.
3. Поезда движутся навстречу друг другу. Чтобы найти расстояние между ними, нужно из общего расстояния вычесть сумму пройденных ими путей:
$S_{между} = S - (S_1 + S_2) = 1500 - (192 + 150) = 1500 - 342 = 1158$ км.
Ответ: 1158 км.

б) через 3 ч после выхода скоростного поезда

К моменту, когда скоростной поезд будет в пути 3 часа, скорый поезд будет находиться в пути $3 + 1 = 4$ часа.
1. Найдем расстояние, которое проехал за это время скорый поезд:
$S_1 = v_1 \cdot t_1 = 96 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 384$ км.
2. Найдем расстояние, которое проехал скоростной поезд:
$S_2 = v_2 \cdot t_2 = 150 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 450$ км.
3. Найдем расстояние между поездами:
$S_{между} = S - (S_1 + S_2) = 1500 - (384 + 450) = 1500 - 834 = 666$ км.
Ответ: 666 км.

в) через 4 ч после выхода скорого поезда

К моменту, когда скорый поезд будет в пути 4 часа, скоростной поезд (который выехал на 1 час позже) будет находиться в пути $4 - 1 = 3$ часа.
1. Найдем расстояние, которое проехал за это время скорый поезд:
$S_1 = v_1 \cdot t_1 = 96 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 384$ км.
2. Найдем расстояние, которое проехал скоростной поезд:
$S_2 = v_2 \cdot t_2 = 150 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 450$ км.
3. Найдем расстояние между поездами:
$S_{между} = S - (S_1 + S_2) = 1500 - (384 + 450) = 1500 - 834 = 666$ км.
Ответ: 666 км.

5.162 Выполните действия:

а) 485 979 + 691 • 308;

б) 409 • 539 - 179 888;

в) 15³ - 3³ • 5;

г) (10³ - 6³) : (2⁴ • 7²).

а) $485\,979 + 691 \cdot 308$

Согласно порядку выполнения математических операций, сначала необходимо выполнить умножение, а затем — сложение.

1. Выполним умножение:

$691 \cdot 308 = 212\,828$

2. Выполним сложение:

$485\,979 + 212\,828 = 698\,807$

Ответ: 698807.

б) $409 \cdot 539 - 179\,888$

В этом примере сначала выполняется умножение, а после этого — вычитание.

1. Выполним умножение:

$409 \cdot 539 = 220\,451$

2. Выполним вычитание:

$220\,451 - 179\,888 = 40\,563$

Ответ: 40563.

в) $15^3 - 8^3 \cdot 5$

Порядок действий в данном выражении следующий: сначала возведение в степень, затем умножение и в конце вычитание.

1. Возведем числа в указанные степени:

$15^3 = 15 \cdot 15 \cdot 15 = 225 \cdot 15 = 3375$

$8^3 = 8 \cdot 8 \cdot 8 = 64 \cdot 8 = 512$

2. Теперь подставим полученные значения в выражение и выполним умножение:

$3375 - 512 \cdot 5 = 3375 - 2560$

3. Выполним вычитание:

$3375 - 2560 = 815$

Ответ: 815.

г) $(10^3 - 6^3) : (2^4 \cdot 7^2)$

Для решения этого примера сначала необходимо выполнить действия в каждой из скобок, а затем разделить результат первого выражения на результат второго.

1. Вычислим значение выражения в первых скобках:

$10^3 - 6^3 = 1000 - 216 = 784$

2. Вычислим значение выражения во вторых скобках:

$2^4 \cdot 7^2 = 16 \cdot 49 = 784$

3. Выполним деление полученных результатов:

$784 : 784 = 1$

Ответ: 1.

1 Составьте 10 правильных дробей из чисел 2, 5, 7, 13 и 21 (числа можно использовать несколько раз).

Для решения этой задачи необходимо составить дроби, в которых числитель меньше знаменателя, используя только предложенные числа. Такая дробь называется правильной.

Определение: Дробь $\frac{a}{b}$ является правильной, если её числитель $a$ меньше её знаменателя $b$ (т.е. $a < b$).

Нам дан набор чисел: {2, 5, 7, 13, 21}. Мы должны выбрать из этого набора числитель и знаменатель для каждой дроби так, чтобы выполнялось условие правильной дроби.

Проведем систематический перебор всех возможных вариантов:

1. Если числитель равен 2, то знаменатель должен быть больше 2. Из нашего набора подходят числа 5, 7, 13 и 21. Так мы получаем 4 дроби:

   $\frac{2}{5}, \frac{2}{7}, \frac{2}{13}, \frac{2}{21}$

2. Если числитель равен 5, то знаменатель должен быть больше 5. Из набора подходят числа 7, 13 и 21. Получаем еще 3 дроби:

   $\frac{5}{7}, \frac{5}{13}, \frac{5}{21}$

3. Если числитель равен 7, то знаменатель должен быть больше 7. Подходят числа 13 и 21. Получаем 2 дроби:

   $\frac{7}{13}, \frac{7}{21}$

4. Если числитель равен 13, то знаменатель должен быть больше 13. Подходит только число 21. Получаем 1 дробь:

   $\frac{13}{21}$

5. Если числитель равен 21, то в наборе нет числа, которое было бы больше 21, поэтому составить правильную дробь с таким числителем невозможно.

Сложив количество найденных дробей ($4 + 3 + 2 + 1 = 10$), мы получаем ровно 10 уникальных правильных дробей, которые можно составить из данных чисел.

Ответ: $\frac{2}{5}, \frac{2}{7}, \frac{2}{13}, \frac{2}{21}, \frac{5}{7}, \frac{5}{13}, \frac{5}{21}, \frac{7}{13}, \frac{7}{21}, \frac{13}{21}$.

2 Запишите все неправильные дроби с числителем 8.

N2

Дробь, числитель которой больше знаменателя или равен ему, называют неправильной дробью.

$\frac{8}{1};\frac{8}{2};\frac{8}{3};\frac{8}{4};\frac{8}{5};\frac{8}{6};\frac{8}{7};\frac{8}{8}$

Неправильной дробью называется обыкновенная дробь, у которой числитель (число, стоящее над чертой) больше или равен знаменателю (числу, стоящему под чертой).

В условии задачи сказано, что числитель искомых дробей равен 8. Обозначим знаменатель дроби переменной $n$. Тогда искомые дроби будут иметь вид $ \frac{8}{n} $.

Для того чтобы дробь $ \frac{8}{n} $ была неправильной, должно выполняться неравенство: числитель $ \ge $ знаменатель. Подставив наши значения, получаем:

$ 8 \ge n $

Также необходимо помнить, что знаменатель дроби не может быть равен нулю. В контексте обыкновенных дробей знаменатель является натуральным числом, то есть $ n $ может быть 1, 2, 3 и так далее.

Совместив оба условия ($ 8 \ge n $ и $ n $ — натуральное число), мы находим все возможные значения для знаменателя $n$:

$ n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 $.

Теперь запишем все дроби, подставив найденные значения знаменателя:

$ \frac{8}{1}, \frac{8}{2}, \frac{8}{3}, \frac{8}{4}, \frac{8}{5}, \frac{8}{6}, \frac{8}{7}, \frac{8}{8} $.

Ответ: $ \frac{8}{1}, \frac{8}{2}, \frac{8}{3}, \frac{8}{4}, \frac{8}{5}, \frac{8}{6}, \frac{8}{7}, \frac{8}{8} $.

3 Запишите все значения а, при которых верно неравенство:

а) a3 < 23

б) 1027 > a27

а) Дано неравенство $\frac{a}{3} < \frac{2}{3}$.

Для того чтобы это неравенство было верным, необходимо сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой числитель меньше. Следовательно, числитель дроби слева должен быть меньше числителя дроби справа.

Запишем соответствующее неравенство для числителей:

$a < 2$

В задачах такого типа, как правило, ищутся натуральные значения переменной $a$. Единственное натуральное число, которое удовлетворяет условию $a < 2$, это 1.

Ответ: $a = 1$.

б) Дано неравенство $\frac{10}{27} > \frac{a}{27}$.

Это неравенство также содержит две дроби с одинаковыми знаменателями. Оно будет верным, если числитель большей дроби (той, что слева) будет больше числителя меньшей дроби (той, что справа). Запишем это условие в виде неравенства:

$10 > a$, что эквивалентно $a < 10$.

Мы ищем все натуральные значения $a$, которые удовлетворяют этому условию. Это все натуральные числа, которые меньше 10.

Перечислим их: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Ответ: $a$ может принимать любое из следующих значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

4 Запишите все дроби со знаменателем 5, которые меньше 1.

Чтобы найти все дроби со знаменателем 5, которые меньше 1, необходимо определить, какими могут быть их числители.

Дробь меньше единицы, если ее числитель меньше знаменателя (при условии, что знаменатель положителен). Пусть искомая дробь имеет вид $\frac{n}{5}$, где $n$ — это числитель, а 5 — знаменатель. Условие, что дробь меньше 1, записывается в виде неравенства: $$ \frac{n}{5} < 1 $$

Поскольку знаменатель 5 является положительным числом, это неравенство будет верным, если числитель $n$ будет меньше знаменателя 5: $$ n < 5 $$

В задачах такого типа под числителем обычно понимают целое неотрицательное число. Следовательно, нам нужно перечислить все целые неотрицательные числа, которые удовлетворяют условию $n < 5$.

Такими числами являются: 0, 1, 2, 3, 4.

Теперь запишем дроби с этими числителями и знаменателем 5: $$ \frac{0}{5}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5} $$

Каждая из этих дробей меньше 1. Например, $\frac{0}{5} = 0$, что меньше 1. Дробь $\frac{4}{5}$ также меньше 1, так как 4 части из 5 — это не целое.

Ответ: $\frac{0}{5}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}$.

5 Пользуясь рисунком 5.38, расположите числа в порядке возрастания

12, 14, 1, 13, 0.

Чтобы расположить числа в порядке возрастания, необходимо определить их положение на числовой прямой. Чем левее находится число, тем оно меньше. Воспользуемся рисунком 5.38, который иллюстрирует расположение дробей на отрезке от $0$ до $1$.

1. Число $0$ является наименьшим из предложенных, так как оно является началом отсчета и находится на числовой прямой левее всех остальных положительных чисел.

2. Число $1$ является наибольшим, так как оно ограничивает отрезок справа.

3. Теперь сравним дроби $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{4}$, используя рисунок. На рисунке показано, что отрезок от $0$ до $1$ делится на 2, 3 и 4 равные части.

- Дробь $\frac{1}{4}$ соответствует первой из четырех отметок.

- Дробь $\frac{1}{3}$ соответствует первой из трех отметок.

- Дробь $\frac{1}{2}$ соответствует первой из двух отметок.

Визуально сравнивая положение этих точек на числовой прямой, мы видим, что точка $\frac{1}{4}$ расположена ближе всего к $0$ (самая левая из дробей). Точка $\frac{1}{3}$ расположена правее, чем $\frac{1}{4}$, а точка $\frac{1}{2}$ — еще правее.

Таким образом, мы можем записать следующее неравенство: $0 < \frac{1}{4} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2} < 1$.

Расположив числа в этом порядке, мы получим их последовательность по возрастанию.

Ответ: $0, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 1$.